Modes propres de vibration d'un tube sonore

[invite296845ad]

Pour un tube cylindrique de longueur L et de diamètre d, ouvert à ses 2 extrémités, les fréquences propres de vibration sont déterminées par la relation:
f=nv/(2*(L+0.8*d)) où n est le numéro du mode propre considéré.
Est ce que quelqu'un peut m'expliquer (me démontrer) l'origine du terme 0.8*d qui à priori tiend compte de la géométrie cylindrique?
-----

[invitee2a89271]

Bonjour,
Pourrais tu dire ou tu as trouver cette formule.
Au premier ordre les fréquences de résonance sont données par fn=n*c/2L et le diamètre du tube n'intervient pas.
Même au deuxiéme ordre je ne vois pas ou interviendrait d car pour trouver les fréquences propres on considère des ondes planes avec réflexions totales aux deux extrémités puis on regarde pour quelles fréquences les conditions de bords (surpression nulle à une ouverture ouverte) sont respectées pour l'onde stationnaires. Ici d n'intervient nul part.

[LPFR]

Bonjour et bienvenu au forum.
Moi non plus je n'ai jamais entendu parler de cette formule.
On pourrait penser que pour un cylindre dont le diamètre n'est pas négligeable, le mode le plus bas n'est pas donné par la hauteur du cylindre mais par la "diagonale". Mais la longueur de cette "diagonale" est sqrt(L² + d²). Et si on fait une approximation ce serait plutôt L+0,5d et non L + 0,8 d.
Je pense que la formule est donnée pour un certain rapport longueur/diamètre (que je ne connais pas).
Au revoir.

[invite296845ad]

Bonjour,

Voici le lien où la formule est présentée:
http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sonance_acoustique

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Re.
Bon, maintenant c'est plus clair. Il s'agit d'une correction pour le(s) côté(s) ouvert(s) du tube.

Pour moi, la raison est que la partie de l'onde située dans l'axe du tube ne peut pas "se rendre compte" qu'elle a dépassée les bords du tube tout de suite. Donc la longueur effective est un peu plus grande. C'est presque comme si le tube continuait sur une demi sphère fictive à l'extrémité du tube.
Mais je n'ai pas la plus petite idée de comment calculer ça. Je me demande si c'est un résultat théorique ou expérimental.
A+

[invite296845ad]

Merci mais ce qui m'intéresse justement c'est de savoir si ce terme correctif a une origine expérimentale ou théorique et dans ce dernier cas comment le démontrer.

[invite03f4a544]

petite actualisation du sujet . Il faudrait que je démontre cette formule de resonance d'un tube, d'ou commencer?
PS: j'ai pas peur des gros calculs
merci

[invitef17c7c8d]

petite actualisation du sujet . Il faudrait que je démontre cette formule de resonance d'un tube, d'ou commencer?
PS: j'ai pas peur des gros calculs
merci

Il y a deux méthodes pour résoudre l'équation d'onde: La méthode de propagation (d'Alembert) ou la méthode par séparation de variables. Je t'expose la deuxième méthode car elle met en évidence la notion de mode.

Les solutions de l'équation d'onde doivent être écrite comme le produit de 2 fonctions f(x) et g(t).



En introduisant cette forme dans l'équation d'onde:



L'équation se sépare en deux équations dont les solutions sont:



Ensuite, il faut tenir compte des Conditions Limites (CL) pour déterminer les constantes A,B,C et D.

Pour des CL de type libre



et

D'ou
Cette équation est appelé équation aux fréquences propres.
Les solutions sont pour n=1,..,infini

D'ou et

[invite03f4a544]

Merci pour cette belle réponse ! Je ne veux pas trop en demander mais la méthode de propagation m'interresserai aussi car j'ai essayé de la faire mais je me suis perdu dans les calculs.
Je me suis lancé dans ce calcul grace a ce document: http://perso.numericable.com/pierreh...uet/stage0.pdf
J'ai tenté de faire la meme chose mais en "bidouillant" l'opérateur laplacien à la facon cylindrique (étant donné qu'il s'agit d'une cavité et non pas d'un tube). Eté est-ce la bonne marche a suivre?
Merci encore !

