Suite musicale et base optimum

[stefjm]

Bonjour,
J'ai posé il y a quelque temps une énigme sur science ludique.
http://forums.futura-sciences.com/sc...tte-suite.html

Il s'agit de la suite :
pour variant de à

qui a un lien quasi évident avec la musique. (harmonie musicale)

Par contre, le lien entre la limite de cette suite et la musique est plus délicat à établir!

Auriez-vous des idées pour attaquer ce problème?

Pourquoi le carré de la base optimum (naturelle) est la limite de cette suite d'intervalles musicaux?

Bien cordialement.
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[stefjm]

Un p'tit up?

Bid total?

Au secours, je dois rendre le devoir lundi... help

[Blend59]

Bonjour,
aimant la musique et la physique, cette question m'intéresse.

Meme si je vois le rapport avec la musique:
3/2 rapport de fréquence de la quinte
5/4 rapport de fréquence de la tierce (majeure)
...

Je ne comprend pas d'où tu tiens cette formule de suite
ni d'ailleurs d'où vient le terme de puissance (2n+1)

"Pourquoi le carré de la base optimum (naturelle) est la limite de cette suite d'intervalles musicaux?"
Je ne sais personnellement pas ce qu'est le "carré de la base optimum"

En conclusion : Bien envie de t'aider (certainement comme d'autres qui se cachent) mais on ne part pas sur les mêmes bases.
J'ai bien essayé les articles de wiki sur les gammes (Pythagore, tempérée, naturelle) mais ça n'a pas l'air suffisant.
Si tu pouvais donner des idées de recherche que je fasse chauffer google&co...

En espérant en apprendre plus sur la musique grâce a toi, j'attends impatiemment ta réponse.

[stefjm]

Bonjour,

aimant la musique et la physique, cette question m'intéresse.

Meme si je vois le rapport avec la musique:
3/2 rapport de fréquence de la quinte
5/4 rapport de fréquence de la tierce (majeure)
...
Je ne comprend pas d'où tu tiens cette formule de suite
ni d'ailleurs d'où vient le terme de puissance (2n+1)

Le (2n+1) donne le nombre d'intervalles.
n=1, rapport 2/1, 3 octaves.
n=2, rapport 3/2, 5 quintes.
n=3, rapport 4/3, 7 quartes.
etc...

"Pourquoi le carré de la base optimum (naturelle) est la limite de cette suite d'intervalles musicaux?"
Je ne sais personnellement pas ce qu'est le "carré de la base optimum"

La suite en question converge vers . (C'est facile à montrer.)
e, base des logarithmes néperiens est souvent considéré comme la base non entière optimum. (meilleur taux de compression, meuilleur rapport entre nombre de symbole et longueur d'écriture.)
Par exemple, on peut montrer que le nombre de phases optimum en régime sinusoïdal est e. Le nombre entier le plus proche est 3, d'où l'intérêt du triphasé.

En conclusion : Bien envie de t'aider (certainement comme d'autres qui se cachent) mais on ne part pas sur les mêmes bases.
J'ai bien essayé les articles de wiki sur les gammes (Pythagore, tempérée, naturelle) mais ça n'a pas l'air suffisant.
Si tu pouvais donner des idées de recherche que je fasse chauffer google&co...

Je crains que Google ne référence pas encore ces questions, et encore moins les réponses correspondantes. (Enfin si, ce que j'ai déjà pu écrire sur ce sujet! )
C'est assez facile de retrouver tous les commas historiques avec ce type de suites. (pythagoricien, zarlinien, etc...)

En espérant en apprendre plus sur la musique grâce a toi, j'attends impatiemment ta réponse.

Je ne suis considéré ni musicien par les musiciens, ni physicien par les physiciens.
C'est toute la difficulté d'étudier l'interface entre deux mondes.
Un musicien n'aime pas qu'on décortique son art avec des formules de maths et un physicien n'aime guère voir des critères esthétiques intégrés dans le modèle!

