probleme de thermique dans un tube

[invite810f6b42]

bonjour,

je suis confronté à un problème de thermique que je n'arrive pas à résoudre.

données:
- tube en cuivre de 50 mm de diamètre, épaisseur 2 mm contenant de l'eau liquide
- température initiale de l ensemble: 20°C

on applique à l'extérieur du tube une température de -20 °C et on cherche à determiner le temps t au bout duquel on atteint 0°C à l'interface canalisation-eau.

conductivités thermiques :
- Cuivre : 370 W/(m.K)
- eau : 0.59 W/(m.K)

capacités calorifiques :
- cuivre : 385 J/(kg.K)
- eau : 4180 J/(kg.K)


Si toutefois il manque des données, prenez celles que vous voulez en les précisant

merci d'avance à tous ceux qui m'aideront
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[invitea3eb043e]

Ce problème est extrêmement complexe malgré son allure simple pour plusieurs raisons :
1- mettre le tuyau en contact avec un fluide à -20°C ne garantit pas que la surface est à -20°C, il faut évaluer les échanges
2- l'eau dans le tube ne va pas rester immobile, il va s'établir des courants de convection qui dépendront de l'homogénéité de la température

En fait seule une expérience doit permettre de répondre avec un peu de précision.

Ce problème fait penser à la vieille querelle de savoir si l'eau froide gèle plus vite que l'eau tiède quand on les met dans un congélateur.

[invite810f6b42]

le but c'est d'avoir une estimation du temps de gel

on suppose que l'on applique instantanément une température de -20°C en surface
et je suppose également que les courants de convection dans l'eau seront négligeable étant donné le faible delta(T)

Le problème que je pose ici n'est pas un exercice "scolaire". c'est un vrai problème scientifique. je ne souhaite pas obtenir en resultat une valeur exacte mais une approximation du temps qu il faudra pour que l eau commence a geler

[invited9d78a37]

bonjour
au vu de la diffusivité thermique du cuivre vis à vis de celle de l'eau, il faut étudier juste le système constitué d'un cylindre d'eau.
après c'est du domaine des phénomènes diffusifs.
pour une diffusivité définit telle que alors un temps caractéristique de diffusion en cylindrique est

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite810f6b42]

je suis d accord avec ton raisonnement chwebij
mais à aucun moment il n'y a la température qui intervient dans tes formules.
et pourtant ce sont des paramètres essentiels dans mon problème

[invited9d78a37]

le reste arrive:
pour avoir une idée plus précise, il faut résoudre l'équation de la chaleur en cylindrique:

on doit retrouver comme solution:



donc en normalisant:






a priori c'est bon

[invite15928b85]

Bjr.

La solution exacte serait donnée par la résolution de l'équation de la chaleur en coordonnées cylindriques avec symétrie axiale en tenant compte de la continuité du flux à l'interface cuivre-eau et avec comme condition aux limites la température imposée à la surface du tuyau. Pfou, mal au crâne rien que de l'avoir écrit...

On trouve des soluces pour un tube plein, à base de somme de fonctions de Bessel mais pour la suite ???

Envisager une résolution numérique ?!

Pas terrible, comme contrib, mais le problème n'est vraiment pas simple.

[invited9d78a37]

la diffusivité du cuivre est de l'orde 1e-4 et celle de l'eau 1e-7. Je pense que la diffusion thermique dans le cuivre ne jouera pas énormément dans le temps de diffusivité total.
par contre il est possible que l'eau gèle en partie avant d'arriver à 0. cependant si vous voulez une approximation, ca reste valide

[invite810f6b42]

chwebij auriez vous l'ensemble des calculs qui mènent à l'obtention de la solution de l'équation de la chaleur?
ou meme une methode de résolution assez détaillée?
parce que pour résoudre une équation à deux variables, je me rappelle qu il faut chercher une solution à variables s&parées qui satisfait à l'équation de départ.
mais impossible de me rappeler comment trouver cette solution la...

[invited9d78a37]

je pense qu'il y a les détails sur cette page
http://fr.wikipedia.org/wiki/Conduction_thermique

[invite15928b85]

Bjr.
Je serais également preneur du détail du calcul ou de la référence biblio (pas Wiki, trop général).
Merci.

[invited9d78a37]

bonjour
pour débuter je me suis un peu planté sur la solution ce n'est pas :
mais
à ma connaissance, il y a deux méthodes. Celle donnée dans wiki, en passant par une TF. Je peux vous en proposer une autre:
donc on a l'équation:

on suppose que la solution est de la forme avec
on doit alors réécrire les dérivées:




en remettant tout ca dans l'équation:




en intégrant une première fois on a

ce qui donne


il faut alors intégrer


en changeant de variable




et on retombe bien sur la fonction erf, en appliquant les conditions limites et initiales.
voila, désolé pour l'erreur.

[invite15928b85]

Bonjour et merci pour la réponse.
Si je comprends bien (mes études commencent à dater), vue la tête du Laplacien, la solution proposée est basée sur l'approximation d'un problème plan unidirectionnel et la solution en erf(...). Correct ?
C'est pas pour critiquer, loin de là, mais le problème m'intéresse (temps nécessaire à un tuyau d'eau pour geler. effet de l'isolation du dit tuyau).
Cordialement.

[invite810f6b42]

le modèle en coordonnées cartésiennes à 1 dimension est assez facile a résoudre. on peut egalement le faire par la methode de "séparation des variables" (on cherche une solution du type F(r,t) = U(r) * V(t) )
le probleme est lorsqu on cherche a resoudre le meme probleme en coordonnées cylindrique.
en effet, le laplacien en coordonnées cylindrique fait apparaitre un terme en 1/r ( r est une des variables de l equation de la chaleur).
on aura a resoudre une equa diff du 2nd ordre à coeff non constant
et ce type d eqution est tres difficile a resoudre.
C'est la que le pb se pose et c'est la que je bloque ...

[invited9d78a37]

en effet j'avais oublié ce terme, on a alors



en intégrant une première fois on a

ce qui donne


ainsi


ca correspont à l'exponentielle intégrale . On la retrouve sous Matlab comme la fonction expint

[invite15928b85]

Bonjour.
Ce fil n'est pas mort et c'est tant mieux car je me posait une petite question. Je n'ai jamais vu de solution analytique prenant en compte une condition aux limites du type transfert linéaire (flux proportionnel à l'écart entre température de paroi et température du milieu extérieur). Il me semble, par exemple, que la vitesse de refroidissement sera grandement influencée suivant que l'on aura affaire à une convection naturelle ou bien à une convection forcée et que ce type de condition sera plus réaliste que d'imposer une température de surface à t = 0.
Je suis preneur de toute référence biblio que vous pourriez proposer sur cette question.
Cordialement

[invite810f6b42]

comme tu le dis, le refroidissement va être très influencé par le coefficient de convection que tu auras a la surface de ta pièce. en effet, en convection forcée, pour un liquide (eau)(mieux qu un gaz dans le cas d un refroidissement) on peut facilement atteindre 100 000 W/(m².K) contre environ 2000 W/(m².K) en convection naturelle.

Si tu cherches des informations concernant ce mode de transfert d energie, tu peux chercher du côté des échangeurs de chaleurs par exemple. Je suis sur que tu trouveras beaucoup d informations

[invite15928b85]

OK. Merci d'avoir répondu et bonne journée.

[invited9d78a37]

je vous conseille ce livre qui est assez détaillé sur les sujets de convection naturelle ou forcée:
Fundamentals of Heat and Mass Transfer 6ème Edition, Incropera, DeWitt, Bergman et Lavine, Wiley, 2007.