[EXO] Mécanique

[invite6989fbd6]

Salut à tous, alors je suis pas doué du tout en physique donc je viendrai régulièrement vous embêter désolé d'avance. J'ai là, un petit exo à faire et je bloque parce que je ne sais pas trop quoi écrire...

Dans un plan horizontal (O,i,j) on considère un mobile ponctuel M repéré par ses coordonnées polaires :
OM = r*u(r)
et 0 = (Ox, OM) (0 c'est un truc grecque, têta je crois...)
Le point M décrit un mouvement circulaire de vitesse angulaire w et de rayon constant R et de centre O.

Là, je me dis, ok c'est un cercle et pas une spirale étant donné que R est constant...
Question 1 : Exprimer le vecteur vitesse V de M à l'aide des vecteurs unitaires U(r) et U(0) (c'est en indice).
Là je bloque... parce que je sais pas ce que c'est une coordonnée polaire. Par conte je sais comment tracer les vecteurs unitaires u(r) et u(0). Mais exprimer v à partir de coordonnée polaire... ? Je l'aurai fais si c'était à partir de coordonnées paramétriques... Enfin voilà, éclairez ma lanterne s'il vous plait, et merci d'avance. (pour le reste de l'exo, je me débrouillerai)
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[Calvert]

Salut !

Il faut commencer par bien comprendre ce que représente tes vecteurs unitaires et , et surtout que ces vecteurs unitaires varient en fonction de la position du point M. On a les relations suivantes (faciles à obtenir graphiquement) :



Ta position est donnée par la relation :



La vitesse est donc très généralement :



Ici, comme les vecteurs de bases tournent, leur dérivée temporelle n'est pas nulle (au contraire des vecteurs de la base cartésienne et ). On a donc :



Dans ton cas, le rayon est constant, et donc . Il te reste donc à dériver l'expression de du début.

Voilà ! Essaye déjà de te débrouiller avec ça !

[invite6989fbd6]

Ahhh alors on trouve v = -sin(0)ux + cos(0)uy
On peut aussi dire que l'accélération est égale à la dérivée de v donc :
a = -cos(0)ux -sin(0)uy

J'pense que ça commence à rentrer, merci beaucoup

[invitea84d96f1]

Ahhh alors on trouve v = -sin(0)ux + cos(0)uy On peut aussi dire que l'accélération est égale à la dérivée de v donc :
a = -cos(0)ux -sin(0)uy

J'pense que ça commence à rentrer, merci beaucoup

Salut,
Désolé, non... et non, ce n'est pas comme çà. Il y manque w ! Et puis si w n'est pas constante (l'énoncé ne le dit pas) l'expression de a est fausse.

Coordonnées polaires:
D'habitude, dans un plan on repère un point par ses 2 coordonnées cartésiennes (2 informations). On peut les remplacer par 2 autres : "r" est la distance du point à l'origine O fixe (donc longueur du rayon qui joint O au point = vecteur-position) et "thêta" l'inclinaison (algébrique) de ce vecteur-position par rapport à un demi-axe fixe, Ox en général.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6989fbd6]

Mmmmh j'suis un peu paumé alors, tu pourrais me donner un morceau d'explication en plus s'il te plait ?

[Calvert]

En fait, ici, tu ne peux pas considérer que est constant dans le temps. Ainsi, par exemple, le terme



Ensuite, je te conseille de comparer le résultat que tu trouveras (pas très différent du résultat que tu as maintenant), et de le comparer à ... Et bien comprendre ce que cela signifie, te convaincre que c'est correcte.

[invite6989fbd6]

Alors j'ai : v = r * w * u0
v = -r*w*sin(0) + r*w*cos(0) ?

[invitea84d96f1]

Il y a 2 façons à expliquer…

1/ Je passe tout en cartésiennes puis reviendrai en polaires

Le vecteur-position étant r (en gras = vecteur) (je ne note pas x comme Calvert)
en cartésiennes :
x = r.cos(thêta)
y = r.sin(thêta)
(remarque que (cos(thêta) , sin(thêta)) est le vecteur u_r (unitaire) )

Dérivation temporelle…(r étant constante (la longueur, pas le vecteur !))
dx/dt = v_x = -r. d(thêta)/dt .sin(thêta) = -rw .sin(thêta)
dy/dt = v_y = r. d(thêta)/dt .cos(thêta) = rw .cos(thêta)
avec d(thêta)/dt = w, (la dérivée de la position angulaire est la vitesse angulaire)

Vu que (-sin(thêta) , cos(thêta)) est le vecteur u_thêta (unitaire), on déduit
v = rw. u_thêta

[invitea84d96f1]

2/ Je travaille avec les axes ou vecteurs u_r , u_thêta

Il faut comprendre que ces vecteurs varient avec le temps (en direction seulement, étant unitaires)
du_r/dt = w u_thêta et
du_thêta/dt = -w u_r (à démontrer)
J'écris
r = ru_r (r étant constant)
v = dr/dt = r du_r/dt = rw u_thêta
a = dv/dt = r. dw/dt. u_thêta – rw²u_r

[invite6989fbd6]

Merci à vous deux, j'ai très bien compris. Me reste plus qu'à m'exercer pour m'habituer à tout ça. Bonne soirée !