Spins 1/2 et nombres quantiques

[invite51a3f1d4]

Bonsoir !

Alors voilà mon problème. Je connais les quatre états |S,M_s> :
|0,0> = état singulet
|1,-1>,|1,0>,|1,1> = états triplets
Je sais que S et M_s sont les nombres quantiques associés (respectivement) aux opérateurs S² et S_z. Cependant, je ne comprend pas très bien ce que cela représente physiquement. S est à quelque chose près la valeur absolue du spin total (quoique lorsqu'on fait des combinaisons linéaires, cela ne veut plus dire grand chose ... ?) mais pour M_s . Pourquoi, par exemple, l'état |up,up> (qui est un état triplet) correspond t-il à M_s=1 et pas 0 ou -1 ? Quelqu'un peut-il m'expliquer ce genre de chose ?

Merci à vous !
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[invitedbd9bdc3]

Salut,

bon, a part le fait que mathematiquement c'est comme ça (si tu decomposes S_z=S_1z+S_2z, tu vois bien ce que vaut M quand tu l'appliques à tes kets), on peut le voir avec les mains.

S represente bien le spin total du système. Donc si tu regardes ton systeme de tres loin, c'est plutot le spin total que tu vas voir, plutot que deux spins l'un à coté de l'autre. Donc si tes deux spins sont up, ça va ressembler à un spin 1 qui est up (1), si les deux sont down, à un spin 1 retourné (-1). Les S_z s'additionnent toujours.

Par contre, la subtilité vient du calcul de up + down. On voit bien que le S_z va se compenser et que la projection du spin sera 0. Mais pour savoir si c'est le 0 d'un spin 0, ou le 0 d'un spin 1, il faut regarder S². La il n'y a plus de secret, faut faire des "math".

[invite51a3f1d4]

Merci Thwarn, tu m'as bien aidé. En fait je n'avais pas pensé à décomposer l'opérateur S_z comme S_1z+S_2z et là, en effet, on voit bien ce que vaut M_s. Ca marche aussi pour S², le calcul est un poil plus compliqué. Et avec les mains si j'ai bien compris, M_s représente la projection du spin "vu de loin" sur l'axe z et S la valeur absolue du spin total (cela ne se voit pas très bien sur l'état triplet |up,down>+|down,up> mais bon, comme tu dis, il faut pas chercher à aller trop loin ...). Bonne journée

[invitedbd9bdc3]

Quelques petites precisions tout de meme.
Quand je dis 'de loin', c'est bien sur une image. Mais c'est comme ça que tu obtiends le spin total d'un atome :spin du noyau + spin de l'electron + moment cinetique orbitale. Mais apres tout, si tu ne sais pas qu'un atome est composite, tu peux directement mesurer son moment cinetique "interne". C'est dans ce sens que je dis 'de loin'.

Tu as bien compris pour le reste. Ensuite, le meilleur moyen de se sentir a l'aise, c'est de s'entrainer en composant differents spins, par exemple 1+1/2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51a3f1d4]

Quand je dis 'de loin', c'est bien sur une image. Mais c'est comme ça que tu obtiends le spin total d'un atome :spin du noyau + spin de l'electron + moment cinetique orbitale. Mais apres tout, si tu ne sais pas qu'un atome est composite, tu peux directement mesurer son moment cinetique "interne". C'est dans ce sens que je dis 'de loin'.

Ok, merci pour la précision.

le meilleur moyen de se sentir a l'aise, c'est de s'entrainer en composant differents spins, par exemple 1+1/2.

Justement, si tu as encore un peu de temps , j'essaye de composer deux moments cinétiques indépendants et (ça peut être des spins mais pas nécessairement). Je connais les nombres quantiques : l₁ = 2, l₂ = 1, m₁ = m₂ = 1 (l₁ et l₂ sont associés aux opérateurs L₁² et L₂², m₁ et m₂ sont associés aux opérateurs L_1z et L_2z). De façon immédiate, on a M = m₁ + m₂ = 2. J'essaye de trouver L. J'applique donc L² sur l'état |e> qui est état propre des opérateurs L₁², L₂², L_1z et L_2z avec les valeurs propres que j'ai citées. Je n'arrive pas à exprimer L_1xL_2x|e> et L_1yL_2y|e> qui interviennent dans le produit scalaire entre et .

