Modèle de Drude

[invite166a8317]

Bonjour,

Je me suis récemment intéressé à la théorie de Drude. Dans cette théorie, Drude fait l'hypothèse que la probabilité d'un choc pour un électron est de :



où est le temps de relaxation et le temps écoulé après un choc.
Ainsi juste après un choc la probabilité est nulle. Là où cela commence à être plus difficile à comprendre c'est quand je regarde la probabilité pour un temps infini, la probabilité de choc devient infini :



Dans certains autres ouvrages je trouve une probabilité de choc de :



Ainsi la probabilité de choc quant t temps vers l'infini est de 1, ce qui me paraît plus juste...



Quelle est la formule de probabilité qui correspond le mieux à la théorie de Drude ? La première est-elle fausse pour les raisons évoquées ou simplement non bornées ?
Merci de vos réponses.
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[invitedbd9bdc3]

Bonjour,

Il faut le formuler ainsi :

La probabilité pour ne pas avoir eu de choc jusqu'à t est .
La probabilité pour ne pas avoir de choc entre et est .
Ainsi la probabilité pour ne pas avoir eu de choc à est , ce qui (en divisant le tout par et dans la limite tend vers 0) te donne une proba de ne pas avoir eu de choc à t qui est en exponentielle decroissante.

PS : une probabilité non bornée a une probabilité 0 d'exister

[b@z66]

C'est plûtot la deuxième formule qui est effectivement juste puisqu'elle utilise une loi de probabilité exponentielle.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_exponentielle

PS: Grillé.

[invite166a8317]

Grand merci à vous deux, une dernière petite question...

La probabilité pour ne pas avoir de choc entre et est .

Comment démontrer cela ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedbd9bdc3]

Grand merci à vous deux, une dernière petite question...



Comment démontrer cela ?

La probabilité d'un choc durant une durée dt est par definition , donc la proba de non-choc est .

[b@z66]

Des précisions sur la loi exponentielle et l'hypothèse de "non-vieillissement".

http://www.maths-express.com/bac-exo...onentielle.htm

[invite166a8317]

Ok, merci, la formule n'est donc pas démontrer mais juste posée par définition. Intuitivement, c'est difficile à se représenter une densité de probabilité de de telle manière que la probabilité qu'il y ait un choc entre les instant t et t+dt soit .

Mais alors...

est faux !

Il y a quelque chose qui m'échappe.

[invite166a8317]

Des précisions sur la loi exponentielle et l'hypothèse de "non-vieillissement".

Ok, merci encore b@z66, il me semble bien effectivement que c'est cette hypothèse qui est à la base de tout, je vais le lire avec attention, je m'absente juste quelques heures.

[b@z66]

L'hypothèse de non vieillissement dans le modèle de drude doit provenir à mon sens du fait qu'un électron qui traverse un réseau d'ions doit avoir une durée moyenne sans colision très supèrieure au temps de transit moyen sur la distance qui sépare deux ions voisins. Cela doit aussi tenir au fait qu'un électron, qu'il vienne juste de commencer son voyage "balistique" ou le fasse depuis pas mal de temps, se trouve toujours sensiblement dans le même environnement, c'est à dire le réseau cristallin, et donc a toujours la même probabilité de colisionner un ion dans un temps T qui suit.

[invite1acecc80]

Des précisions sur la loi exponentielle et l'hypothèse de "non-vieillissement".

http://www.maths-express.com/bac-exo...onentielle.htm

Bonjour,

je ne connaissais pas le nom d'hypothèse de non-vieillissement.

Par contre ce que je peux dire c'est que le modèle de Drude, est un processus markovien à temps continu (et même discret dans ce cas là puisque qu'on suppose la norme de la vitesse constante et le temps de libre parcours moyen constant).
L'hypothèse de vieillissement est juste la propriété Markovienne.

Au revoir.

[invite7ce6aa19]

Ok, merci, la formule n'est donc pas démontrer mais juste posée par définition. Intuitivement, c'est difficile à se représenter une densité de probabilité de de telle manière que la probabilité qu'il y ait un choc entre les instant t et t+dt soit .

Mais alors...

est faux !

Il y a quelque chose qui m'échappe.

Bonjour,

En effet il y a quelquechose qui t'échappes.

Dans ce contexte le temps ne relève pas d'une densité de probabilité parce que ce n'est pas une variable aléatoire, il joue le rôle d'un paramètre pour définir un jeu infini de variables aléatoires indexées par le temps. Explication.

A un instant t la variable aléatoire X (t) peut prendre 2 valeurs (par exemple collision efectuée notée F et non effectuée notée V)

On a donc

P [X(t)=F] = P(t)

P [X(t)=E] = 1- P(t)

On voit ici qu'il ne faut pas confondre la variable aléatoire X(t) qui peut prendre 2 valeurs et le temps qui définit un jeu infini de variables aléatoires (une variable pour chaque temps).

[invite7ce6aa19]

Bonjour,

je ne connaissais pas le nom d'hypothèse de non-vieillissement.

Par contre ce que je peux dire c'est que le modèle de Drude, est un processus markovien à temps continu (et même discret dans ce cas là puisque qu'on suppose la norme de la vitesse constante et le temps de libre parcours moyen constant).
L'hypothèse de vieillissement est juste la propriété Markovienne.

Au revoir.

Bonjour,

Il est excate qu'il s'agit d'un processus Markovien à temps continu, mais le vieillisement n'est pas synonyme de processus Markovien.

Le processus Markovien signifie que le futur ne dépend que de l'état actuel a l'instant t.

Par contre la probabilité de transition W(t).dt dépend en général du temps. Pour un problème de physique de collision cette probabilité ne dépend pas du temps. Par contre pour un appareillage ménager à cause des phénomènes d'usure cette probabilité augmente avec le temps. Il y a donc bien une notion de viellissement qui est une spécification d'un processus de Markov

[invite1acecc80]

pardon j'ai juste oublier le "non" après "vieillissement".
Toutes mes excuses.

[invite166a8317]

Merci à vous tous !

[invite166a8317]

Bonsoir, pour ceux que ça intéresse... Une démonstration.

 Cliquez pour afficher

Soit une variable aléatoire définissant la durée pendant laquelle un électron ne subit pas de choc.
: probabilité qu'il y ait un choc dans un temps inférieur ou égal à T.
Soit l'espérance de la variable.
On suppose qu'on peut appliquer l'hypothèse du non vieillissement. De tel manière que :

Par définition :



et



Soit , la probabilité qu'il y ait un choc dans un temps supérieur ou égal à T. C'est à dire la probabilité qu'il n'y ait pas de choc dans un temps inférieur à T.
Grâce à notre hypothèse de non vieillissement, on peut écrire :



On a , donc :



En posant , on a alors :





Si on a :



donc :



et donc :



Trouvons la constante : par définition, on a :



On intègre par partie et on a :



D'où :



Reste plus qu'à poser



Que repèsente alors

Mesurons la probabilité en supposant petit :





donc :



C'est la probabilité qu'il n'y ait pas de choc durant une durée extrêmement courte . Rien à voir avec la densité de probabilité f(t)...