Derperdition thermique

[invite3f6be682]

Salut à tous,

J'ai un petit probleme assez urgent à résoudre.
Je cherche à dimensionner précisément la puissance de chauffage d'un bassin contenant de l'eau en prenant en compte les déperditions thermique du bassin isolé et que la température du bassin dépends du temps.
On met en marche le syst de chauffe pour atteindre la température de consigne Ti. Pendant cette période une quantité de chaleur est necessaire pour éléver la température de l'eau et une autre permet de compenser les pertes thermiques subies par le système.
je crois que l'équation est de la forme dQ=mcdT+K(T(t)-Text)dt
Sachant que dQ=Pdt
Je cherche la puissance P nécessaire à installer pour réchauffer mon eau.

Qq'un peut-il m'aider?
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[NicoEnac]

Bonjour,

Ta formule est bonne. Tu obtiens donc une équation différentielle avec T(t) comme seule inconnue. Il suffit de la résoudre.

[invite3f6be682]

salut,

Merci pour ta confirmation mais mon problème est que je souhaite déterminer la puissance P necessaire pour réchauffer l'eau.
J'ai donc pour moi 2 inconnues T(t) et P.

comment faire résoudre cette équation?

[NicoEnac]

Il s'agit d'une équation différentielle où la fonction inconnue est T(t). P est aussi inconnue mais tu pourras la déterminer grâce aux conditions qu'on posera sur l'équa diff.

T(t) sera de la forme : T(t) = A + B.e^m.t.

Identifions A, B et m :
On veut que la température converge vers la température de consigne Ti. Donc T(t) -> Ti quand t-> +oo. D'où m<0 et A = Ti
T(0) = T₀ => Ti + B = T₀ => B = T₀ - Ti
En dérivant l'expression de de T(t) par rapport à t et en insérant T(t) et dT/dt dans l'équa diff on obtient :
m = -K/(m.c) et P = K(Ti - T_ext)

On peut interpréter cela en disant que pour qu'on maintienne une température Ti, il faut compenser les pertes dues à la différence entre température extérieure et température de consigne.

Cependant je pense qu'il vaut mieux avoir un thermostat permettant de faire varier P car la vitesse de convergence de la température est fixée par K, m et c (m.c/K = T'). Il faut la calculer dans ton cas car on considère qu'on arrive à la 99% de la valeur finale au bout de 5xT'

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3f6be682]

OK, pour la résolution mais j'ai des impératifs temporels, ainsi je désire atteindre ma température de consigne au bout de 3h de chauffe
les conditions sont donc
T(3h)= Ti = A + Bexp(m*10800)
et comme tu l'as dis T(0) = T0 = A+B

donc j'ai besoin d'indication car je coince au niveau de la resolution et de la determination de cette puissance de chauffe.

[NicoEnac]

Théoriquement, avec l'expression de la température par rapport au temps, tu n'atteindras jamais Ti mais tu t'en rapprocheras à 1%, 0.1%, etc....

Comme je te l'ai dit, on considère qu'à 5xT', T(t) sera distant de 1% par rapport à Ti. Connais-tu K ? m ? c ? alors calcule T' et vérifie que 5T' < 3h

[invite3f6be682]

Bon je vais regarder tous ça, et je reviendrais à la peche aux infos...

merci pour tes infos

[NicoEnac]

Re,

Je vais affiner ma réponse.

La résolution de l'équa diff nous donne P = K(T_i - T_ext). (*)

Si on a une contrainte de temps t_{chauffe - max} et en utilisant le raisonnement énoncé plus haut (t_{chauffe - max} < 5.m.c/K) on obtient que P > 5.(T_i - T_ext).m.c/t_{chauffe - max} (**)

Donc voici la méthode : calculer P grâce à la formule (*), puis vérifier grâce à l'inégalité (**) que P est suffisante pour le temps de chauffe qu'on souhaite. Si ce n'est pas le cas, il faudra limiter les pertes thermiques et jouer sur le facteur K qui fixera un nouveau P.

[NicoEnac]

Quant aux différents paramètres du problème, T₀, T_i et T_ext sont fixés soit par l'utilisateur soit par l'extérieur.

m peut être aisément calculé (Volume d'eau x masse volumique sachant que la masse volumique = 1000 kg/m³), c vaut 4.18 J/kg/°K.

Le plus compliqué sera d'évaluer K. Pour éviter de faire beaucoup de théorie qui ne donnerait pas une bonne estimation, je conseille de faire un test. Relever la température de l'eau, celle de l'extérieur et au bout d'un certain temps au cours duquel on aura pas chauffé l'eau, les relever à nouveau. Il faudrait réaliser cette manip sur un temps assez long (quelques heures) et de préférence à un moment où la température ne change pas trop.