[invite03f4a544]

PS:encore désolé de vous blindé de question mais je comprend pas comment vous utilisez l'équation d'onde, c'est bien avec l'équation d'onde présenté sur cette page: http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_d'onde (je n'arrive pas a utiliser l'éditeur d'équation donc j'envoie le lien ).
Merci

[invite03f4a544]

j'ai finalement compris les calculs dans les moindres détails donc lisez pas le message au dessus =D

[invitef17c7c8d]

j'ai finalement compris les calculs dans les moindres détails donc lisez pas le message au dessus =D

Comprendre les calculs c'est bien, mais "déguster" une démonstration c'est mieux.

Par exemple , l'hypothèse selon laquelle on peut écrire :
, c'est subtil, c'est délicat, c'est beau...
Le temps et l'espace sont décorrélés. Chacun vit sa vie indépendamment de l'autre. C'est d’ailleurs pour cette raison, que dans la démonstration, on aboutit à 2 équations indépendantes et à la notion de fréquences propres.

Cette hypothèse, est trop belle pour être vraie! La MQ et la théorie du chaos l'ont bien compris! En MQ, l'équation de Schrodinger décrit comment évolue la fonction d'onde spatiale au cours du temps.
De même pour la théorie du chaos, qui étudie l'évolution temporelle d'un système dynamique soumis à un petit "grain de sable" qui couple, qui correlle l'espace et le temps et créé du désordre.

[invite03f4a544]

oui j'avais compris qu'on avait "décollé" le temps de l'espace =D je trouvais d'ailleurs sa bizard . En tout cas, merci pour cette dégustation

[invite03f4a544]

Une dernière question que représente exactement ? une pulsation propre ?
merci

[invite03f4a544]

Bonjour, c'est encore moi ! Avec toujours quelques questions histoire de profiner les détails . Alors pour la résolution avec l'équation d'onde, on sépare les variables, on ne peut faire ça qu'en présence d'onde stationnaire non ? Physiquement, elle se met en place comment car par exemple en prennant le modèle du tube fermé, l'onde stationnaire se créé par le retour de l'onde a partir du bout du tube fermé (si ya le bon timing =D ); ainsi pour un tube ouvert, comment peut-on parler d'onde stationnaire? Est-ce une histoire de différence de pression ?
Merci

[LPFR]

Bonjour, c'est encore moi ! Avec toujours quelques questions histoire de profiner les détails . Alors pour la résolution avec l'équation d'onde, on sépare les variables, on ne peut faire ça qu'en présence d'onde stationnaire non ? Physiquement, elle se met en place comment car par exemple en prennant le modèle du tube fermé, l'onde stationnaire se créé par le retour de l'onde a partir du bout du tube fermé (si ya le bon timing =D ); ainsi pour un tube ouvert, comment peut-on parler d'onde stationnaire? Est-ce une histoire de différence de pression ?
Merci

Bonjour.
La résolution de l'équation d'onde ne vous fera pas avancer d'un iota. Si c'était le cas je vous l'aurais dit dans mon post #5. Parce que ce que vous cherchiez était l'augmentation de la longueur apparente du tube dépendante du diamètre. Le 0,8d dans la formule
f=nv/(2*(L+0.8*d))
Avec l'équation d'onde vous devez choisir les contions limites. Ce n'est pas l'équation qui vous les donnera. Et elle ne vous donnera pas l'augmentation apparente de la longueur.
La solution du post #8 est la solution banale en une seule dimension en prenant le ventre à l'extrémité du tube. Vous pouvez constater que le diamètre ne figure nulle part.

Il faudrait résoudre le problème en trois dimensions (avec symétrie quand même) mais non en une seule dimension.
Même ainsi je ne sais pas comment introduire la condition limite du côté ouvert du tube. Si je le savais je vous l'aurais dit.

L'onde se réfléchit aussi bien côté fermé que côté ouvert car dans les deux cas il y a un changement d'impédance acoustique. Côte ouvert l'air qui pousse se retrouve ne train de pousser un diamètre qui devient grand subitement. Cela crée un nœud de pression et un ventre d'amplitude. Mais les conditions limites ne sont pas les mêmes que du côté fermé, où on a un nœud d'amplitude net.
Au revoir.