Electron et conservation de l'énergie

[Heimdall]

si j'en crois cet article de wikipedia, je comprend que finalement le but de la jauge de lorenz n'était pas de rendre covariantes les équations de maxwell (au niveau des potentiels) (c'était impossible d'avoir ce but avec une RR pas encore trouvée !)....

... mais bel et bien d'introduire un retard dans le potentiel coulombien et une symétrie dans les équations de maxwell, et que c'est en fait la covariance qui est un constat ultérieur après les transformation de lorenTz.

When originally published, Lorenz's work was not received well by James Clerk Maxwell. Maxwell had eliminated the Coulomb electrostatic force from his derivation of the electromagnetic wave equation since he was working in what would nowadays be termed the Coulomb gauge. The Lorenz gauge hence contradicted Maxwell's original derivation of the EM wave equation by introducing a retardation effect to the Coulomb force and bringing it inside the EM wave equation alongside the time varying electric field. Lorenz's work was the first symmetrizing shortening of Maxwell's equations after Maxwell himself published his 1865 paper. In 1888, retarded potentials came into general use after Heinrich Rudolf Hertz's experiments on electromagnetic waves. In 1895, a further boost to the theory of retarded potentials came after J. J. Thomson's interpretation of data for electrons (after which investigation into electrical phenomena changed from time-dependent electric charge and electric current distributions over to moving point charges). [2]

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[invite93279690]

Par contre ce qu'apporte la jauge de coulomb c'est la séparation entre change longitudinale et champ transerverse. Pour les avantages voir post du dessus.

Je ne vois pas bien comment. Tu le dis effectivement mais sans préciser pourquoi.

J'ai répondu à cette question: Le fait que l'on puisse à l'ordre zéro découpler le champ transverse de la dynamique des particules n'est pas accéssoire. Par contre le champ longitudinal ne peut pas être découplé à l'ordre zéro. C'est la source du problème à N corps de la physique du solide.

A priori moi je reste dans le vide pour des ondes propagatives donc je ne m'interesse pas aux charges (à tord peut être). Et tu parles de découplage à l'ordre zero mais l'ordre zero de quoi ?

[invitedbd9bdc3]

En fait, des que tu fais de la MQ atomistique (pour donner le cas connu de la plupart des gens), tu fais de la jauge de Coulomb.
En effet, tu traites l'atome d'Hydrogene comme ton hamiltonien non perturbé (l'"ordre zero", cad le potentiel scalaire) et ensuite tu traites le champ exterieur comme une perturbation via le potentiel vecteur (transverse).
Et dans ce cas, tu vois bien que tu decomposes le champ en deux partie, une longitudinale et une transverse à deux ordres d'approximation differents, ce qui ne serait pas possible en jauge de Lorenz.

[invite7ce6aa19]

Je ne vois pas bien comment. Tu le dis effectivement mais sans préciser pourquoi.

Bonjour,

La démonstration est un peu longue, je te donne le principe seulement:

Tu écris les équations de Maxwell en representation de Fourier spatiale. donc toutes les grandeurs sont de la forme:

F(r,t) devient F(k,t)

On pourra décomposer toute grandeur F = Fp + Flong selon la direction de k (p = parallèle et long = longitudinal).

Maintenant div A (r,t) devient en Fourier i.k.A(k,t)

La jauge de Coulomb consiste à prendre divA = 0

En transformée de Fourier on aura:

k.A = 0 ce qui impose que A est orthogonale à k. C'est la raison pour laquelle on dit que c'est la condition de transversalité. Tout le reste se déduit de cette contrainte.

A priori moi je reste dans le vide pour des ondes propagatives donc je ne m'interesse pas aux charges (à tord peut être). Et tu parles de découplage à l'ordre zero mais l'ordre zero de quoi ?

En jauge de Coulomb le résultat final du système couplé champ/particules en hamiltonien s'écrit:

H = 1/2.m [p - q.Ap (r)]2 + Vcoulomb (r1, r2) + Hp

Une expression bien connue que l'on retrouve partout. Il faut en plus sommer sur toutes les particules.

Ordre zéro.

Pour résoudrer cet hamiltonien on peut définir l'ordre zéro en prenant Ap = 0

Alors l'hamiltonien H° devient la somme de 2 hamiltoniens indépendants:

H°1 = Sigma p2/2.m + sigma V(r1,r2) qui est un hamiltonien de particules "pures". (c'est le problème à N corps)

H°2 = Hp qui est un hamiltonien pure de champ transverse qui apres quantification devient une somme d'oscillateurs harmoniques.



