Physique et theorie des representations

[invitebe0cd90e]

Bien le bonjour à tous,

Je suis mathematicien, et je m'interresse (entre autre pour ecrire un petit texte de vulgarisation) aux applications de la theorie des groupes en physique. Entre autres exemple, je m'interresse au modèle standard et donc a la maniere d'associer des familles de particules et des representations du groupe de symetrie associé (en gros SU(3)xSU(2)xU(1) si j'ai bien tout compris)

Malheureusement, aussi bien les references que je trouve sur le net que les discussions sur ce forum ont essentiellement pour but d'expliquer la theorie des representations a des physiciens.. Or moi c'est plutot l'inverse : disons que je vois bien ce qu'est la theorie des representations et que conceptuellement je vois bien pourquoi des representations arrivent naturellement en physique.

Ce qui me manque c'est plutot le sens a donner a ces representations, surtout dans l'exemple du modèle standard. Mes connaissances sur le sujet sont suffisamment mauvaises pour que j'ai meme du mal a voir quelles questions je pourrais poser, mais commencons :

- deja sur quoi represente on notre groupe dans ce cas precis ? sur un espaces de solutions de certaines equations, ou sur un espace engendré par des "propriétés" des particules (charges, spin, etc..) ?
- comment associe t on une famille de particule a une representation ? Je comprends bien par exemple qu'une particule non chargée sera associée a une representation triviale du groupe de symetrie associé, mais je n'arrive pas a voir a quel point on peut "lire" des informations directement sur les representations..
- peut on deriver des equations a partir d'argument de theorie des groupes, ou faut il au contraire avoir des equations au prealable ?
- En gros, quelles sont les infos qu'on tire des representations, et quelles sont les données qu'on colle sur les representations a partir d'arguments physiques. Autrement dit : je vois comment les representations apparaissent, mais pas comment les physiciens s'en servent.
-Ah, et a t on pu predire l'existence de particules en faisant usage de representations ?

Desolé si ca n'est pas tres clair, je vois ce qui me manque mais je le formule mal.

merci à tout ceux qui me repondront !
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[invite7ce6aa19]

Bien le bonjour à tous,

Je suis mathematicien, et je m'interresse (entre autre pour ecrire un petit texte de vulgarisation) aux applications de la theorie des groupes en physique. Entre autres exemple, je m'interresse au modèle standard et donc a la maniere d'associer des familles de particules et des representations du groupe de symetrie associé (en gros SU(3)xSU(2)xU(1) si j'ai bien tout compris)

Malheureusement, aussi bien les references que je trouve sur le net que les discussions sur ce forum ont essentiellement pour but d'expliquer la theorie des representations a des physiciens.. Or moi c'est plutot l'inverse : disons que je vois bien ce qu'est la theorie des representations et que conceptuellement je vois bien pourquoi des representations arrivent naturellement en physique.

Ce qui me manque c'est plutot le sens a donner a ces representations, surtout dans l'exemple du modèle standard. Mes connaissances sur le sujet sont suffisamment mauvaises pour que j'ai meme du mal a voir quelles questions je pourrais poser, mais commencons :

- deja sur quoi represente on notre groupe dans ce cas precis ? sur un espaces de solutions de certaines equations, ou sur un espace engendré par des "propriétés" des particules (charges, spin, etc..) ?
- comment associe t on une famille de particule a une representation ? Je comprends bien par exemple qu'une particule non chargée sera associée a une representation triviale du groupe de symetrie associé, mais je n'arrive pas a voir a quel point on peut "lire" des informations directement sur les representations..
- peut on deriver des equations a partir d'argument de theorie des groupes, ou faut il au contraire avoir des equations au prealable ?
- En gros, quelles sont les infos qu'on tire des representations, et quelles sont les données qu'on colle sur les representations a partir d'arguments physiques. Autrement dit : je vois comment les representations apparaissent, mais pas comment les physiciens s'en servent.
-Ah, et a t on pu predire l'existence de particules en faisant usage de representations ?

Desolé si ca n'est pas tres clair, je vois ce qui me manque mais je le formule mal.

merci à tout ceux qui me repondront !

