Parité de la distribution de Dirac

[Lornstone]

Bonjour,

Je suis entrain de revoir un cours sur la distribution de Dirac et quelque chose m'échappe.

On veut prouver la parité de la distribution, càd :
On a En posant
Ce que je ne comprends pas c'est comment on arrive à dire que la dernière égalité vaut

C'est vrai que je pourrais attendre mercredi pour avoir la réponse de mon prof, mais cette histoire me tracasse.

Voilà, merci pour votre aide!
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[Coincoin]

Salut,
Quelle est la définition de la distribution de Dirac ?

[Lornstone]

On sait que remplit bien l'égalité :

Pour toute fonction continue en .

De là, on peut aussi dire :

Pour toute fonction continue en .

J'aurais bien admis l'égalité si on savait que . Mais c'est justement ce que l'on doit démontrer.

Cette distribution me pose pas mal de problème car maintenant une autre égalité me perturbe :


Elle intervient dans la démonstration de

[invite54165721]

Bonjour,

Pour une distribution quelconque T(x) on a
Par définition de la transposée T(-x)
<T(-x),f(x)> = <T(x,f(-x)>
Pour le dirac c'est f(0)
donc d'après la définition de delta(-x) la distribution est paire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coincoin]

J'aurais bien admis l'égalité si on savait que . Mais c'est justement ce que l'on doit démontrer.

Pose v=-u alors.

Ce qu'il faut comprendre c'est que lorsque tu as une intégrale de ce type, ça revient simplement à enlever l'intégrale et à prendre la valeur de la fonction au point tel que l'argument du delta soit nul. Donc que ce soit u ou -u, ça revient au même.

[Lornstone]

Pose v=-u alors.

Ce qu'il faut comprendre c'est que lorsque tu as une intégrale de ce type, ça revient simplement à enlever l'intégrale et à prendre la valeur de la fonction au point tel que l'argument du delta soit nul. Donc que ce soit u ou -u, ça revient au même.

Je comprends bien ce que tu dis mais j'aimerais bien le démontrer.
Je vais réfléchir à ce point car il résoudrait en effet mes problèmes.

@alovesupreme : je n'ai malheureusement pas encore vu au cours la théorie des distributions.

[invite54165721]

Je voulais insister puisqu'on parle de distributions
que l'on ne démontre pas ça résulte d'une définition. Ce n'est pas une propriété à démontrer.
de meme pour qui n'a aucun sens avant de le définir.

[Lornstone]

J'ai résolu mon deuxième problème, il suffit simplement de poser .

Le problème initial persiste.

En posant v=-u on obtient

En posant , on obtient

Ce qui est l'opposé de ce que l'on cherche. Où est l'erreur dans mon raisonnement?

Merci.

Je crois que je vais quand même attendre mercredi pour finir.

[invite54165721]

Il faut inverser les bornes d'intégration

Meme en arrivant à un résultat correct traiter une distribution comme une fonction n'est pas une démonstration.
C'est une simple vérification de cohérence dans les notations.

[Lornstone]

Merci pour avoir trouvé mon erreur!

Oui il est vrai que ceci ne peut pas être considéré comme des démonstrations, mais je vais m'en contenter pour l'instant.

[vaincent]

salut,

l'erreur de raisonnement vient justement du fait que la définition d'une distribution (en particulier celle de Dirac) paire n'est pas la même que pour une fonction usuelle. En effet une distribution paire est définie par :



et non :



Pour le delta de Dirac les deux membres de la 1ère équation valent , elle est donc paire.

Pour que les choses soient peut-être plus claire, tu peux prendre une des distributions qui converge vers delta. Par exemple :



qui est manifestement paire. Calcul l'intégrale avec cette distribution en fonction de , fait tendre vers 0 et tu retomberas sur la définition du delta de Dirac. La convergence conservant la parité, delta est paire.