Formalisme quantique : delta de Kronecker

[invite10e7600a]

Bonjour, j'ai un problème dans un exercice en formalisme quantique.
Je vous donne les notations de l'exercice :
On suppose que les états |> forment une base orthonormée discrète.
Soit Û(m,n) l'opérateur défini par : Û(m,n)=|> <|
La question que l'on nous pose est de calculer la trace Tr(Û(m,n)) , donc :

Tr(Û(m,n)) = <|Û(m,n)|> (1)
Tr(Û(m,n)) =<|> <|> (2)
On peut intervertir les produits scalaires , d'où:
=<|><|>(3)
On reconnait la relation de fermeture :
=<|>(4)
=(5)

où est le delta de Kronecker qui vaut 1 quand i = j et 0 sinon.

Maintenant, si je choisis un autre chemin, je reprends à la ligne (2):
Tr(Û(m,n)) =<|> <|> (2)
=
Donc ici, voici mon raisonnement ( certainement faux mais je vois pas où...):
La somme va atteindre le nombre n, on aura alors *
= 1 , donc reste
Cependant, la somme va aussi atteindre le nombre m :
Pareillement on aura
d'où la somme + ce qui fait 2* . Et je n'obtiens donc pas le même (en tout cas me semble-t-il) resultat que dans la première méthode.
Merci d'avance.
Romain
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[invitedbd9bdc3]

Ton raisonement est a moitier faux (mais donc aussi a moitier juste ). Ce que tu dit est vrai si m est different de n, tu auras bien deux fois ton kronecker, qui est nul : dans ce cas, le resultat est le meme 2*0=0.
Si n = m, alors dans ta somme tu n'atteidra qu'une fois n (ou m, vu que c'est les memes) et donc dans ce cas ta trace est bien egale à 1, tu as bien le meme resultat.

[invite10e7600a]

Bien vu ! Merci