Vérification d'équation différentielle

[invite8207e9cb]

Bonjour,
j'aurais besoin d'une vérification.

Est-ce que la solution de :
d²z/dt² + w₀²(z-L) = a(1- cos (wt))

est bien :
z = a(1 - cos (wt))/(w₀² - w²) + 2L
?

Ou est-ce que je me suis trompé ?

Merci beaucoup !

Au revoir.
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[Jeanpaul]

Difficile à dire si tu ne précises pas les conditions initiales. On s'étonne quand même de ne pas voir de traces de la solution générale de l'équation sans second membre (sinusoïde à la pulsation w0)

[invite8207e9cb]

Difficile à dire si tu ne précises pas les conditions initiales. On s'étonne quand même de ne pas voir de traces de la solution générale de l'équation sans second membre (sinusoïde à la pulsation w0)

Merci de m'avoir répondu.
Oui, désolé...
Donc les conditions initiales :
z(0) = L et (dz/dt)(0) = 0.
Donc oui, j'ai commis une erreur.
C'est plutôt 3L que 2L dans la réponse, non ?
Merci encore.

[Jeanpaul]

Ca ne peut être 3 L car on voit que la bonne variable c'est X = z - L qui vaut 0 au départ et la dérivée aussi donc z-L ne contient plus L (ni l'équa diff de X ni les conditions initiales ne contiennent L).
Tu prends la solution générale de l'équation sans second membre : A cos(w0t) + B sin(w0t) et une solution particulière du type C + D cos(wt). Les 4 inconnues A B C D s'ajustent bien.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8207e9cb]

Ca ne peut être 3 L car on voit que la bonne variable c'est X = z - L qui vaut 0 au départ et la dérivée aussi donc z-L ne contient plus L (ni l'équa diff de X ni les conditions initiales ne contiennent L).
Tu prends la solution générale de l'équation sans second membre : A cos(w0t) + B sin(w0t) et une solution particulière du type C + D cos(wt). Les 4 inconnues A B C D s'ajustent bien.

Oui, dans l'expression de X il n'y a pas de L, mais donc dans z, il y en a.
Mais je suis passé par la méthode complexe, et je ne trouve aucune composante en sin. Est-ce normal ?

[Jeanpaul]

Oui, dans l'expression de X il n'y a pas de L, mais donc dans z, il y en a.
Mais je suis passé par la méthode complexe, et je ne trouve aucune composante en sin. Est-ce normal ?

Une composante en sinus donnerait une vitesse initiale, ce qui n'est pas le cas.