Dipôle RL et équation diff

[Mister Chicken]

Bonjour.

Je n'arrive pas à comprendre comment on résout les équations différentielles en physique.

Durant l'établissement du courant, on obtient l'équation différentielle:


J'ai comprends comment on l'obtenait, mais je ne comprends pas comment on la résout. Dans tous les bouquins, on donne juste la solution:

Ce qui donne:



Malgré plusieurs recherches sur ce forum, je ne suis pas parvenu à comprendre la démarche.

Il faut utiliser la formule quand on a une forme y'=ay+b, qui a pour solution

Mais je bloque à savoir qui est y', y, a et b. Je suis perdus dans tout ça, d'autant plus qu'il faut faire le rapprochement entre les inconnus de maths et physique...


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[calculair]

bonjour,

La solution de l'eaquaton differentielle
K di/dt + i = A
Tu resouds l'eauation sans le 2° membre
Kdi/dt = - i

une solution est i = I°exp gt
di /dt = Fg exp gt
et I°K di /dt = K g I° exp gt
en identifiant avec l'equation sans 2° membre
g = - 1/K

on a i = I° exp( - 1K t )

Il faut ajouter a cette sokution une solution avec le 2° membre

K di/dt + i = A

cette solution est i = I° exp ( -t/ K) + A

en identifiant avec

L/R di/dt + i = U/R

K = L/R, A = U/R

i = I° exp ( - L/R t) +U/R

Pour t = infini tu trouves I°

[Mister Chicken]

Comprends toujours pas :/

D'où tu trouves i=I°exp gt
Et surtout à quoi correspong I°, g et t ?

[calculair]

bonjour,

Tu essayes une solution de ce type.
i et di/dt a une constante multiplicative près c'est la mêm chose alors exp peut tre solution
t c'est la variable
les autres paramètres sont des constantes à ajuster par comparaison avec l'eaquation donnée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite03481543]

Comprends toujours pas :/

D'où tu trouves i=I°exp gt
Et surtout à quoi correspong I°, g et t ?

Bonjour,

il faut lire I₀, en relation avec U₀.
g est un indice mathématique que calculair a introduit pour montrer le cas général, t est la variable de temps.
Il faut impérativement que tu te replonges dans les équa diff en maths.

[Mister Chicken]

J'ai laisser de côté la physique le temps de me replonger dans les maths. Maintenant, c'est bon, je pense avoir comprit les équations différentielle, mais j'ai toujours du mal à comprendre cette démarche.

Quand calcair écrit: di/dt=Fg exp gt

C'est quoi ?

Pour moi, di/dt=-i/K et donc di/dt=(I°exp gt)/K, non?

Pareil pour I°K di/dt=K g I° exp gt, je ne comprends pas comment on l'obtient.

Ensuite, j'ai comprit la comparaison avec l'équation sans second membre et comment on en déduit g, cependant, le I° n'est-il pas de trop ? Il n'apparait pas dans l'équation sans second membre.

[citron_21]

Salut,
en fait, une équation différentielle d'un type donné (coefficients constants ou variables, linéaire, du 1° ordre ou du 2° ordre) a un type de solution.
Dans ton cas, tu as une equa. diff. linéaire à coeff. constants du 1° ordre (c'est un cas très fréquent). La solution à cette équa. diff. est du type :

i=I₀.exp(g.t) + A

(A est une constante dûe à la présence de ton second membre dans ton équa.diff.)

(pour reprendre les notations de Calculair, I₀ et g sont des constantes, que tu essaye de déterminer par la suite).

dans le but de remplacer ce type de solution dans ton équa. diff., tu va dériver i (par rapport au temps ). En fait, en maths, on écrit la dérivée de y : y'. Mais en physique (comme en maths d'ailleurs), il arrive qu'il y ait plusieurs variables selon lesquelles on peut dériver. Ici, il n'y a que le temps, donc pas de problème. C'est pourquoi on note la dérivée i'=di/dt. (on lit "dérivée de i par rapport au temps")...

di/dt=g.I₀.exp(g.t)

quand tu remplace dans ton equa.diff., tu identifie une des 2 constantes (I₀ ou g) grâce aux données que tu as déjà dans ton exo.
Pour connaître la valeur de ta 2° constante, il te faut prendre des conditions à l'origine. Par exemple, on sait qu'à t=0, l'intensité est de i(t=0)=... Donc tu connais les constantes de ta solution i. Tu as donc résolu ton équa. diff.

[Mister Chicken]

Merci, tu as éclairci pas mal de point sombre, je pense avoir comprit plus ou moins la démarche de calculair, mais elle me parait compliquée, je sais pas si je serai capable de la refaire rapidement, on est obligé de passer par l'équation dans second membre ?

