Electrostatique et condensateur (IUT)

[manu840]

Bonjour à tous,

On étudie en ce moment l'électromagnétisme avec notamment le théorème de Gauss.

J'ai un exercie à faire sur feuille (on a jamais fait d'autres exercices) dont voici l'énoncé :

Déterminer la capacité de ce condensateur :


Les plaques sont parallèles mais ne sont pas forcément dans l'axe.

Les plaques sont très grandes de surface A (ce qui rend négligable les effets de bord).

Elles portent des chargent +Q et -Q.

Bien sûr on ne peut pas résoudre ça de façon à avoir une valeur précise mais seulement avec du calcul littéral et avec un raisonnement.

Je sais qu'il faut que j'utilise le théorème de Gauss en utilisant le théorème de superposition en une plaque en z et en une autre en h.

Pour rappel : C=Q/U avec U : différence de potentielle entre les deux condensateurs il faut donc que je détermine le vecteur E (fléche sur le E).



Je ne demande pas et je ne veux pas une solution de l'exercice!
Je veux simplement d'autres pistes pour m'aiguiller et me suivre à la résolution de cet exercice.
Je posterai donc tout ce que je trouve pour voir déjà si j'ai bon ou pas.


Par avance merci,
Très cordialement
Manu840
-----

[invite6dffde4c]

Bonjour et bienvenu au forum.
Si les effets de bord peuvent être négligés, c'est faisable. Mais nul besoin d'utiliser le théorème de superposition. La seule formule "à démontrer" est celle des conditions limites du champ électrique à la surface d'un conducteur:


Où est la charge surfacique.
Pour démontrer cette formule, appliquez le théorème de Gauss avec une "boite de camembert" dont le fond est à l'intérieur du conducteur et le couvercle dans l'espace entre les deux plaques. Le champ à l'intérieur du conducteur est zéro et celui des bords est parallèle à la surface (produit scalaire nul). Donc, il ne reste que le couvercle. Et à l'intérieur de la boite, les charges de surface de la plaque.
Une fois que vous aurez le champ en fonction de la charge de surface, il suffit de calculer la différence de potentiel entre les plaques et la charge totale sur une des plaques.
Au revoir.

[manu840]

Déjà je n'arrive pas à appliquer le théorème de Gauss sur les plaques.

Pour l'appliquer on doit:
1) Etudier la symétrie (géométrie)
2) Ecrire le champ électrique de façon à respecter cette symétrie
3) Choisir la surface de Gauss S de façon à avoir la même sysmétrie que la source
4) Calculer le flux Phi=double intégral fermé de la surface du vecteur E scalaire le vecteur Ds qui est une surface infinitesimal.
5) Appliquer le théorème de Gauss phi= Qint/epsilon 0
6) En déduire le vecteur E

La source est à symétrie rectangulaire.
Après je ne sais pas comment faire...

[invite6dffde4c]

La source est à symétrie rectangulaire.

Re.
Non.
La symétrie que vous avez est une symétrie de translation. Oui, c'est comme ça. Ça n'a rien à voir avec la "forme" des plaques dans ce cas. Comme les bords sont "très loin", vous ne les "voyez pas" d'un point général entre les plaques. Cela veut dire que le champ est le même à tous les endroits de l plaque.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[manu840]

Tout d'abord merci de votre réponse rapide.
Je débute seulemetn en électrostatique (environ 5h de cours et aucun exercice pour le moment).

Mais nul besoin d'utiliser le théorème de superposition. La seule formule "à démontrer" est celle des conditions limites du champ électrique à la surface d'un conducteur:

Notre professeur nous avait dit d'utiliser le théorème de superposition.

Est-ce que votre formule correspond à celle de mon cours ou j'ai le flux à la place du champ électrique c'est à dire :

Avec le flux du champ électrique et Qint : la charge intérieure à la surface S

[invite6dffde4c]

Tout d'abord merci de votre réponse rapide.
Je débute seulemetn en électrostatique (environ 5h de cours et aucun exercice pour le moment).

Notre professeur nous avait dit d'utiliser le théorème de superposition.

