Mécanique du solide - barre homogène en équilibre sur un rebord

[invite521c0cbf]

Bonjour à tous ^^
Voila, je chercherai à trouver la condition limite d'équilibre d'une barre sur un rebord (comme dans l'image ci-dessous).

http://www.noelshack.com/uploads/160...arre070986.PNG

G est le barycentre de la barre (et son centre de masse).
O est le point de contact entre la barre et l'extrémité du rebord.
a est la distance de G à A (donc la longueur de la barre est 2a).
b est la distance de O à A.
Les forces qui s'appliquent à la barre sont le poids P et la réaction normale du support N (frottements négligés, pas de composante tangentielle).

On ne sait pas si O=G (et donc a=b) ou pas.
(Justement, je pensais que la condition limite serait a=<b).

Ce que je cherche donc, c'est trouver pour quelles valeurs de b, la barre ne se met pas à pivoter autour de O.

On a deux inconnus (N et b), alors j'ai pensé obtenir N en appliquant le théorème du centre de masse, puis utiliser le théorème du moment cinétique en O pour trouver b (ou plutôt une espèce de condition sur b).

le th du centre de masse projeté selon ex donne :
0=P+N, donc N=-mg=mg*ez

Ensuite le théorème du moment cinétique en O donne :

dσ(O)/dt = Mpoids(O)+Mréac(O)

Mpoids(O)=OG(-ex)^mg(-ez)=(b-a)mg*(-ey)= (a-b)mg*ey

Comme N s'applique à une partie de la barre seulement
On considère N1 une espèce de force "linéique" (je sais pas comment dire) : N1 = N/b*ez

Mréac(O)={OM^(N/b)*ez*dx={OC^(N/b)*ez*dx + {CM^(N/b)*ez*dx

(le signe { est pour une intégrale).

Ou C est le barycentre de O et de A (donc OC = -b/2*ex)
Donc le deuxième terme s'annule et dans le premier, rien ne dépend de M, donc on trouve :

Mréac(O)={OC^(N/b)*ez*dx=OC^N*ez=b/2(-ex)^mg*ez=mgb/2*ey

Donc on a dσ(O)/dt = (a-b)mg*ey + mgb/2*ey = (a-b/2)mg*ey
Le moment à l'origine est nul.
Si (a-b/2) > 0, le moment cinétique de la barre en O, qui est de la forme J*ω sera selon ey, et donc la barre tournera de façon à tomber.

Donc pour qu'il n'y ait pas rotation dans le sens qui conduirait la barre à tomber, il faut que (a-b/2)<0, donc a<2b.
(Ce qui me semble archi-faux expérimentalement, une barre ne bascule pas dès qu'une partie de la barre se retrouve dans le vide).

Ai-je fait un erreur dans le raisonnement, une erreur de calcul qui m'échappe, ou un mauvais modèle ?

Merci d'avance ^^
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
La barre est en équilibre stable aussi longtemps que le couple du poids autour du bord fait "tourner" (a tendance à faire tourner) la barre vers la gauche.
La barre est en équilibre indifférent quand le centre de gravité est juste au dessus du bord.
Et si le le centre de gravité est au dessus du vide, la barre bascule.
Au revoir.

[invite3acfbda2]

Et tu peux raisonner aussi avec les moments, en prenant pour convention qu'un moment participant à la stabilité est positif et négatif s'il participe à l'instabilité.
Le signe de la somme des moments des forces en O t'indique alors le comportement de la barre.

[invite521c0cbf]

LPFR :

Je crois comprendre :
Quand G est à gauche de O, le moment du poids est selon -ey, donc la barre ne peut pas tourner vers la droite.
Quand G=O, le moment du poids est nul, donc pas de rotation si ω0 = 0.
Quand G est à droite de O, le moment du poids est selon ey, donc la barre bascule.

Mais je voudrais savoir où est l'erreur dans mon raisonnement précédent, et si c'est possible de mettre ce que tu viens de dire de façon plus "formelle".


onhernow :

Tu veux dire les moments des forces ?
Mais dans ce cas, la somme des moments vaut (a-b/2)mg*ey, donc si (a-b/2)<0, il y a stabilité, si (a-b/2)>0, il y a instabilité, j'en reviens au même point...






Merci d'avoir répondu ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Re.
Je pense que c'est très problématique de dire que la réaction N est une seule force. Il est vrai que la réaction doit être égale au poids, mais elle n'est sûrement pas une seule force. Et même si vous dites que ce sont des forces distribuées le long de la partie appuyée de la barre, vous ne connaissez pas la distribution. Vous connaissez leur somme (égale au poids) et la somme de leurs moments, mais pas "le détail".
La réalité physique est que vous ne savez pas réellement où la barre va s'appuyer quand elle est en position stable. Ça dépend des imperfections. Et n'importe quelle supposition que vous fassiez quant à la distribution de forces, elle sera totalement artificielle.
Et, puisque toutes les distributions seront artificielles, autant choisir celle qui nous arrange.
Le mieux est de supposer que la barre ne touche qu'en deux points: le bord et l'extrémité gauche. Imaginez que vous avec glissé un cheveu au bord et un autre à l'extrémité de la barre.

Et si vous avez mauvaise conscience, analysez ce qui arriverait si, au lieu de mettre le cheveu sur le bord, vous vous étiez trompé et vous l'aviez glissé à gauche du centre de gravité.

Je reviens sur votre besoin de "formaliser" (mettre en équations) un raisonnement. La physique ce sont les raisonnements, pas les équations. Les équations ne servent qu'à calculer les résultats des raisonnements. Et envoyez au diable les profs qui vous diraient le contraire (attendez d'avoir votre diplôme pour le faire).
A+

[invite521c0cbf]

Merci beaucoup, j'ai les réponses que je voulais.
Bonne soirée.