Bonjour
Une question pour les forts en math:
dans http://arxiv.org/pdf/cond-mat/9907015
Balian parle des matrices densité D (de trace 1) et page 10 il écrit:
pour toute paire D,D' de matrices densité D,et D' on a
entropie(D) = S(D) = -Tr(D Ln(D)) < -Tr(D Ln(D'))
Comment prouver cette inégalité qui va servir pour montrer qu'il y a une entropie pertinente maximale?
Bon je ne suis pas complètement sec là dessus:
Si D(s) de trace 1 est tel que D(0) = D
je peux calculer d/ds (-tr D Ln D(s)) en 0
dérivée et trace commutent et D ne dépend pas de s
on a donc -tr D D'/D(s) en 0 = -Tr D' (' etant la dérivée par rapport au paramètre s) = -d/ds Tr D(s) = -d/ds (1) = 0
Donc quand s varie la dérivée est nulle qd D(s) = d
Reste à voir la convexité:
-Tr D Ln D <= Tr D Ln D(s)
Pas d'idée?
moi peu
et en redérivant la trace
d/ds -tr(D D'(s)/D(s)) = tr [D''D(s)-D'carré]/D
la dérivée seconde doit commuter avec la trace et donner zero
Il resterait Tr D'D'/D(s)
quel est son signe?
Euréka
J'ai trouvé la démonstration dans le bouquin de Le Bellac Thermodynamique statistique page 69
une propriété générale qu'il démontre est
tr x ln y - tr x ln x =< tr y - tr x pour x et y des operateurs hermitiques positifs
Dans le cas des matrices densité on avait tr x = tr y = 1
d'ou l'inégalité -tr x ln x =< -trx ln y
la démonstration utilise la concavité de la fonction log.