[invitedbd9bdc3]

Salut,
le probleme dans ce cas, c'est qu'à vu de nez (mais je n'ai pas verifié) ton état |e> = |l1=2,l2=1,m1=1,m2=1> ne doit pas etre état propre de J = L1 + L2. Donc ça risque de ne pas etre marrant. Car la methode standard pour trouver ce que vaut L1.L2 (produit scalaire), c'est de dire que 2xL1.L2=J²-L1²-L2², ce qui simplifie beaucoup les calculs.

Sinon, tu peux expliciter L1x et L1y en fonction de L1+ et L1-, et regarder ce que ça donne... ça marchera à coup sur. Mais j'ai vraiment peur que tu n'es pas pris un vecteur propre, et dans ce cas, le resultat n'aura pas beaucoup de sens.

Tiens moi au courant, si tu n'y arrives vraiment pas, je peux jeter un coup d'oeil plus approfondi (et à une heure où ma biere aura decuvé )

[invite51a3f1d4]

En effet, tu as tout à fait raison : |l₁=2,l₂=1,m₁=1,m₂=1> n'est pas état propre de L² car lorsque j'exprime L_1x, L_2x, L_1y, L_2y en utilisant les opérateurs L₁₊, L_1-, L₂₊, L_2-, les nombres quantiques m₁ et m₂ varient indépendemment sans se compenser. J'ai essayé de changer de base et d'utiliser l'ECOC {L₁², L₂², L_z, L²} : je suis donc sûr qu'il existe un état propre commun à ces opérateurs mais rien ne dit qu'il s'agisse d'un état propre pour L_1z et L_2z (alors que je connais pourtant les nombres quantiques associés m₁ et m₂ ). Et là du coup c'est embêtant parce que je ne peux plus utiliser les opérateurs L₁₊, L_1-, L₂₊, L_2- ... . Les choses s'embrument dans mon cerveau

[invitedbd9bdc3]

Bon, la methode dans ce cas est assez classique (mais attention, ça risque d'être assez compliquer avec un spin 1 et un spin 2, tu devrais commencer avec 1/2,1/2 pour voir si tu arrives bien a retrouver les resultats que tu connais, puis essayer avec 1,1/2, etc...).
Tu commences par regarder ce que tu vas avoir comme spin total, ici, avec 1x2, ça sera 3+2+1.

Pour le spin 3, l'etat de projection le plus grand est facile a trouver en fonction de L1 et L2, c'est |2,2;1,1> (qui a bien un m=3). La dessus, tu appliques L- (que tu vas exprimer en fonction de L1- et L2-) sur cet etat, ce qui va te donner |l=3,m=2> en fonction des |l1,m1;l2,m2>. Et tu recommences avec L- pour trouver |l=3,m=1>, etc etc...

Une fois que tu as tous les l=3, tu cherches une combinaisons lineaires des |2,m1;1,m2> qui a m=2 (typiquement composée de |2,2;1,0> et |2,1;1,1>) et qui est orthogonal à |l=3,m=2>. Celle ci sera normalement |l=2,m=2> (a verifier en appliquant L²). Et rebelote, tu appliques L- pour trouver tous les autres états.

Une fois tous les l=2 trouvés, on cherche une combi lineaire de m=1, orthogonal à |3,1> et |2,1>, ce sera |1,1>, et puis L-, etc...

Comme tu le vois, c'est assez lourd comme methode (mais ça marche). Commence par des combinaisons plus simple ou il y a moins de cas. Si tu comprends pas ce que je veux dire, je peux essayer de te donner un exemple.

[invite51a3f1d4]

Oui c'est assez besogneux en effet, mais je crois avoir compris. Merci pour ton aide et bonne soirée !