DM sur le satellite Hipparcos

[invitec55ae5a9]

Bonjour,
Je suis nouvelle dans le forum, je vous prie donc de m'excuser à l'avance de mes maladesses de débutante
J'ai un DM pour la rentrée, et je n'ai pas très bien compris l'énoncé(du coup je bloque à la première question...)
Donc voilà l'énoncé et la première question :
le satellite hipparcos lancé le 2 août 1987 était constitué principalement d’un télescope de 30cm de diametre. Celui ci a permis d’établir un catalogue des positions, distances et éclats de plus de 118000 étoiles avec une précision jamais atteinte.

Ce satellite devait être placé sur une orbite géostationnaire à une altitude H=36 000 km
Un problème de mise a feu du moteur d’apogée a laissé hippparcos sur son orbite de transfert, son altitude variant entre h et H. Après utilisation des moteurs de positionnement, l’altitude minimale a été portée à h=500 km. Une programmation du satellite a permis de franchir des problèmes liés a une orbite. Au cours d’une révolution, il passe dans la ceinture de van hallen.

On supposera que cette ceinture est comprise entre deux sphères de rayon r1=8400km et r2=28000 km et de centre celui de la terre. La ceinture de van hallen est constituée de particules chargées piégées dans le champ magnétique terrestre. Ces particules aveuglent les détecteurs d’hipparcos interrompant les mesures des positions des etoiles. Il est cependant utilisable à 65%.

On assimile la terre à une sphère de centre O de rayon R =6400 km et de masse M et le satellite à un point matériel (S,m).On suppose le référentiel géocentrique galiléen. La période de la terre, dans ce référentiel, appelé jour sidéral vaut T=86164 s. On note G la constante de gravitation, sa valeur numérique n’est pas utile dans ce problème.

I Moment cinétique

1)Montrer que le moment cinétique vecteur L en O du satellite est une constante du mouvement.

J'ai fait un schéma et en fait, ce que je ne comprends pas dans la question, c'est pourquoi ils nous demandent le moment cinétique en O? Le satellite ne passe pas par le centre de la Terre!
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[calculair]

Bonjour
En fait on te demande de montrer que le moment cinetique du satellite est constant.
Ce moment cinetique est mesuré par rapport au centre de la terre

Moment cinetique = L = OM ^mV ( produit vectoriel ) M position du satellite

[invitec55ae5a9]

Ah ok, donc ça ne veut pas dire que le satellite passe par O, ils me demandent juste de calculer le moment cinétique par rapport au centre de la Terre? J'ai toujours du mal avec la compréhension des énoncés... (et c'est embétant)
Donc je dois appliquer le théorème du moment cinétique et que je dis que que la seul force qui s'applique au satellite est la force liée à l'attraction gravitationnelle de la Terre qui est paralèlle au vecteur OS alors dL/dt=0 ?

[invitec55ae5a9]

Rolala, j'ai vraiment du mal...
Apres, j'ai une question où on me demande de montrer que e = u_theta-L/(GMm))* v est une constante du mouvement avec v le vecteur vitesse du satellite( j'ai mis les vecteurs en italique)
J'ai essayé de dérivé mais je n'arrive pas à montrer que la dérivée de e s'annule...
Comment on fait s'il vous plait?

[A voir en vidéo sur Futura]

[calculair]

Bonjour,

Ce n' est pas clair pour moi....?

[invitec55ae5a9]

Désolé de ne pas avoir été claire.
Donc, la deuxième question est la suivante :
2) On utilise les coordonnées cylindriques dans le repère (O,u_r,u_theta,u_z)
Avec u_z tel que L= L*u_z
Montrer que le mouvement est plan et exprimer r²*dθ/dt en fonction de L et m.
Quel est le nom de cette grandeur ?
et j'ai bien trouver la constante des aires
Puis, la question suivante est :
3) Montrer que e = u_theta – (L/(GMm))*v est une constante du mouvement
(v étant la vitesse du satellite)

J'utilise toujours l'écriture en italique pour les vecteurs

Pouvez vous m'aider s'il vous plait?
J'ai essayé de dérivé e mais je n'arrive pas à trouver le bon résultat...

[calculair]

Bonjour,

Pour l'instant je sèche....
U theta st il bien un angle ?
L le moment cinetique du satellite par rapport au centre de la terre ?
V la vitesse du satellite ?

* le produit scalaire ?
e est une grandeur qui ne me dit rien ?????

[invitec55ae5a9]

Encore désolé, je suis pas très claire
donc u_theta est le vecteur unitaire associé au point M(satellite) en coordonnées cyindrique
oui, L est le moment cinetique(ou plutôt la norme du moment cinetique) du satellite par rapport au centre de la Terre(on avait vu que Lm=r²d(theta)/dt )
v est le vecteur vitesse du satellite
comme j'ai montré que L est constante, alors (L/(GMm)) est constant, et donc * est le signe de la multiplication
et enfin, e est un vecteur (qui correspond sûrement à l'excentricité)
Je suis plus claire?

