Générateur des translations = impulsion ?

[LoicM]

Bonjour,

Dans tous les cours de mécanique quantique ou de théorie quantique des champs que j'ai pu parcourir, j'ai l'impression qu'on prend pour acquis que le générateur des translations est égal à l'impulsion, mais je cherche une justification à cette affirmation.

Si on prend le groupe des translations, on peut arriver à exprimer le générateur de ce groupe sous la forme proportionnelle à d/dx en le faisant agir sur des fonctions. Mais en vertu de quoi peut-on affirmer que c'est l'impulsion du système dont la fonction est la représentation??

La meilleure justification que je vois (mais je ne l'ai pas vraiment trouvée expliquée dans un cours), c'est que ça marche pour une fonction d'onde plane qui représente une particule (onde de de Broglie). Mais j'aimerais trouver une formulation rigoureuse de tout ça.

Question subsidiaire : pour moi l'impulsion d'un système c'est la quantité conservée lors d'une translation : c'est donc la "charge" de Noether associée à la symétrie de translation. On sait alors démontrer en théorie quantique des champs, que cette impulsion, une fois quantifiée, correspond à l'opérateur générateur des translation dans l'espace de Hilbert considéré. Mais j'ai du mal à croire qu'il faille passer par la théorie quantique des champs pour trouver une justification au fait que le générateur des translations mesure l'impulsion d'un système.

Merci de votre aide.
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[vaincent]

Bonjour,

On considère cela comme acquis car cela vient de la mécanique analytique. Gràce aux équations d'Euler-Lagrange et au théorème de Noether on montre que la quantité conservée après une translation d'un système isolé est l'impulsion totale de ce système. Il est très important de bien connaître la mécanique analytique(Formulation Lagrangienne et Hamiltonienne) avant d'aborder la mécanique quantique et la TQC.

[vaincent]

Voir ici http://www-laog.obs.ujf-grenoble.fr/...cours_meca.pdf par exemple pour un cours en français de mécanique analytique.

[LoicM]

Merci pour cette réponse.

Je suis bien d'accord que la quantité conservée par translation est l'impulsion du système et qu'on le démontre grâce au théorème de Noether. Mon problème alors c'est de démontrer ( en mécanique analytique classique, c'est à dire hors TQC) que le générateur des translations ( au sens générateur infinitésimal du groupe, opérateur de l'algèbre de Lie associée), correspond à l'impulsion conservée ainsi définie à partir du théorème de Noether, et plus particulièrement qu'il correspond par exemple à l'opérateur qui mesure cette impulsion sur un état quantique à une particule, ou sa fonction d'onde, c'est à dire un champ classique, . Je n'ai pas trouvé de cours de mécanique analytique qui le montre, en dehors du cas des champs quantiques.

[A voir en vidéo sur Futura]

[vaincent]

Je n'ai pas trouvé de cours de mécanique analytique qui le montre, en dehors du cas des champs quantiques.

Ok je vois votre problème. Mais il me semble que c'est impossible de montrer classiquement ( au sens non quantique) que les composantes de l'impulsion sont les générateurs du groupe des translations (qui est un groupe Lie) car un générateur d'un groupe de Lie est par définition un opérateur hermitien, ce qui n'a pas d'équivalent classique.

[LoicM]

Sauf erreur de ma part, les générateurs ne sont pas forcément hermitiens: en MQ on les veut hermitiens pour que les représentations sur les espaces de Hilbert soient unitaires, mais on peut bien définir les générateurs sur des espaces de représentation classiques. Il suffit de différencier l'élément du groupe à proximité de l'élément neutre pour obtenir les générateurs.
Mais j'ai peut-être une piste avec le document :http://cel.ccsd.cnrs.fr/cours/cel-26/cel-26.html
A la page 19, on montre comment on peut générer une translation infinitésimale avec l'impulsion et les crochets de Poisson. On peut donc en déduire que le p figurant dans (I-78), qui est à la fois ici le moment conjugué de la position, et la quantité conservée par translation (à vérifier), est le même que le générateur des translations construit à partir du groupe. Dans les 2 cas on a da.p qui intervient pour le même résultat, on peut alors identifier les p.

[vaincent]

oui au temps pour moi, j'ai dis "hermitien" par habitude, mais je voulais surtout souligner le fait que les générateurs doivent être des opérateurs.

[LoicM]

En fait, plus je m'avance et plus je vois qu'on peut construire le même type de raisonnement en mécanique classique qu'en MQ, avec les crochets de Poisson. Et on peut donc montrer que les générateurs infinitésimaux des symétries sont les quantités conservées correspondant via théorème de Noether à ces symétries: voir par exemple p.107 du document suivant :

http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/clas.pdf

"If we have a conserved quantity G, then we can always use this to generate a canonical transformation which is a symmetry."

On a des exemples pour les translations et rotations pages 45-46 de ce document :

http://www.phys.ens.fr/%7Ehare/Meca_anal_Hare_2007.pdf

[vaincent]

ok, et bien merci pour ces liens. Je n'était pas allez aussi loin dans l'analogie classique-quantique lorsque j'ai vue les groupes de Lie en cours mais mieux vaut tard que jamais !

[KilyBurny]

Salut,

Bonne question..

http://caltechbook.library.caltech.edu/103/01/FoM2.pdf

[LoicM]

Merci KilyBurny,

Ce livre contient sûrement le moyen de trouver les infos recherchées, mais il manque un peu de physique à mon goût. Il doit y avoir plus simple pour répondre à la question posée. Il y a notamment, du même auteur le livre "Marsden, Ratiu Introduction To Mechanics And Symmetry". Il est déjà plus pointu sur le plan math qu'un cours de mécanique analytique standard, mais il est plus proche de la physique que le lien que tu donnes.

En tout cas la moralité de tout ça c'est que tous ces concepts existent d'abord en mécanique classique, et que la MQ n'en est qu'une application particulière, même si c'est celle que l'on rencontre le plus aujourd'hui.

PS : le site suivant, en français, est aussi riche sur le sujet.
http://www.jmsouriau.com/

[KilyBurny]

Merci à toi pour le lien.. quand au livre si je le trouve gratui ptêtre..