Bonjour,I EXPOSEJ'étudie le mouvement d'une particule trés petite entrainée par un flux gazeux dans un hélicoide. Cette particule se déplace suivant l'axe des X à la vitesse du flux vecteur suivant cet axe et suivant les axe Y et Z suivant une trajectoire semi-sinusoidale suivant ces axes.La particule est injectée dans le flux à l'axe X de l'hélicoide.Elle va etre soumise à une force centrifuge suivant r qui va lui communquer une vitesse suivant r qui sera freinée par la résistance des molecules du gaz vecteur.Dans notre cas nou considérons que la molécule suit les règles de la cinétique des gaz et non de stokes.Cette force de freinage, en cinétique des gaz, s’exprime selon Fick Einstein :F=( KBT) .V)/D *-*KB est la constante de BOLTZMANN* = 1,38E-23 en Joule/°K-*T la température absolue en °K-*V la vitesse relative des molécules de polluant par rapport aux molécules du vecteur.-*D le coefficient de diffusion du polluant dans le vecteur en m2/s. Le coefficient de diffusion du dioxyde de carbone dans l’air est égal a à 1,40E-04.*La molécule est soumise à une force qui est la force résultante composée par la force centrifuge et la force de freinage :F(résult) = (m’.ω2.r(t)) – ( KBT .v(t)/D)* = m.γ **** (3)On pose : α = ( KBT )/(D.m’)* mγ = m’.ω2.r(t) – v(t).α.m’Ce qui donne : γ = ω2.r(t) - v(t).α soitd2r/dt2) = -α.(dr/dt) + ω2.r(t)On cherche une solution de forme r(t) =* A exp(ω.t)On cherche les racines du polynôme caractéristique :ω2* + αω – ω02=0 où ω0 est la vitesse angulaire moyenne.Ces racines sont :-*φ1 = [ (-α + racine2( α2 + 4 ω02)] / 2-*φ2 = [ (-α - racine2(α2 + 4 ω02)] / 2La solution est donc de la forme :r(t) = A1 exp(φ1.t) + A2 exp(φ2.t)Avec les conditions limites suivantes : r0 = R0** et v0 = 0,on obtient :r(t) = ( R0 / (φ1- φ2)) . [φ1 exp(φ2.t) - φ2 exp(φ1.t)]****************** (etv(t) =* ( R0 . φ1. φ2) / (φ1- φ2)) . [ exp(φ2.t) -* exp(φ1.t)]************** II - QUESTIONS
1 - Est ce que mon calcul vous parait juste ?2 -* Pour obtenir ce résultat on a intégré dans nos calculs ω0 qui est la vitesse angulaire moyenne, c’est à dire, calculée sur la longueur de la spire moyenne. Cette longueur varie entre* r(t) = R0* à l’origine et* r(t) = R1*** à la paroi de la différence entre :Racine( 4.π2 . R02 + p2)* et* Racine( 4.π2 . R12 + p2) .Il faudrait en fait intégrer la vitesse angulaire réelle à l’instant* t* qui dépend de la longueur de la spire réellement parcourue par la molécule à cet instant.**
Et cela je ne sais pas le faire parce que je ne suis qu'un pauvre ingénieur à la retraite et non un mathématicien de haut vol.Pour l'instant je me débrouille par itérations , Est ce quelqu'un pourrait m'aider ?Merci
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Envoyé par jacbel 