Est-ce que votre formule correspond à celle de mon cours ou j'ai le flux à la place du champ électrique c'est à dire :

Avec le flux du champ électrique et Qint : la charge intérieure à la surface S

Re.
La formule du flux que vous donnez est correcte.
Mais si votre prof vous demande d'utiliser le théorème de superposition, il se trompe. On n'a pas besoin de théorème de superposition. Le champ entre les deux plaques n'est pas le résultat "des champs produits par les deux plaques".
C'est une erreur que j'ai déjà vu passer dans ce forum dans lequel on calcule le champ produit par les charges comme s'il s'agissait d'un plan des charges qui produit du champ des deux côtés de la plaque et non d'une plaque conductrice. Du coup, on se trouve avec un champ moitié (ce qui est fau) et on utilise le théorème de superposition pour ajouter un autre champ similaire pour sauver les meubles ce qui est une connerie.

Les armatures d'un condensateur ne produisent du champ que d'un seul côté. De celui où se trouvent les charges, en face de l'autre armature.

A+

[manu840]

D'accord j'essai de comprendre mais pas facil quand on débute

Donc peut être que le prof a voulu que l'on considère ces plaques comme un plan des charges ? Si c'est le cas on peu donc utiliser la superposition? ou pas?

Je m'excuse par avance si j'ai l'air de ne rien comprendre, comme je l'ai dit, ces nouvelles notions me sont très difficiles

[invite6dffde4c]

D'accord j'essai de comprendre mais pas facil quand on débute

Donc peut être que le prof a voulu que l'on considère ces plaques comme un plan des charges ? Si c'est le cas on peu donc utiliser la superposition? ou pas?

Je m'excuse par avance si j'ai l'air de ne rien comprendre, comme je l'ai dit, ces nouvelles notions me sont très difficiles

Re.
Non, un condensateur n'est pas formé par deux plans de charges. Il est formé par deux conducteurs lesquels se chargent en surface côté interne. Avec des charges totales identiques et des densités de charge de surface qui peuvent varier avec la géométrie. Dans un condensateur plat, comme ici, la densité de charge est uniforme et de même valeur et de signe opposé sur les deux armatures. À condition de négliger les effets de bord, comme ici.

Et vous n'avez pas à vous excuser. Ce n'est pas facile à comprendre ni a se construire une image des champs, charges, etc.

Je comprends que vous ayez de problèmes pour ne pas suivre ce que votre prof vous a demandé de faire, mais je ne peux pas vous aider à faire une solution fausse.
A+

[manu840]

Je sais que cet exercice va nous servir pour un des exercices que l'on va faire.
Peut-être que le prof, en nous forçant à utiliser la superposition en traitant une plaque positive puis une plaque négative, veux nous montrer qu'au final on ne peut pas arriver à calculer la capacité d'un condensateur de cette manière. Ce qui expliquerai le problème qu'on a ici...

Car ça m'étonne que ce prof là en particulier se soit trompé, c'est un professeur chercheur physicien aillant une bonne réputation pour ses cours.

PS : j'ai pris en note qu'on pouvait faire la superposition car "il" est vectoriel. En disant "il" je croit que je parlait du champ électrique E (le vecteur)

[invite6dffde4c]

PS : j'ai pris en note qu'on pouvait faire la superposition car "il" est vectoriel. En disant "il" je croit que je parlait du champ électrique E (le vecteur)

Re.
Le principe de superposition s'applique au champ électrique. Vous pouvez l'utiliser, par exemple, pour calculer le champ produit par une distribution de charges. Il suffit d'ajouter vectoriellement des champs produits par toutes les charges.
Si on est un peu masochiste, on peut même l'utiliser à la place du théorème de Gauss pour calculer le champ dans un condensateur plat. Il faut faire l'addition du champ produit par les charges de chaque élément de surface des deux surfaces. Ce n'est pas très difficile, mais c'est un peut trop tôt pour vous.

Et le théorème de Gauss, quand il est utilisable, vous donne le champ directement et non une partie du champ auquel il faudrait ajouter encore un autre morceau.
A+

[manu840]

Donc effectivement ici la superposition est incompatible avec le théorème de Gauss...

Donc pour appliquer le théorème de Gauss sur mon schéma je doit faire avec une symétrie de translation.
Je ne voit pas comment écrire le champ électrique.
Pour une sphère ça serai vect(E)=E(r)*vect(Ur)

Comment faire ici?