Traitement de la perturbation:

après on peut traiter q.Ap(r,t) en perturbation qui est le terme de couplage champ particule. C'est grace a ce terme que par exemple le champ transerverse peut-perdre de l'énergie en excitant le système de particules.


J'ai mis en formule ce qu'a très bien dit Thwarn. Tu verras que si tu fais toi-même tous les calculs en jauge de Lorentz tu n'aurs du tout les mêmes résultats. En fait tout le monde (ou presque) travaille en jauge de coulob sans le savoir comme Monsieur Jourdain.......

[invite93279690]

Tu écris les équations de Maxwell en representation de Fourier spatiale....

Ok mais moi depuis le début je parle du champ electrique et pas du potentiel vecteur c'est pour ça que je ne comprends pas cette fameuse distiction en fonction de la jauge.

En jauge de Coulomb le résultat final du système couplé champ/particules en hamiltonien s'écrit:

H = 1/2.m [p - q.Ap (r)]2 + Vcoulomb (r1, r2) + Hp

Est ce vraiment un résultat en jauge de Coulomb ? Il m'avait semblé qu'une telle expression était générale dans le cas où le potentiel vecteur est, en toute généralité, un opérateur puisqu'étant une fonction de l'opérateur position.

Il me semblait qu'ensuite il était effectivement fréquent de passer en jauge de Coulomb pour développer la parenthèse tranquillement et de telle sorte que l'impulsion commute avec le potentiel vecteur (ce qui n'est pas le cas en général). Une fois cette précaution prise on peut effectivement "développer" l'hamiltonien en ordre de A(r,t) et négliger usuellement le terme non linéaire en A(r,t).

J'ai mis en formule ce qu'a très bien dit Thwarn. Tu verras que si tu fais toi-même tous les calculs en jauge de Lorentz tu n'aurs du tout les mêmes résultats. En fait tout le monde (ou presque) travaille en jauge de coulob sans le savoir comme Monsieur Jourdain.......

Tant mieux si vous etes cablés pareil mais faut quand même préciser qu'a priori ce dont vous parlez tous les deux n'est, il me semble, pas directement lié à la question posée depuis quelques messages relative à la validité de l'expression de la densité d'energie electromagnétique pour un champ electromagnétique (même dans le vide apparemment...il faut que je mette la main sur le Feynman).

[invite7ce6aa19]

Ok mais moi depuis le début je parle du champ electrique et pas du potentiel vecteur c'est pour ça que je ne comprends pas cette fameuse distiction en fonction de la jauge.

1- D'abord la pratique théorique montre l'importance des potentiels vecteurs et scalaires en physique pour representer les champs électriques et magnétiques dans un cadre de physique classique. Cela est confirmé en MQ où les effets des potentiels vecteurs sont observables (effet Bohn-Aranhov) et plus encore dans le modèle standard où l'invariance de jauge permet de construire le champ et de jauge et son interaction avec le champ de particules par la donnée d'un seul groupe de Lie.

2- Si d'emblée tu t'intéresses aux solutions de Maxwell sans source il est inutile de choisir une jauge puisque les équations forment un système fermé pour E et B. Il se fait que les champs sont purement transversaux (relativement à k ). Cela n'entraine en aucune façon que ceux-ci seront transversaux en présences de charges.

C'est justement en choississant une jauge de Coulomb que tu peux décomposer le champ en 1 composante longitudinale et une composante transversale (relativement à k).

Est ce vraiment un résultat en jauge de Coulomb ? Il m'avait semblé qu'une telle expression était générale dans le cas où le potentiel vecteur est, en toute généralité, un opérateur puisqu'étant une fonction de l'opérateur position.

dès que tu formalises les équations de Maxwell en potentiels (vecteur et scalaire) tu es obligé de préciser la jauge dans laquelle tu travailles puisque les équations de Maxwell sont invariantes de jauge.

Il me semblait qu'ensuite il était effectivement fréquent de passer en jauge de Coulomb pour développer la parenthèse tranquillement et de telle sorte que l'impulsion commute avec le potentiel vecteur (ce qui n'est pas le cas en général). Une fois cette précaution prise on peut effectivement "développer" l'hamiltonien en ordre de A(r,t) et négliger usuellement le terme non linéaire en A(r,t).

