Méca - Energie potentielle.

[invited72cba9f]

Bonsoir,

Mon problème est le suivant :
On s'intéresse au système mécanique suivant: un point matériel M de masse m est fixé à l'extrémité d'un ressort de longueur à vide lo et de constant de raideur k. La masse peut coulisser sans frottement horizontalement sur une tige. On repère la position de la masse m sur cette tige par l'abscisse x dont l'axe est confondu avec la tige, et dont l'origine 0 est située sur la même verticale que le point d'attache R fixe du ressort.

La tige se trouve à une distance l du point R: OR=l (elle se déplace de haut en bas)

Je cherche à déterminer l'énergie potentielle élastique en fonction de k, l, lo et x.
(rep.:Epe=1/2.k.(x^2 - 2.lo.√(l^2+x^2) + 2.l.lo)

J'utilise pythagore, et j'ai essayé de me placer dans une base polaire ou cathésienne mais je n'arrive pas au résultat car j'ai toujours un problème au moment d'intégrer.

Si quelqu'un peu m'aider, ce serait avec plaisir
merci.
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[calculair]

bonsoir,

SI je comprend bien, on a un triangle rectangle et le ressort est dans l'hypotenuse

La longueur du ressort est L = R° + l' ( R° longueur à vide du ressort )

L'hypotenuse = H² = L² = L°² + x² = R°² +2R°l' + l'²+ X²

La force de rappel du ressort est dirigée selon hypotenuse
F = k l'

Il faut alors projeter F sur la tige pour connaitre la force de rappel ( Fx )

Si a est l'angle entre l'hypotenuse et la verticale alors
Fx = k l' sin a

et sin a = x / H


Je m'arrête là car je ne suis pas sur du schema.....

[philou21]

Bonsoir

je trouve plutôt quelque chose comme ça :

Ep=1/2K[x²-2l₀(x²+l²)^1/2+l²+l₀²

mais bon, je peux me tromper...

de toute manière les derniers termes ne sont pas importants puisque constants

[invited72cba9f]

http://img504.imageshack.us/my.php?i...iewhtmlgm2.jpg

Voilà un schéma.
Je pense que tu as à peu près compris, et le ressort peu se déplacer à droite et à gauche de O en fait. (d'où trois positions d'équilibre)

[A voir en vidéo sur Futura]

[philou21]

Ep=1/2K[x²-2l₀(x²+l²)^1/2+l²+l₀²

manque un crochet ...

Ep=1/2K[x²-2l₀(x²+l²)^1/2+l²+l₀²]

[invitece2661ac]

bonsoir

je confirme le resultat de Philou

[invited72cba9f]

2[/EXP]-2l₀(x²+l²)^1/2+l²+l₀²]

Et comment arrives tu à ce résultat ?
Sinon je suis celui que je propose m'est donné dans l'énoncé...
J'ai oublié de dire que Epe(O)=0.

[invited72cba9f]

excusez moi je dis n'importe quoi, en français ça donne : Le résultat que je propose est celui qui m'est donné dans l'énoncé.

[philou21]

J'ai oublié de dire que Epe(O)=0.

Ah !

alors c'est bon...

rajoute une constante Cst à l'expression que j'ai donnée :

Ep=1/2K[x²-2l₀(x²+l²)^1/2+l²+l₀²]+Cst

tu fais Ep=0 pour x=0 ça te permet de déterminer la Cst.


autrement pour la résolution c'est copyrighter Pythagore

[sitalgo]

B'soir,

Ep=1/2K[x²-2l₀(x²+l²)^1/2+l²+l₀²]

Pourquoi développer, c'est plus clair avec E=1/2k(racine(l²+x²)-lo)
En tout cas je trouve ça aussi.

[philou21]

E=1/2k(racine(l²+x²)-lo)²

[invited72cba9f]

Pourriez vous détailler votre raisonnement s'il vous plait ?
Car je dois passer par l'expression de la force de rappel du ressort pour aboutir et je ne trouve pas ça.. :S

[invitece2661ac]

rebonsoir

Ep = k/2(l-lo)^2 avec (lo-l): deformation du ressort (allongement ou raccorcissement) lo: longueur libre et l: longueur apres deformation
et ta phaute c'est que x n'est pas (lo-l) puisque x : c'est le paramettre qui indique la position de la masse m donc dire que Ep = 0 pour x=0 est totalement faux ceci est dit revenant a l'expression de Ep
on a Ep = = k/2(l-lo)^2 = k/2( l^2 -2.llo +lo^2)
determinons alors l : longueur apres deformation
Pythagore l^2 = L^2 + x^2
remplaçons l par son expression dans Ep est le resultat est immediat

[invitece2661ac]

faute et non pas phaute desolé pour cette faute d'inattention

[sitalgo]

E=1/2k(racine(l²+x²)-lo)²

C'était pour voir si tu suivais.