Bonjour,

En effet on enseigne aux physiciens ce qu'est la théorie des representations des groupes (TRG) et à quoi çà sert. Par contre je suppose que l'on n'explique pas, en général, aux mathématiciens le rôle de la TRG en physique.

Je ne vais pas te répondre d'un seul coup à toutes des questions.

Pour commenser comprendre le rôle de la TRG dans le cadre de la physique des particules élémentaires n'est pas la meilleure façon pour comprendre de quoi il s'agit. Je démarre sur une autre idée.

1- Du groupe aux representations.

En physique et surtout en MQ on est confontré a des problèmes aux valeurs propres dans des espces de Hilbert du style donc:

H.Fi(r) = E.Fi(r)

H opérateur hamiltonien

Fi(r) fonction propre (en fait un sous-espace propre en cas de dégénersecence).

E energie propre.

En général H possède d'une manière flagrante des symétries géométriques (mais pas seulement) qui laisse invariant l'hamiltonien. Ces symétries {g} forment un groupe G et peuvent être donc representes par des opérateurs {G} agissant dans l'espace de Hilbert. On a donc:

[H,G] = 0 (commutateur)

Ce qui signifie que chaque sous-espace propre sous-tend un espace vectoriel de fonction qui engendre une representation irréductible du groupe G en question.

Une première application (parmi d'autres) consiste pour diagonaliser un hamiltonien défini dans une base d'effectuer d'abord un changement de base qui diagonalise simultanément tous les opérateurs {G} cad décomposer l'espace de Hilbert en sous 'espace irréductibles. (On parle de diagonalisation par blocs).

Une autre utilisation est de construire un hamiltonien H invariant sous G à partir d'une somme de produits d'opérateurs où les opérateurs sous-tendent une representation irréductible du groupe G. (Attention ici les opérateurs sont des vecteurs).

2- Des representations aux groupes.

Pour passer rapidement aux particules élémentaires la philosophie est inverse à la précédente:

On découvre expérimentalement d'abord des particules qui ont (presque) même masse cad même énergie en vertu de E = m.c2. il s'agit alors de deviner le groupe G qui justifie cette dégénerscence. C'est ainsi que par cumultation on est arrivé a classer les particules du point de vue de l'interaction forte selon le groupe de Lie SU(3).


3- Le modèle standard.

quand on s'interesse à la physique des seuls électrons en postulant le groupe U(1) on en déduit selon un principe d'invariance de jauge locale du groupe U(1) la forme d'interaction du champ électronique avec le champ électromagnétique. Le champ électromagnétique peut lui-même être construit sous le principe de l'invariance de jauge locale. On peut ainsi a partir d'un groupe completement reconstruire les champs électromagnétiques, le champ électronique ainsi que l'interaction entre les 2 champs.

Ce schéma peut être reproduit pour l'intection forte ou l'on remplace le groupe U(1) par le groupe SU(3) et c'est ainsi que l'on constitue le modèle standard comme le produit directe de 3 groupes de Lie. Auquels il vaut bien entendu rajouter le groupe de Lorentz.

[invitebe0cd90e]

merci pour tes explications.

1) effectivement ca faisait partie des autres exemples que je comptais traiter dans mon petit papier : l'equation de Schrodinger pour une molecule d'eau, si je ne dis pas de betises, donc de la forme ou est la fonction d'onde. La molecule d'eau etant me semble t'il invariante sous l'action du tres simple groupe , l'ensemble des solutions possible doit former une representationd e ce groupe, mais je ne sais pas trop quoi en tirer.

2)J'imagine que ce que tu decris est la demarche "historique", mais je pensais que dans une approche moderne on partait des groupes. J'ai cru comprendre en gros que les quantités caracteristiques associées aux particules (spin, charge, couleur, etc..) n'etaient pas de simples nombres mais indexaient des representations, mais je n'en sais pas plus. Est ce que ces representations imposent des contraintes sur les valeurs prises par ces propriétés ? Ou sur des equations ? J'avais presque imaginé qu'on pouvait tirer une classification des particules elementaires directement a partir de la TRG et d'autres considerations theorique ou experimentales.. Ou par exemple, que le fait qu'une particule qui avait tel spin ne pouvait pas avoir telle charge, mais pouvait avoir telle autre a partir de calculs algebrique (decomposition en rep. irreductible d'un produit tensoriel, par ex, il me semblait que ca arrivait frequemment en physique), ou de notions de "compatibilité" entre des representations de differents groupes constitutifs du produit direct associé au modele standard.