Cela n'a rien avoir. Si dans un calcul tu veux changer de jauge il faut faire un changement de jauge. L'Hamiltonien en question a été construit en choississant dés le départ une jauge de coulomb.

Tant mieux si vous etes cablés pareil mais faut quand même préciser qu'a priori ce dont vous parlez tous les deux n'est, il me semble, pas directement lié à la question posée depuis quelques messages relative à la validité de l'expression de la densité d'energie electromagnétique pour un champ electromagnétique (même dans le vide apparemment...il faut que je mette la main sur le Feynman).

Au contraire. Je suis entré dans la discussion pour faire comprendre qu'il ne faut pas confondre la densité d'énergie d'une onde électromagnétique qui est rattachée à la composante transverse et la densité d'énergie de la composante longitudinale qui est aussi l'énergie d'interaction entre charges. dans ce dernier cas l'énergie électrostatique est localisée entre les armatures du condensateur et vaut:

1/2. epsilon.E2.V

E = champ électrique longitudinale.
V = volume du condensateur.

[invite93279690]

1- D'abord la pratique théorique montre l'importance des potentiels vecteurs et scalaires en physique pour representer les champs électriques et magnétiques dans un cadre de physique classique. Cela est confirmé en MQ où les effets des potentiels vecteurs sont observables (effet Bohn-Aranhov) et plus encore dans le modèle standard où l'invariance de jauge permet de construire le champ et de jauge et son interaction avec le champ de particules par la donnée d'un seul groupe de Lie.

Je n'ai pas dit que les potentiels n'étaient pas important mais seulement qu'a priori je m'interessais au champ electrique. Par ailleurs je n'ai jamais bien compris l'effet Bohm-Aranhov puisqu'il semble dépendre de la jauge (puisqu'il dépend de A) comment se fait il que ça ne pose pas de problème ?

2- Si d'emblée tu t'intéresses aux solutions de Maxwell sans source il est inutile de choisir une jauge puisque les équations forment un système fermé pour E et B. Il se fait que les champs sont purement transversaux (relativement à k ). Cela n'entraine en aucune façon que ceux-ci seront transversaux en présences de charges.

Bien sûr mais moi je ne mets pas de charges pour l'instant.

C'est justement en choississant une jauge de Coulomb que tu peux décomposer le champ en 1 composante longitudinale et une composante transversale (relativement à k).

le champ ? Le potentiel vecteur c'est ça ?

dès que tu formalises les équations de Maxwell en potentiels (vecteur et scalaire) tu es obligé de préciser la jauge dans laquelle tu travailles puisque les équations de Maxwell sont invariantes de jauge.

Ouai enfin c'est un faut problème non ? Les choix de jauge correspondent souvent à des equations devant être satisfaites par le potentiel vecteur ou le potentiel scalaire ou les deux, rien n'empeche d'écrire des equations de champ génériques qui seront modifiées en fonction de la jauge effectivement choisie. Je n'ai par exemple pas souvenir que la forme du hamiltonien que tu as écris soit spécifique à la jauge de Coulomb....

Cela n'a rien avoir. Si dans un calcul tu veux changer de jauge il faut faire un changement de jauge. L'Hamiltonien en question a été construit en choississant dés le départ une jauge de coulomb.

Je ne vois pas en quoi la jauge de Coulomb est imposée dans le hamiltonien que tu proposes mais sans doute vas tu m'éclairer sur ce sujet.

Au contraire. Je suis entré dans la discussion pour faire comprendre qu'il ne faut pas confondre la densité d'énergie d'une onde électromagnétique qui est rattachée à la composante transverse et la densité d'énergie de la composante longitudinale qui est aussi l'énergie d'interaction entre charges. dans ce dernier cas l'énergie électrostatique est localisée entre les armatures du condensateur et vaut:

1/2. epsilon.E2.V

E = champ électrique longitudinale.
V = volume du condensateur.

Je suis complètement perdu, je dois le reconnaitre. Ca te parait peut être évident mais j'aimerais que tu précises à chaque fois les champs dont tu parles (champ electrique, potentiel vecteur, scalaire etc...) et surtout, en ce qui concerne les histoire de composantes longitudinales et transverses, par rapport à quoi ?
Pour le cas du condensateur, je ne sais pas trop quoi dire, bien sur en statique spécifier "transverse" ou "longitudinal" n'a pas de sens mais même en alternatif je ne vois pas ce que tu veux dire désolé.