J'ai essayer d'appliquer directement la formule mathématique. Dans ce cas, on transforme notre équation différentielle en:
di/dt=-R/L*i+U_o/L

Si on applique de là exactement la solution mathématique qui sont les fonctions I_oe^ax - b/a

Dans ce cas, on a a=-R/L et b=U_o/L

Ce qui donne:
i=I_oe^-R/L*t +U_o/R
(D'ailleurs, je vois pas vraiment du coup, pourquoi c'est i=... et pas une fonction.)

Mais je n'arrive pas à faire correspondre à l'équation différentielle, et on a plus qu'une inconnue.

[citron_21]

Oui ta méthode de passer par la formule mathématique est bonne, et elle se rapproche d'ailleurs de la méthode de calculair.
Exploite bien toutes tes conditions initiales après avoir remplacé l'expression de i et de di/dt dans ton equa.diff. pour identifier tes constantes...

[Mister Chicken]

En continuant, je bloque:

di/dt=-I_o*R/L*e^-R/L*t

En remplaçant dans l'équation différentielle, j'obtiens:

-I_o*R/L*e^-R/L*t=-R/L*I_oe^-R/L*t+U_o/R+U_o/L

Donc là, je vois qu'on peut simplifier, mais si on simplifie, on supprime l'inconnue qu'on cherche: I_o

[Mister Chicken]

EDIT: Je vois que je me suis même complètement perdus dans mes calculs, vu que je ne cherche pas à trouver I₀, mais juste, je veux arriver à i(t)=I₀*(1-e^-t/)

J'suis complètement perdus là

[citron_21]

Déjà, pour simplifier le truc, on peux donner l'expression de i (avec les formules mathématiques relatives aux équa.diff.) :

i=I₀.exp[(-R/L).t]+U₀/R

Es-tu d'accord avec cette expression ?

[Mister Chicken]

Oui, jusque là, je suis.

[citron_21]

Après, prend à t=0 :
i(t)=I₀.exp[(-R/L).t]+U₀/R

i(t=0)=I₀+U₀/R

et à t->+inf :
i(t->+inf)=U₀/R

Tu as donc deux conditions que tu peux exploiter. Quelles sont les valeurs de i(t=0) et de i(t->+inf) d'après ton énoncé ?

[Mister Chicken]

Ben en fait, c'est pas un exercice que je fais.

C'est dans la leçon, dans le cas où le courant s'établit et dans le cas où le courant décroit jusqu'à 0 dans le cricuit.

Pour les deux cas, ils donnent l'équation différentielle et la solution sans explicité comme la solution est trouvée et c'est ça que j'ai du mal à comprendre.

Dans le premier post, j'ai prit l'exemple où le courant i(t) s'établit dans el circuit.

[citron_21]

Si tu as déjà compris ça, tu as compris quasiment toute la leçon. Ce qui reste à faire, c'est essayer sur des exemples concrets (par exemple en exercices)

[Mister Chicken]

Ouais, là je pense avoir comprit, mais j'ai quand même remarqué en erreur de signe, dans mon livre, j'ai:

i(t)=I₀*(1-e^-R/L*t)

Donc si on développe, on a:
i(t)=I₀-I₀e^-R/L*t
Donc i(t)=U₀/R - I₀e^-R/L*t

Pourtant, dans notre solution, on a + et non -

[citron_21]

Quand tu vois une erreur de signe comme ça, remplace t par 0 ou fais le tendre vers l'infini pour voir ce que donne l'intensité i(t).
Ici, ca m'a l'air juste avec un - dans le cas de l'établissement du courant. (t=0, i(t=0)=0 / t->+inf, i(t->+inf)=I₀)
Donc, effectivement il ya une erreur quelque part

Je pense que l'erreur a été faite lorsque l'on a posé les conditions. Peut être que l'intensité est maximale en valeur absolue. Dans ce cas, il y a effectivement un signe - à ajouter.
Il vaut mieux attendre confirmation de quelqu'un...
Mais je te répète que le principal c'est de s'entraîner plusieurs fois sur différents exercices. Pour ce qui est du cours, si tu as compris la méthode, c'est bien.