3) je vois l'idée, je pense... Comme dis, c'est pour de la vulgarisation, ce qui tombe bien puisque je suis moi meme moyen calé en physique, donc je cherche une illustration un peu concrete et comprehensible par moi meme de "pourquoi c'est vachement pratique d'avoir des groupes la derriere, et pas une simple liste de symetries sans structure".

[inviteca4b3353]

On peut ainsi a partir d'un groupe completement reconstruire les champs électromagnétiques, le champ électronique ainsi que l'interaction entre les 2 champs.

Le groupe ne fait pas tout, il faut quand meme postulé l'existence de fermions, de l'électron ici. Ensuite à partir du fermion et de l'action locale du groupe, on reconstruit le champ électromagnétique et son interaction avec le fermion.

Sinon pour répondre à la question initiale, en général en physique on remarque l'existence de grandeurs conservées. Cela signifie qu'on peut faire des tas de transformations au système physique, ces grandeurs ne changeront pas. Le théorème de Noether nous apprend que ces transformations forment nécessairement une structure de groupe, que l'on associe à la quantité conservée.
Maintenant si je veux construire un modèle (nécessairement mathématique) qui permettent de rendre compte de ces grandeurs conservées à partir de concepts ou d'objet élémentaires, la structure de groupe sous-jacente contraint énormément la "forme" de ces objets en imposant notamment qu'ils doivent vivre dans des représentations du groupe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ce6aa19]

merci pour tes explications.

1) effectivement ca faisait partie des autres exemples que je comptais traiter dans mon petit papier :

A mon avis la meilleure façon d'apprendre (ou de comprendre les groupes) c'est de prendre l' exemple d'une molécule pour des raisons qui vont aparaitre ci-dessous.

l'equation de Schrodinger pour une molecule d'eau, si je ne dis pas de betises, donc de la forme ou est la fonction d'onde. La molecule d'eau etant me semble t'il invariante sous l'action du tres simple groupe , l'ensemble des solutions possible doit former une representationd e ce groupe, mais je ne sais pas trop quoi en tirer.

Si tu parles d'équation de Schrodinger pour la molécule d'eau il s'agit implicitement du mouvement des électrons dans l'ambiance des 3 noyaux.

Tu trouves des niveaux d'énergie (valeurs propres) et les espaces propres associés. Tu peux te servir en indexant les niveaux par 2 nombres et les fonctions propres par 3 nombres.

Pour une fonction propre on aura:

|n,gamma, j>

gamma désigne une representation irréductible (cad un sous-espace vectoriel invariant sous G)

pour les niveaux d'énergie on écrit E(n, gamma)

j le numéro d'un vecteur (en cas de dégénerescence)
n un numéro d'ordre car les niveaux sont en nombre infinis (dénombrables) alors que le nombre de representations irréductibles sont faibles (il y en a exactement autant qu'il y a de classes dans le groupe).

A quoi çà sert?

Supposons qu'a 1 système physique H° on applique une perturbation H1. La question est de savoir si la perturbation va coupler des niveaux cad si H1 a des éléments non diagonaux. La TRG permet de répondre sans même écrire l'opérateur H1 dés lors que l'on connait son groupe de symétrie.

a) Si H1 a le même groupe que H° alors les seuls éléments non diagonaux sont ceux entre des niveaux appartenant au même gamma.

Autrement dit les éléments non nuls sont ceux tels que:

n,gamma, j |H1|m,gamma,j>

b) Si H1 est un sous-groupe, il se transforme selon une certaine representation irréductible gamma (H1) du groupe de H°.

dans ce cas les seuls élements de matrice non nuls de:

<n, gamma1|gamma(H1)| m,gamma2>

sont ceux dont pour lesquels la décomposition du produit (tensoriel) gamma1*gamma2 (representation réductible) en representations irréductibles de H° contiend la represention gamma(H1)

C'est ainsi que l'on peut prevoir si une molécule peut absorber de la lumière entre 2 niveaux et en plus en integrand la polarisation de la lumière.

Ainsi par la seule connaissance de groupes et de sous groupes on peut déduire tout un tas de propriétés.