[invite2a52e57e]

Pour démontrer que le vecteur excentricité est un invariant du mouvement, t'appliques le PFD. Tu trouves que la dérivée de ce vecteur est le vecteur nul, donc que le vecteur excentricité est constant.

[invitec55ae5a9]

Trop bien Chiara!!^^ merci pour l'astuce!
je vais essayer de faire la suite!

[invitec55ae5a9]

Bonjour,
c'est encore moi pour le même DM
Donc j'ai essayé de faire la suite hier soir mais je suis vraiment pas sûre de moi...
Voilà les autres questions:

2) On choisit l’origine de l’angle polaire de manière à avoir θ= (e , u_theta)
montrer que l’équation de la trajectoire peut se mettre sous la forme :
r(θ)= p/(1-ecos θ) où e =norme de e

III trajectoire d’Hipparcos

1) Exprimer et calculer e et p en fonction de h , H et R .
2) Exprimer et calculer le demi-grand axe a de la trajectoire à l’aide de R, h et H.
3) énoncer sans démonstration l troisième loi de Kepler
4) exprimer la période Th de révolution d’Hipparcos en fonction de T, R , H et h. Calculer Th en heures

IV Ceinture de Van hallen

1) déterminer les valeurs numériques des angles θ1 et θ2 d’entrée et sortie de la ceinture de Van Hallen du satellite.On donnera les valeurs comprises entre 0° et 180°.

2) Représenter sur un schéma clair la trajectoire du satellite et l'aire balayée A par OS lors d'un passage dans la ceinture de Van Hallen. Pour la question suivante on prendra A=200*10^6 km²

3)Déterminer le rapport Q=to/Th en fonction de A et Ae ( aire de l’ellipse) où to est la durée totale d’inactivité d’Hipparcos sur une période .Commenter. On donne l’aire de l’ellipse Ae = pi*p²/ ((1-e²)^3/2)

Donc voilà l'énoncé donné, j'ai fait la question où on demande l'équation de la trajectoire.
Ensuite pour calculer p et e dans le III 1), est ce qu'on peut dire que le centre de la terre est un des foyers de l'ellipse?
Et aussi, est ce que j'ai le droit d'utiliser directement les formules liées à l'ellipse sans les démontrer?(par exemple demi grand axe= p/(1-e²) et OP=p/(1+e) où p est le périgée)
et en utilisant ces formules, je trouve e=0.72 et p=11869
En fait je vous demande cela car du coup, j'ai presque déjà répondue à la question suivante. Puisque j'ai déjà utilisé l'expression du demi grand axe en fonction de p et e et l'expression du demi grand axe en fonction de h, H et R...

[invite2a52e57e]

Je reviens un peu plus haut sur cette page, car en fait, j'ai le même DM que toi à faire, avec des formulations différentes.

Mais j'ai un soucis sur la détermination de l'équation de la trajectoire. A la fin, j'obtiens r(θ)= p/(1+ecos θ) et non r(θ)= p/(1-ecos θ) ...
En fait, j'ai utilisé les formules de Binet, j'ai appliqué le PFD et ensuite j'ai exprimé la solution, mais je me retrouve avec un soucis de signe

Peux tu m'aider stp ? ^^

[invitec55ae5a9]

Oui, j'avais exactement le même problème. Par contre j'ai utilisé une autre méthode: j'ai projeté vecteur e sur u_theta. Et j'ai dit que e scalaire u_theta=-ecos(theta)... Ce qui me permet d'avoir le bon signe à la fin.
Mais j'avoue que je ne sais pas pourquoi e scalaire u_theta est négatif...

[invite2a52e57e]

Ah oui, en établissant l'équation de la trajectoire à partir de la méthode utilisant le vecteur excentricité, ça nous donne bien r(θ)= p/(1-ecos θ).

La justification pourrait être que par définition, on a e qui est dans le plan du mouvement. Ainsi, on choisit arbitrairement (e_x;e) = - pi/2, d'où e = -ee_y

(en italique, ce sont les vecteurs)

[invite2a52e57e]

Excusez moi de remonter ce post. Mais j'ai un soucis dans le sujet d'Hipparcos..

** Question:

13.b) Déterminer, en fonction de A₀ et A, le rapport b = dt/T_S.
Avec dt : durée totale d'inactivité d'Hipparcos sur une période T_S
A : aire de l'ellipse définie telle que Ae =
A₀ : aire balayée par le vecteur TS lors d'un passage dans la ceinture Van Hallen

** Réponse:

Et là je suis un peu perdue ...

Soit = cte = C/2



=

Je ne vois vraiment pas comment le résoudre :s