[invite7ce6aa19]

Je n'ai pas dit que les potentiels n'étaient pas important mais seulement qu'a priori je m'interessais au champ electrique. Par ailleurs je n'ai jamais bien compris l'effet Bohm-Aranhov puisqu'il semble dépendre de la jauge (puisqu'il dépend de A) comment se fait il que ça ne pose pas de problème ?

Ce qui est physique c'est A et pas la jauge. Dans l'effet BA le champ de jauge A intervient sous un intégration le long d'un chemin fermé(phénomène d'interférence) et donc la jauge n'intervient pas

Bien sûr mais moi je ne mets pas de charges pour l'instant.

Le fil parle du problème de la conservation de l'énergie en présence d'un électron.

le champ ? Le potentiel vecteur c'est ça ?

Tous les élements vectoriels des équations de Maxwell sont concernés et donc E, B, A, j.

Ouai enfin c'est un faut problème non ? Les choix de jauge correspondent souvent à des equations devant être satisfaites par le potentiel vecteur ou le potentiel scalaire ou les deux

C'est justement en mettant des contraintes sur A et V que l'on fait un choix de jauge.

, rien n'empeche d'écrire des equations de champ génériques qui seront modifiées en fonction de la jauge effectivement choisie.

C'est excatement ce que l'on fait. on écrit les équations d'évolution des potentiels vecteurs et scalaires qui sont compliquées. On fait justement un choix de jauge pour simplifier ces équations. C'est par exemple on choisant la jauge de Lotentz que l'on simplifie les équations de maxwell et que l'on écrire ces équations d'une façon explicite covariante et c'est la seule.

Je n'ai par exemple pas souvenir que la forme du hamiltonien que tu as écris soit spécifique à la jauge de Coulomb....

Elle est totalement déterminée par la jauge de Coulomb. Cela se voit immédiatement par le fait que le champ électrique dépend en toute généralités à la fois du potentiel vecteur et du potentiel scalaire. En choississant la jauge de Coulomb la dépendance au potentiel vecteur est iliminée ce qui entraine que le potentiel électrique est déterminé uniquement par la distribution de charges. Cela n'est pas vrai dans tout autre choix de jauge.

c'est pourquoi la jauge de coulomb est la plus importante en pratique.

Je ne vois pas en quoi la jauge de Coulomb est imposée dans le hamiltonien que tu proposes mais sans doute vas tu m'éclairer sur ce sujet.

la réponse est au-dessus.

Je suis complètement perdu, je dois le reconnaitre. Ca te parait peut être évident mais j'aimerais que tu précises à chaque fois les champs dont tu parles (champ electrique, potentiel vecteur, scalaire etc...) et surtout, en ce qui concerne les histoire de composantes longitudinales et transverses, par rapport à quoi ?

Pour établir on travaille en transformée de Fourier spatiale. La variable r est remplacée par la variable k. Le caractère longitudinal ou transerverse d'un vecteur est relatif à k

Pour le cas du condensateur, je ne sais pas trop quoi dire, bien sur en statique spécifier "transverse" ou "longitudinal" n'a pas de sens mais même en alternatif je ne vois pas ce que tu veux dire désolé.

En alternatif le premier effet (basse fréqunce) est que les charges électriques varient en temps ce qui entraine une variation similaire instantanée pour le champ électrique longitudinal.

Quand on monte en fréquence le courant de déplacement à l'intérieur de la cavité qui varie comme dE/dt devient important et la capacité rayonne dans un plan parrallèle aux plaques et là il s'agit d'un champ tranverse. La capacité devient une antenne!

[invite93279690]

Ce qui est physique c'est A et pas la jauge. Dans l'effet BA le champ de jauge A intervient sous un intégration le long d'un chemin fermé(phénomène d'interférence) et donc la jauge n'intervient pas

Ok

Tous les élements vectoriels des équations de Maxwell sont concernés et donc E, B, A, j.

Ok donc l'idée c'est d'utiliser la discrimination entre transverse et longitudinal permise pour le potentiel vecteur grace à la jauge de Coulomb à tous les autres champs vectoriels comme une base naturelle c'est ça ?

C'est justement en mettant des contraintes sur A et V que l'on fait un choix de jauge.

C'est ce que j'ai dit non ?