Je n'ai quasiment pas de sources reconnues comme fiables.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[predigny]

....
C'est toute la difficulté d'étudier l'interface entre deux mondes.
Un musicien n'aime pas qu'on décortique son art avec des formules de maths et un physicien n'aime guère voir des critères esthétiques intégrés dans le modèle!
....

Les bases mathématiques des gammes et de l'harmonie sont parfaitement définies. Est également bien défini le fait que la musique n'est pas totalement réductible à des formules exactes et qu'elle ne peut être en pratique qu'un compromis entre des ensembles de nombres irréductibles entre-eux (rationnels, avec les tierces les quintes,... et irrationnels, l'octave divisée en douze parties égales).

[stefjm]

Les bases mathématiques des gammes et de l'harmonie sont parfaitement définies. Est également bien défini le fait que la musique n'est pas totalement réductible à des formules exactes et qu'elle ne peut être en pratique qu'un compromis entre des ensembles de nombres irréductibles entre-eux (rationnels, avec les tierces les quintes,... et irrationnels, l'octave divisée en douze parties égales).

Je sais tout cela.
Je sais aussi que les musiciens n'aiment pas qu'on leur parle ce langage!

Pour ce qui est de l'égalisation à 12 demi-ton égaux, c'est mathématiquement et musicalement assez moche. (Mais on s'habitue à tout...)

Je préfère l'approche par comma que permet la suite musicale de ce fil. Cela montre que la musique utilise les base 2, 3, 5 et probablement 7 pour la construction des gammes.



n parcourant les entiers à partir de 1.

Je regarderai également la fraction continue de ces commas et
montrerai que la réduite la plus économique est systématiquement
1/1.

Je me demande comment les musiciens n'ont pas encore mis en évidence cette série dans leurs gammes, et comment les mathématiciens ou physiciens n'ont pas encore interprété le rôle particulier de e^2 dans cette affaire.

Premier "comma"

donne donc

ie le limma.

La fraction continue du lima est donnée par



Le terme 18 est déjà assez grand pour que l'oreille entende peu la
différence entre 8 octave et 5 quintes. (Vais me faire tuer par les musiciens...)
Evidement, cela s'entend, et la preuve, c'est que la gamme pentatonique a été compétée par la suivante.
Mais on peut quand même faire de la musique acceptable avec cette gamme pentatonique.

Les approximations successive de ce lima sont intéressantes (données par les réduites de la FC)



La fraction la plus économique est de toute façon 1/1.
Seules les harmoniques 2 et 3 interviennent. (Octave et quinte)

Deuxième "comma"

La presque égalité suivante dans la série musicale donne





C'est le comma pythagoricien ou comma diatonique.


73 commence à être suffisament élevé pour que l'oreille soit blouzée.

Approximation de ce comma


Ici encore, seules les harmonique 2 et 3 sont concernées.

Troisième "comma"







Sûr qu'aucun musicien n'a jamais entendu cela!
Ici, introduction de l'harmonique 5 (tièrce naturelle, gamme zarlino)

Quatrième "comma"




C'est l'apotome.


dont la meilleure approximation est encore 1/1. (Réduite suivante la plus élevée)

La suivante moins économique est 15/(15-1) = (14+1)/14
quinte+tierce ou octave+harm7 ?

Cinquième "comma"




Avec 13 le plus grand terme de la FC.
Réduite économique 1/1.
Suivante 14/(14-1)

Harmonique 13? ou harmonique 2 + harm 7?

Merci de m'avoir lu jusqu'ici.
Si cela vous inspire des commentaires...

Cordialement.

[Blend59]

Re-bonjour

Le (2n+1) donne le nombre d'intervalles.
n=1, rapport 2/1, 3 octaves.
n=2, rapport 3/2, 5 quintes.
n=3, rapport 4/3, 7 quartes.
etc...

euh je ne comprend pas pourquoi on devrait avoir par exemple 3 octaves alors que le nombre d'octave est théoriquement infini (si j'ai bien compris ma théorie...)
Peut-être n'ai-je pas bien saisi dans quel cadre nous nous trouvions...
On parle de comma ? OK
Donc soyons clairs : que représente S(n) ?