[invited72cba9f]

Je vais raisonner comme ça et sauter la démonstration de Ep=1/2.k.(l-lo) avec dPM etc, sinon je crois que je ne viendrais jamais à bout de mon DM..

Merci beaucoup à tous de m'avoir éclairé !!
bonne soirée.

[philou21]

J...et sauter la démonstration de Ep=1/2.k.(l-lo) avec dPM etc, ..

Ep=1/2.k.(l-lo)²

tu vois sitalgo, j'ai bon œil ...

[invited72cba9f]

pardon...

[philou21]

...donc dire que Ep = 0 pour x=0 est totalement faux ...

Une petite précision toutefois : ce n'est pas faux ...

on peut toujours mettre l'origine du potentiel ou bon nous semble.

[invitece2661ac]

bonjour

Carla je voudrai savoir deux choses:
* Pourquoi tu impose Ep = 0 pour x=0( revoir ton parametrage).

* Est-ce que tu veux demontre l'expression de Ep=k/2(l-lo)^2 ou tu suppose que c'est connue.

Merci

[invitece2661ac]

bonjour:

une precision:
Ep=k/2.(l-lo)^2 :c'est l'energie emmagasinée dans le ressort c'est aussi le travail que le ressort peut fournir a partir de la position dans laquelle il se trouve.
Ceci est dit donc Ep = 0 si l = lo est donc puisque le parametre x ( dans le problleme de Carla ) n'est pas l-lo alors on ne peut pas dire que Ep = 0 si x =0 sauf si on change l'expression de Ep.
Le parametrage si j'ai bien compris :
Les points O et A sont des points fixes tel que : OA = L.
Le point M est le centre de la masse m tel que : OM = x et AM = l (longueur du ressort).
Donc puisque (OA)est perpendiculaire à (OM) pythagore : L^2+x^2 =l^2
Ep=k/2.(l-lo)^2 = k/2.(l^2-2.llo +lo^2)
= k/2.(L^2+x^2-2.lo.racinecarre( L^2+x^2) +lo^2)
et donc pour x=0 : Ep = k/2(L-lo)^2 resultat d'ailleurs evidente
La question maintenant est- ce que Carla veut la demonstration de:

Ep=k/2.(l-lo)^2 ou est-ce que c'est admis

[philou21]

bonjour

en fait : Ep=k/2.(l-lo)²+Cst

et le travail est lié à la variation de Ep


maintenant effectivement je ne sais pas si on lui demande de partir de F=-kl (ce qui serait un peu bête) ou de l'expression de Ep (un peu plus malin...)

[invitece2661ac]

bonjour:
L'energie potentielle d'un ressort est egale au travail que le ressort peut devlopper a partir de la position dans laquelle il se trouve suivant la direction de son axe. Prenons donc un ressort d'axe Oy de longueur libre lo comprimons ( ou etirons le principe et le meme) d'une fleche (y = l - lo) pour calcul Ep
ça revient a caculer le travail fourni par le ressort pour retrouver sa longueur lo
plaçons nous dans une position intermediaire t alors F= -kt et le travail elementaire est dw = Fdt = -ktdt et le travail total est w = k/2.y^2 ( l'integration se fait de y à 0) soit encore w = Ep = k/2.y^2 = k/2.(l-lo)^2
conclusion l'energie potentielle dans un ressort ne depend pas de la position dans laquelle est place le ressort mais depend de sa raideur et de sa deformation( l-lo) à un singe pres (allongement ou compression)
donc pour le cas de ton probleme dont je rappelle le parametrage:
O et A deux points fixes / OA = L
M(centre de la masse m) mobile/: OM= x et AM = l(longueur du ressort deforme) et enfin lo longueur libre du ressort
Pythagore L^2 + x^2 =l^2
Ep= k/2.y^2 = k/2.(l-lo)^2= k/2.(l^2-2.l.lo +lo^2)
= k/2.(x^2-2.racine carre(L^2 + x^2).lo +L^2 +lo^2)
remarques:
* x ça n'a rien a avoir avec la deformation du ressort donc dire que Ep=0 pour x=0 ça n'a rien de vrai ceci est vrai pour y=0.
* si x = 0 alors le point M est confondu avec l'origine O dans ce cas la longueur du ressort est L c'est evident et donc Ep = K/2(L-lo)^2 resultat qu'on peut trouver avec l'expression generale qu'on a demontre

Ep = [ k/2.(x^2-2.racine carre(L^2 + x^2).lo +L^2 +lo^2)]
pour x=0: Ep = k/2.(-2.racine carre(L^2 ).lo +L^2 +lo^2)
Ep = k/2.(-2.L.lo +L^2 +lo^2)
Ep = K/2(L-lo)^2
* enfin dire qu'on peut prendre Ep = 0 comme on veut peut etre c'est vrai mais pas avec la meme expresion pour cette expression Ep=k/2.y^2 (Ep=0 pour y=0) si non il faut ajouter une constante
Voila bonne journée