C'est excatement ce que l'on fait. on écrit les équations d'évolution des potentiels vecteurs et scalaires qui sont compliquées.

Ba oui est quel sens donnerais tu à ces equations comliquées si je te demande "dans quelle jauge te mets tu lorsque tu écris ces equations ?"

Elle est totalement déterminée par la jauge de Coulomb. Cela se voit immédiatement par le fait que le champ électrique dépend en toute généralités à la fois du potentiel vecteur et du potentiel scalaire.

Quel champ électrique ?
Est ce que tu parles de la forme explictement coulombienne de l'energie potentielle d'intéraction ? Si c'est le cas qu'est ce qu'on aurait pu avoir d'autre, parce que là je vois pas.

En choississant la jauge de Coulomb la dépendance au potentiel vecteur est iliminée ce qui entraine que le potentiel électrique est déterminé uniquement par la distribution de charges. Cela n'est pas vrai dans tout autre choix de jauge.

Un petit exemple très simple comme tu sais les faire serait le bienvenu pour mon tout petit cerveau.

c'est pourquoi la jauge de coulomb est la plus importante en pratique.

Ouai enfin je pense que ça dépend du problème.

Pour établir on travaille en transformée de Fourier spatiale. La variable r est remplacée par la variable k. Le caractère longitudinal ou transerverse d'un vecteur est relatif à k

Ok c'est bien ce qu'on fait habituellement.

Quand on monte en fréquence le courant de déplacement à l'intérieur de la cavité qui varie comme dE/dt devient important et la capacité rayonne dans un plan parrallèle aux plaques et là il s'agit d'un champ tranverse. La capacité devient une antenne!

oui justement, il est où dans ce cas là ton champ longitudinal ?

[invite7ce6aa19]

Ba oui est quel sens donnerais tu à ces equations comliquées si je te demande "dans quelle jauge te mets tu lorsque tu écris ces equations ?"

En effet cette jauge n'a pas de nom, on pourrait l'appeler la jauge immédiate, spontanée, naturrelle, comme tu voudras;

Quel champ électrique ?
Est ce que tu parles de la forme explictement coulombienne de l'energie potentielle d'intéraction ? Si c'est le cas qu'est ce qu'on aurait pu avoir d'autre, parce que là je vois pas.

Quand on introduit les potentiels on montre que:

B = rot.A

E= - dA/dt -gradV


La première ne pose pas de problème.

La deuxième dit que E depend de A et de V

On montre (en passant par la transformée de Fourier) que relativement à k on peut décomposer le vecteur E en une composante transverse et une composante longitudinale (pour chaque valeur de k). Jusqu'à là rien d'extraordinaire.

Par contre si on fait le choix divA = 0 (c'est la jauge de Coulomb)
alors le champ électrique transverse ne dépend que de A et le champ électrique longitudinal ne dépend que de gradV.

E trans = -dA/dt

E long = -gradient V



Le tour est joué.

[invite93279690]

Quand on introduit les potentiels on montre que...

Ok dit comme ça je comprends ce que tu dis (désolé chui un peu long à la détente mais j'avais jamais vu ça).

Maintenant si j'ai bien compris tu dis que la formule usuelle de la densité volumique d'energie electromagnétique ne provient que de la composante transverse c'est ça ?

[invite7ce6aa19]

Ok dit comme ça je comprends ce que tu dis (désolé chui un peu long à la détente mais j'avais jamais vu ça).

Maintenant si j'ai bien compris tu dis que la formule usuelle de la densité volumique d'energie electromagnétique ne provient que de la composante transverse c'est ça ?

Tout a fait.

Et Il ne faut pas confondre celle-ci avec la contribution de l'énergie du champ longitudinal qui est pour un condensateur

1/2.C.V2 qui est en unités ad hoc devient 1/2.epsilon.E2 .V

E champ longitudinal et V volume de l'espace du condensateur.

Cette énergie peut elle même dépendre du temps (condensateur en régime alternatif).

[invite93279690]

E champ longitudinal et V volume de l'espace du condensateur.

C'est ça que je trouve bizarre comme description car à haute fréquence lorsqu'un condensateur devient une antenne la direction de propagation de l'onde rayonnée est essentiellement dans un plan parallèle aux plaques et donc la composante transverse du champ electrique est donc perpendiculaire aux plaques....comme la composante que tu nommes longitudinale.