La suite en question converge vers . (C'est facile à montrer.)

Donc au final la suite converge vers 1
Où me suis-je trompé ?

Trop d'incompris pour moi...
Peut être le sujet n'a t il pas été assez clairement énoncé
ou peut-être est-ce moi qui me le comprends pas...

Cordialement

[stefjm]

Bonjour,

euh je ne comprend pas pourquoi on devrait avoir par exemple 3 octaves alors que le nombre d'octave est théoriquement infini (si j'ai bien compris ma théorie...)
Peut-être n'ai-je pas bien saisi dans quel cadre nous nous trouvions...
On parle de comma ? OK
Donc soyons clairs : que représente S(n) ?

La suite S(n) montre que
3 octaves = 5 quintes = 7 quartes = 9 tierces majeures à des commas près.

Donc au final la suite converge vers 1
Où me suis-je trompé ?

Numériquement, c'est clairement faux!
1 virgule 1 pouillème à la puissance infinie est une forme indéterminée.
Il faut passer par les logarithmes pour le démontrer et développer le ln au premier ordre.
On trouve que le ln de S(n) tend vers 2.
D'où le e^2.

Cordialement.

[Blend59]

Hum autant pour moi c'est bien
bizarre ma démo me semblait bonne...enfin

Par contre je ne comprend pas où la suite montre l'égalité
Ok on considère que 3 octaves = 5 quintes mais ce n'est pas cette série qui nous l'apprend
D'ailleurs je ne vois pas de S(n) ≈ S(n+1) même si les valeurs convergent bel et bien.

Mais concrètement qu'est-ce que S(n)? Comment l'appeler ? Je ne demande pas une réponse du type "ca a rapport avec".
Car la limite trouvée n'a pas d'intéret si on ne sait pas ce qu'elle désigne.
De la pas d'interet d'y voir un miracle de la nature en rapport avec la magie du qui pourrait résulter simplement de ta mise en formule.

On avance...en tout cas j'avance.

Cordialement

[stefjm]

Hum autant pour moi c'est bien
bizarre ma démo me semblait bonne...enfin

Pas bonne du tout!
Tu as d'abord calculer la limite d'un terme avant l'autre et il ne faut pas. (J'avoue que je ne sais plus trop pourquoi.)

Par contre je ne comprend pas où la suite montre l'égalité
Ok on considère que 3 octaves = 5 quintes mais ce n'est pas cette série qui nous l'apprend
D'ailleurs je ne vois pas de S(n) ≈ S(n+1) même si les valeurs convergent bel et bien.

La suite fait intervenir les intervalles musicaux de base, la progression des exposant est régulière (les impairs).

Mais concrètement qu'est-ce que S(n)? Comment l'appeler ? Je ne demande pas une réponse du type "ca a rapport avec".

Pour le nom, elle a déjà été appellée "suite musicale" par son auteur.( Ce n'est pas moi.)
Elle désigne le nombre qui correspond à peu près à 3 octaves, 5 quintes, 7 quartes, etc...

Que dire de plus?

Car la limite trouvée n'a pas d'intéret si on ne sait pas ce qu'elle désigne.
De la pas d'interet d'y voir un miracle de la nature en rapport avec la magie du qui pourrait résulter simplement de ta mise en formule.

C'est une remarque pertinente.
Tout ce que je peux dire actuellement, c'est qu'à partir de cette relation, on retrouve beaucoup de musique.
J'epèrais trouver aussi le lien avec e^2 (à priori, pas de magie quand même) mais là, que dalle!

On avance...en tout cas j'avance.

Moi aussi.
Me faire préciser les choses m'oblige à clarifier ma pensée.
Merci à toi.