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entropie: une inégalité




  1. #1
    alovesupreme

    entropie: une inégalité

    Bonjour

    Une question pour les forts en math:
    dans http://arxiv.org/pdf/cond-mat/9907015
    Balian parle des matrices densité D (de trace 1) et page 10 il écrit:
    pour toute paire D,D' de matrices densité D,et D' on a
    entropie(D) = S(D) = -Tr(D Ln(D)) < -Tr(D Ln(D'))
    Comment prouver cette inégalité qui va servir pour montrer qu'il y a une entropie pertinente maximale?

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    alovesupreme

    Re : entropie: une inégalité

    Bon je ne suis pas complètement sec là dessus:
    Si D(s) de trace 1 est tel que D(0) = D
    je peux calculer d/ds (-tr D Ln D(s)) en 0
    dérivée et trace commutent et D ne dépend pas de s
    on a donc -tr D D'/D(s) en 0 = -Tr D' (' etant la dérivée par rapport au paramètre s) = -d/ds Tr D(s) = -d/ds (1) = 0
    Donc quand s varie la dérivée est nulle qd D(s) = d
    Reste à voir la convexité:
    -Tr D Ln D <= Tr D Ln D(s)

  4. #3
    alovesupreme

    Re : entropie: une inégalité

    Pas d'idée?
    moi peu
    et en redérivant la trace
    d/ds -tr(D D'(s)/D(s)) = tr [D''D(s)-D'carré]/D
    la dérivée seconde doit commuter avec la trace et donner zero
    Il resterait Tr D'D'/D(s)
    quel est son signe?


  5. #4
    alovesupreme

    Re : entropie: une inégalité

    Euréka

    J'ai trouvé la démonstration dans le bouquin de Le Bellac Thermodynamique statistique page 69
    une propriété générale qu'il démontre est
    tr x ln y - tr x ln x =< tr y - tr x pour x et y des operateurs hermitiques positifs
    Dans le cas des matrices densité on avait tr x = tr y = 1
    d'ou l'inégalité -tr x ln x =< -trx ln y
    la démonstration utilise la concavité de la fonction log.

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