Equation différentielle : pendule de torsion

[invite3569684e]

Bonjour tout le monde, j'ai des questions sur un pendule de torsion.

On m'indique que l'équation du mouvement de rotation du pendule autour d'un axe est de la forme :

I D" + C D = 0

Avec I le moment d'inertie et D l'angle du pendule.

Je dois résoudre cette équation différentielle et j'avoue avoir énormément de mal.

J'ai commencé par chercher les solutions de son équation caractéristique : I r² + C = 0
Delta = -4IC
Alors :

r1 = -i (racine(IC) / I ) et r2 = i (racine(IC) / I)

Donc la solution de l'équation différentielle serait :
Z(D) = Lambda cos( (racine(IC) / I ) ) + mu sin ( (racine(IC) / I ) )

Mais je doute que ce soit vraiment la bonne solution.

Est-ce que quelqu'un pourrait me donner de l'aide pour m'aider à résoudre cette équation différentielle ? Ou alors me donner un lien vers une explication.

Merci de m'avoir lu.
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[invite1acecc80]

Bonsoir,

Il serait mieux d'écrire l'équation que tu obtiens sous la forme:



avec w²= C/I

ainsi, non seulement peut vérifier que C/I a la dimension d'une pulsation au carré.

et on peut reconnaitre une équation différentielle du deuxième ordre en theta.

les solutions s'écrivent sous la forme (je passe en notation complexe pour faire le rapprochement avec ton équation caractéristique):



avec (A, B) un couple de réels.

Les valeurs que prennent A et B dépendent des conditions initiales de ton pendule.

Dans l'exemple où tu tords ton pendule suivant un angle theta₀ sans "le lancer" (vitesse angulaire initiale nulle):

On trouve:
A= B ( condition vitesse initiale nulle)
puis A = theta 0/2

ce qui donne au final:



A plus.

[invite3569684e]

Merci beaucoup pour toutes tes explications !

Juste si tu pouvais me donner un peu plus de précisions lorsque tu trouves la forme de la solution de l'équation différentielle. Est-ce que tu fais un calcul pour y arriver ? Ou alors, en reconnaissant la forme de l'équation différentielle, tu en déduis directement la solution ?

Encore merci.

[invite1acecc80]

Bonjour,

Merci beaucoup pour toutes tes explications !

Juste si tu pouvais me donner un peu plus de précisions lorsque tu trouves la forme de la solution de l'équation différentielle. Est-ce que tu fais un calcul pour y arriver ? Ou alors, en reconnaissant la forme de l'équation différentielle, tu en déduis directement la solution ?

Encore merci.

Je ne vais pas entrer dans les détails mathématiques, mais il existe une méthode systématique pour résoudre les équations différentielles d'ordre 2 homogène à coefficients constants (notion d'espace vectorielle, système linéaire):
imaginons que tu souhaites résoudre une équation différentielle sous cette forme:



Tu procèdes comme tu as fait dans les posts précédents:
tu détermines et résouds l'équation caractéristique de l'équation:



2 cas se présentent:

Si le discriminant est différent de zéro: (deux solutions r₁ et r₂)

les solutions sont de la forme:



avec A et B des complexes a priori (ils sont réels dans le cas où le discriminant est positif, complexe s'il est négatif)..

Si le discriminant est strictement nul:



avec r la solution dégénérée de l'équation caractéristique.

En gros et de manière rapide voilà ce que tu devrais connaitre...

A plus.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite035f38f2]

bonjour

qu'est-ce que vous voulez dire par la lettre C ??? w^2= C/I
( C ) est le moment cinétique???

merci

[invite1acecc80]

bonjour

qu'est-ce que vous voulez dire par la lettre C ??? w^2= C/I
( C ) est le moment cinétique???

merci

Salut Technoparade,

Précise de quel C tu parles.

Au revoir.

NB: j'ai remarqué que dans un des posts j'ai oublié f(t) devant le c de l'équation différentielle du 2ème ordre. Je m'en excuse.

[invite035f38f2]

Pour le pendule à fil, je connais l'équation différentielle simplifiée :

(1) : F = m a = -m g sin(ɵ) mais pour de petites élongations
sin(ɵ) = ɵ (très petite différence)
Donc (1) : F = m a = -m g ɵ
sous la forme angulaire : (1) : mαL = -m g ɵ
α étant l'accélération angulaire
(α = a_t /r) (1) : α = -g/L * ɵ

(2) : α = d²ɵ / dt²

(1) = (2) : d²ɵ / dt² = -g/L * ɵ

Et l'équation différentielle :
d²ɵ / dt² + g/L * ɵ = 0

Vérification:
ɵ = ɵ_max sin(ωt)
ɵ'= ω ɵ_max cos(ωt)
ɵ''= -ω² ɵ_max sin(ωt)

-ω² ɵ + g/L * ɵ = 0
l'équation est vérifiée ssi : ω = racine(g/L)