[invite6dffde4c]

Re.
Je vous l'ai déjà dit. La symétrie de translation vous dit que le champ à la même valeur par tout. De plus, comme les bords sont tellement loin qu'on ne les voit pas, on a aussi une infinitude de miroirs de symétrie et un axe de symétrie cylindrique perpendiculaires à la surface en chaque point de celle-ci. Donc, cela veut dire que le champ ne peut être que perpendiculaire à la surface.
Puis, relisez ce que je vous ai dit à propos de la boite de camembert.
A+

[invite21348749873]

Bonjour
Si vous négligez les effets de bord, tout se passe comme si vous considérez chaque plateau comme un plan infini chargé l 'un avec
+ sigma et l'autre avec - sigma.
En un point quelconque , le champ est donc la résultante des deux contributions.
E+ dirigé du plateau+ vers le point = Sigma/( 2 . epsilon0)
E- dirigé du point vers le plateau - = - Sigma /(2.epsilon0)

Champ total dirigé du plateau + vers le point
E =E+ + E- ( en module) = sigma /epsilon0

[invite6dffde4c]

Bonjour
Si vous négligez les effets de bord, tout se passe comme si vous considérez chaque plateau comme un plan infini chargé l 'un avec
+ sigma et l'autre avec - sigma.
En un point quelconque , le champ est donc la résultante des deux contributions.
E+ dirigé du plateau+ vers le point = Sigma/( 2 . epsilon0)
E- dirigé du point vers le plateau - = - Sigma /(2.epsilon0)

Champ total dirigé du plateau + vers le point
E =E+ + E- ( en module) = sigma /epsilon0

Bonjour Arcole.
Je ne suis pas d'accord.
Le champ n'a pas le deux au dénominateur. Il est

Car les charges sur l'armature ne produisent du champ que d'un seul côté.
De plus, comme je l'ai déjà dit, le théorème de Gauss donne LE champ, pas une partie du champ. On n'a pas à faire deux fois Gauss ni a utiliser la superposition.

Une armature du condensateur plat ne se comporte pas comme une surface de charge.

Et je suis content de trouver un membre avec un peu plus d'expérience pour discuter de ce problème est votre façon de le résoudre qui semble être à la mode et que je trouve incorrecte.

Cordialement,

[invite21348749873]

Bonjour LPFR
Considerez une des plaques du condensateur, disons la positive, par exemple; les charges positives s'y trouvent réparties a l'exterieur comme à l'interieur.
Le champ electrique produit par cette plaque sera donc, à mon avis sigma/2 epsilon 0, dedans comme dehors.
Si le champ electrique dans le condensateur est sigma/ epsilon 0, il faut que chaque plaque y contribue de moitié.
Qu'en pensez vous?

[invite6dffde4c]

Re.
Dans un condensateur plat toutes les charges se trouvent côté interne. La raison est simple, les charges sont attirées par les charges de signe opposé de l'autre plaque. Et de plus, dans ce problème on le dit: les effets de bord ne comptent pas. Cela veut dire que tout le champ se trouve à l'intérieur. S'il y avait des charges à l'extérieur il aurait un camp à l'extérieur (comme dans le cas de deux sphères chargées).

Et de toute façon, le champ à la surface d'un conducteur est sigma/epsilon, et non sigma/2epsilon. C'est une formule standard.

Pour le prouver, il suffit d'appliquer le théorème de Gauss avec une "boite de camembert" dont le fond est à l'intérieur du métal et le couvercle à l'extérieur. La contribution du fond est zéro car le champ à l'intérieur d'un conducteur est nul. La contribution des côtés est zéro car le champ est parallèle aux côtes et le produit scalaire nul. Finalement il ne reste que SE pour le flux et S.sigma pour la charge.

Je me demande pourquoi a t-on changé de méthode de calcul pour utiliser celui-ci qui n'est pas bon. Avez-vous une référence ou un bouquin?
A+

[invite21348749873]

Oui, je suis d'accord , à la surface d'un conducteur le champ est sigma/e0 alors que le champ d'une distribution de charges infinie est sigma/2e0.
En fait, je dois simplement réouvrir mon Bruhat pour me rafraichir les idées.
Et réflechir plus longuement pour bien comprendre pourquoi je raisonne faux.

[invite21348749873]

Apres avoir regardé ce que Feynman dit sur le sujet, j'ai quelques questions.
Il commence par considerer le cas de deux plans chargés; dans ce cas, il superpose les deux états sigma/2 e0 qui donnent le champ uiforme Sigma/e0 entre les plaques.Le champ est alors nul à l'exterieur.
Apres quoi, il dit, sans autre démonstration, que dans le cas de plaques d'épaisseur non négligeable, les charges s'accumulent à l'interieur des plaques.
Peut on démontrer cela?
Comment passer du plan chargé à la plaque d'épaisseur non negligeable?
Que se passe-t-il si les plaques sont des parallelepipèdes dont les trois dimensions sont du meme ordre?