[Mister Chicken]

Ok, merci

[invite54a66378]

On a tt d’abord :
Ul= ri+Ldi/dt
Ur=Ri


U0= Ur+Ul
U0=Ri+ri+Ldi/dt
U0=(R+r)i+Ldi/dt
R+r= R’
U0=R’i+Ldi/dt
U0 /R’=i+L /R’di/dt (1) equation différentielle avec L/R’ = t

Maintenant on cherche la solution :
Cette equation est une equation du premier ordre donc la solution sera sous la forme :
I(t)=Aexp-at+B (2)
Donc on va chercher trois constantes A, B et a
En premier temps on cherchera B et a et cela s’effectue en DERIVANT l’equation (2)
Di/dt= -aAexp-at (3)
On remplace (2) et (3) dans l’equation (1) :
U0 /R’= Aexp -at+B-L /R’-aAexp-at
U0/R’-B= Aexp-at( 1- at/R’)
On a donc U0/R’-B= 0 et 1-at/R’ = 0
B=U0/R’ et 1= at/R’ donc
a=R’/L= 1 / a
Pour chercher la constante A on utilise les CONDITIONS INITIALES dans l’equation (2) :
I(0)= A+B
Et a partir des enoncés de l’exercice on a qu’à l’instant t=0 i est nul
On obtient alors :
I(0)=A+B= 0
A=-B= -U0/R’
En remplaçant les resultat obtenus dans l’equation 2 on obtient la solution final de l’equation différentielle :
I(t) = -U0/R’exp-t/t + U0/R’
I(t)= U0 /R’(1-exp-t/t)

[Mister Chicken]

Ah oui, là j'ai bien comprit, merci !

Juste une chose, tout à la fin, normalement a=R'/L et =R/L donc A=.

Seulement à la fin, on a: exp-at donc normalement ça doit donner exp-t et non exp-t/
Non ?

[Mister Chicken]

Ah je viens de voir que y'a une petite erreur sur mon bouqin et donc vaut bien L/R.

Donc ça va, j'ai tout comprit, merci beaucoup !!

[invite54a66378]

je corrige une chose en gras pcq je savais pas comment fairre tau et alpha donc je les ai remplacé par a et t en italiques ehh oui j'avais fais une fiche des circuits rc rl rlc en terminal de toutes les questions possibles puisque les questions qui tombés étaient toujours le meme et avec un bon prof aussi n'hesite pas si tu as d'autres questions sur les circuits ! tu m'a obligé a sortir mes vieux fiches et aussi d'une révision

On a tt d’abord :
Ul= ri+Ldi/dt
Ur=Ri


U0= Ur+Ul
U0=Ri+ri+Ldi/dt
U0=(R+r)i+Ldi/dt
R+r= R’
U0=R’i+Ldi/dt
U0 /R’=i+L /R’di/dt (1) equation différentielle avec L/R’ = t

Maintenant on cherche la solution :
Cette equation est une equation du premier ordre donc la solution sera sous la forme :
I(t)=Aexp-at+B (2)
Donc on va chercher trois constantes A, B et a
En premier temps on cherchera B et a et cela s’effectue en DERIVANT l’equation (2)
Di/dt= -aAexp-at (3)
On remplace (2) et (3) dans l’equation (1) :
U0 /R’= Aexp -at+B-L /R’-aAexp-at
U0/R’-B= Aexp-at( 1- at/R’)
On a donc U0/R’-B= 0 et 1-at/R’ = 0
B=U0/R’ et 1= at/R’ donc
a=R’/L= 1 /t
Pour chercher la constante A on utilise les CONDITIONS INITIALES dans l’equation (2) :
I(0)= A+B
Et a partir des enoncés de l’exercice on a qu’à l’instant t=0 i est nul
On obtient alors :
I(0)=A+B= 0
A=-B= -U0/R’
En remplaçant les resultat obtenus dans l’equation 2 on obtient la solution final de l’equation différentielle :
I(t) = -U0/R’exp-t/t + U0/R’
I(t)= U0 /R’(1-exp-t/t)

la faute est en gras thx!

[Mister Chicken]

Ouais, j'avais vu d'autre petite erreur, surement de frappe vesrle début, mais je les ai corrigé tout seul, c'était pas compliqué, merci beaucoup

Pour le moment, je pense avoir comprit, mais je vais essayer de m'entrainer sur des sujets type bac pour voir les questions demandée, c'est vrai que la physique et chimie, c'est un peu toujours pas la même chose, donc quand tu as comprit un fois, tu es tranquille pour tout le temps

Puis là, c'est des maths, ayant un prof' de maths assez catastrophique cette année, je suis largué en maths :/

Enfin, je pourrai me rendre compte de mon niveau avec le bac blanc qui commence demain ^^

Encore merci

[invite54a66378]

bonne chance alors pour demain

[Mister Chicken]

Merci, merci

[Mister Chicken]

Petite question qui vient de me traverser l'esprit...

Pourquoi a-t-on toujours une résistance dans les circuit RC ou RL ?

[invite03481543]

Bonsoir,

simplement pour se rapprocher du monde réel.

Un fil a une résistivité donc oppose une résistance au courant, ainsi que la résistance interne d'une source de tension, etc.

[Mister Chicken]

Ah ok, merci