2)J'imagine que ce que tu decris est la demarche "historique", mais je pensais que dans une approche moderne on partait des groupes.

Il ne s'agit pas de la démarcher historique, mais de la pratique réelle. soit on connait le groupe et l'on déduit les propriétés, soit (beaucoup plus difficile) on a quelques propriétés et l'on cherche le ghroupe pour déduire de nouvelles propriétés.

J'ai cru comprendre en gros que les quantités caracteristiques associées aux particules (spin, charge, couleur, etc..) n'etaient pas de simples nombres mais indexaient des representations, mais je n'en sais pas plus.

C'est excate et c'est vraiment un minimun d'appeler des objets physiques par des labels de groupe plutot que Pierre, Paul ou même i,j,k tc..

Pour les atomes [groupe de rotation O(3)] les états sont repérés par L et S qui désignent des representations irréductibles du groupe de rotation (en absence de couplage spin-orbite)

Est ce que ces representations imposent des contraintes sur les valeurs prises par ces propriétés ?

Oui, j'en ai donné un exemple ci-dessus.

Ou sur des equations ?

Oui la TRG permet de construire des invariants d'un groupe a partir de grandeurs se transformant selon les represntations irréductibles d'u groupe. (selon le modèle du produit scalaire ou de la contraction d'indices sur des tenseurs jusqu'a obtenir un tenseur d'ordre zéro)

J'avais presque imaginé qu'on pouvait tirer une classification des particules elementaires directement a partir de la TRG et d'autres considerations theorique ou experimentales..

Une fois avoir trouvé le groupe à partir d'essais et d'erreur alors les états peuvent être étiqueés par des labels de groupe.

3) je vois l'idée, je pense... Comme dis, c'est pour de la vulgarisation, ce qui tombe bien puisque je suis moi meme moyen calé en physique, donc je cherche une illustration un peu concrete et comprehensible par moi meme de "pourquoi c'est vachement pratique d'avoir des groupes la derriere, et pas une simple liste de symetries sans structure".

Si tu veux comprendre la TRG mieux vaut abandonner dans un tremier temps le modèle standard fondé sur un concept d'invariance de jauge qui est conceptuellement compliqué.

Soit tu abordes le problème sur les molécules (groupe discret) ou pour prendre un raccourci sur les atomes (groupe O(3) comme exemple de groupe continu (groupe de Lie) qui te rapproche du modèle standard.

Si tu veux comprendre le modèle standard il faut absolument commencer par étudier l'invariance de jauge des équations de Maxwell.

[invite7399a8aa]

Bonjour,

Accésoirement, si tu souhaites t'amuser un peu, tu pourras toujours prendre certaines équations de la MQ (Schrödinger, Klein Gordon, Dirac etc...) et reécrire certaines solutions dans le domaine de Laplace, ça fait apparaitre des trucs marants.

Cordialement

Ludwig

[invite60be3959]

J'avais presque imaginé qu'on pouvait tirer une classification des particules elementaires directement a partir de la TRG et d'autres considerations theorique ou experimentales..

salut,

En effet et c'est ce que cherchent les physiciens qui bossent sur le "théorie du tout". Il y a un peu plus d'un an, un physicien (qui a une thèse en physique théorique mais n'exerce pas dans le système académique), du nom de Garette Lisi, a proposé le groupe de Lie E8 pour fournir une représentation complète de toutes les particules élémentaires connues(dont une bonne partie n'ont pas encore été découverte! Les particules élémentaires constituent une base de E8. Il y a en a environ 220, mais pour compléter cette base il faut conjecturer l'existence d'environ(je ne ùe rappel plus exactement) 28 nouvelles particlues, E8 étant de dimension 248). Cette article est très contesté par environ la moitié des physiciens du milieu, c'est beaucoup ! Mais certains grand nom de la physique théorique des particules élémentaires ont applaudi sa découverte.

C'est un article assez compliqué, mais très bien illustré. Peut-être le comprendras-tu mieux que moi car je n'suis pas en expert en théorie des groupes ! Je te laisse le lien pour la culture généralehttp://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/...711.0770v1.pdf
mais comme l'a dit mariposa mieux vaut commencer "simple" avec U(1) et l'électrodynamique quantique.