[invite6dffde4c]

Bonjour Arcole.
Effectivement Feynman ne le démontre pas.

Et je pense que c'est parce que ce n'est pas démontrable facilement pour un condensateur de dimensions finies. Il en reste toujours quelques charges du mauvais côté qui sont la suite des effets de bord. Il est possible que ce soit calculable analytiquement avec des méthodes du genre transformation conforme, fonctions de variable complexe, harmoniques sphériques, etc. Mais ils sont trop éloignés dans le temps, et je ne serais pas capable de les utiliser. J'ai regardé dans d'autres bouquins, et personne ne fait la démonstration. De toute façon, ç'est calculable numériquement et ça à été, sûrement, calculé maintes fois.

Mais il a un moyen de le démontrer indirectement. C'est d'utiliser un condensateur sphérique. Pour ce condensateur, il n'y a pas de charges du côté interne de l'armature interne. Il peut en avoir sur le côté externe de l'armature externe, mais ces charges ne jouent aucun rôle dans la capacité. Une fois le condensateur sphérique calculé, on le "transforme en condensateur plan" en disant que le rayon est très grand comparé à l'écartement entre les armatures, et on prend un petit bout de la sphère. C'est comme cela que j'ai toujours fait dans mes cours, pour ne pas être emm..quiquiné par les effets de bord.

Si les plaques sont d'épaisseur non négligeable, cela ne change pas grand chose, à condition de l'écartement entre les armatures soit très petit devant les dimensions de la "zone active". Les effets de bord doivent changer un peu, car la forme du champ près des bords n'est pas la même. Je pense que la capacité augmente légèrement.

Si l'écartement entre les plaques est trop grand, alors il n'y a que le calcul numérique.

Cordialement,

[invite21348749873]

Bonjour LPFR
Curieusement, je n'avais jamais approfondi la question.
En fait, si vous regardez l'énoncé de la qustion posé ici, vous voyez que le probleme concerne deux plans chargés et alors , il nous faut le 2 en dénominateur.
Le champ extérieur est alors mathématiquement nul, pour des plans infinis.
Mais si les plaques deviennent franchement parallellpipédiques et non infinies, le probleme devient un probleme d'électrisation par influence de deux solides et la densité surfacique ne peut plus etre uniforme.
Et des charges vont apparaitre sur l'exterieur.
Je voulais aussi faire observer que l'application de Gauss nous cache parfois un peu le mécanisme des phénomènes.
Ainsi, quand vous appliquez Gauss avec la boite a camenbert pour trouver E=Sigma/epsilon 0 a la surface d'un conducteur, vous ne voyez pas que ce E est la somme du champ de l'élement sigma.ds , égal à sigma/2 e0 , plus le champ de toutes les autres charges égal aussi à sigma/2e0.
Ce qui permet d'annuler le champ à l'interieur du conducteur.
Pour cette raison, je préfère souvent le raisonnement par superposition , que l'application brutale de Gauss qui donne, comme vous le remarquez justement TOUT le champ , mais cache un peu le mécanisme de la chose.
Cordialement

[invite6dffde4c]

Re-Bonjour.
On peut effectivement faire le problème avec deux plans de charges, le 2 au dénominateur, et la superposition. Mais ce n'est définitivement pas un condensateur. Sans armatures métalliques on n'a pas de condensateur.

Et, des que l'on a des armatures métalliques, les charges sont d'un seul côté et il n'y a plus de 2 au dénominateur.

Je suis d'accord que les méthodes intégrales cachent souvent les détails physiques. Mais même si vous calculez le champ en intégrant (et oui, en intégrant) la contribution de tous les éléments de charge, vous n'aurez que les charges sur la surface des deux armatures et certainement pas de champ à l'intérieur du conducteur. La définition d'un conducteur est précisément qu'on ne peut pas avoir de champ à l'intérieur. Le champ à l'intérieur d'un conducteur est zéro et non le résultat de la somme des champs externes qui s'annulent.

Finalement, la charge des armatures d'un condensateur n'est pas une charge par influence. Le seul effet de l'influence est que toutes (ou presque) les charges se trouvent du côté de l'autre armature.

Au revoir.