Comment calculer la tension de plusieurs cordes soutenant un objet ?

[flocool]

Bonjour a toutes et tous.
Je m'excuse par avance pour le manque d'accent sur ce message, mais je suis sur un clavier qwerty sur un PC de mon université anglaise.

Je voulais savoir comment on pouvait calculer la tension dans des cordes soutenant un objet ? Je m'explique (si vous connaissez le principe de la SpiderCam, passez l'explication) :

Un objet est suspendu au bout de 4 cables de longueurs variables (mais on suppose que leurs longueurs est fixe pour les calculs).
Si un objet est suspendu par seulement 2 cables, on applique le PFS, on obtient un tres simple triangle des forces dont la somme est egale a 0, et le tour est joue. Mais si on a 4 cables, comment fait-on ? La piece jointe montre un rapide schema : l'objet se trouve donc a la reunion des 4 cable R1, R2, R3 et R4.
Pour calculer ces tensions, on connait les coordonees du point (en fonction du repere du schema) ainsi que les longueurs de la piece (car ce truc rouge est une piece).

S'il manque le moindre detail, ne pas hesiter a me demander.

Merci d'avance !
Florian
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[NicoEnac]

Bonjour,

Je n'ai pas encore vu la pièce jointe. Le PFS s'applique également à ce système, il y a simplement plus d'inconnues.

Personnellement j'essaierai tout d'abord de trouver des symétries dans le système. Mais cela ne permet de traiter que des cas particuliers. J'attends d'en savoir plus grâce à l'image.

[flocool]

Le souci est que le systeme sera tres loin d'etre symetrique, car concretement l'objet pourra se placer n'importe ou dans la piece.

La reflexion que j'ai eu est que plus l'objet sera haut, plus la tension sera grande car les cordes seront de plus en plus a l'horizontale.

[invite3c68aec2]

A ca me rapelle un oral d'un certain concours.
En fait, le PFS ne suffit pas pour trouver les contraintes car si tu as un fait un peu de SI, tu vois la un systeme hyperstatique.
Pour faire une analogie pense a une chaise, la chaise a 4 pieds et 3 pourtant suffises pour etre assis dessus. Pourquoi 4 pieds alors? Tout simplement parce que le systeme est plus resistant. Physiquement, on comprend assez bien que pour les 4 pieds touchent par terre et non 3 ceux-ci ont besoin de se deformer. Car si les pieds etaient d'une rigidite infinie, le plus court des 4 ne toucherai pas.
Hop voili, tu as donc besoin de rentrer des equations de deformation dans ton systeme.

Ps : dsl pour l'ecriture mais je suis aussi dans une universite anglaise donc qwerty

[A voir en vidéo sur Futura]

[flocool]

Ah nooon, pas d'hyperstaticité !!! Brrrrr
Oui j'ai fait de la SI, donc j'ai bien compris ce que tu disais lol.

Ben à ce moment là je vais essayer de trouver des cas particuliers critiques qui permettront de déterminer la tension maximale sur les cables, et donc de choisir d'une part un moteur adéquat (car ces cables seront enroulés grâce à des moteurs pas à pas), mais également des cables assez solide (et pas du fil de couture qui casse quand tu tire dessus :P )

[sitalgo]

B'jour,

Tu as un plan contenant R2 et R3 perpendiculaire au plan xoz, idem pour R1 et R4.
Tu projettes sur xoz, le poids P doit donc être équilibré par 2 forces que l'on va prendre parallèles à xoz (une résultante R23 de R2 et R3, l'autre R14 de R1 et R4).
Ensuite tu détermines R2 et R3 à partir de R23. Idem pour R1 et R4.

[flocool]

Euh, le plan contenant R2 et R3 n'est pas perpendiculaire au plan xoz! Enfin sauf si je sais plus faire de math :P

[verdifre]

bonsoir,
il me semble que les points d'attache de r2 et r3 sont sur une droite selon y (donc perpendiculaire à OXZ)
le point piloté se trouve nessecairement dans un plan qui contient r2 et r3
une des droite de ce plan (celle qui porte les origines de r2 et r3) est perpendiculaire à 0XZ.. je te laisse conclure
fred

[flocool]

Oh pardon, 1000 excuses !
C'est juste que j'ai besoin de lunettes et d'un cerveau ! lol
J'avais bien compris le plan oxz mais je lisais le plan yoz dans ma tête. Au temps pour moi

[LPFR]

Bonjour.
Je pense que Flocool a raison de dire que le système est hyperstatique. Il y a "un câble en trop".
Avec trois câbles on a une solution unique. Avec un quatrième on change tout suivant la tension que l'on impose à ce câble.
Pour être près de la réalité, il faudrait introduire la longueur au repos de câbles et leur constante élastique.
Au revoir.

[Jeanpaul]

A mon avis, le problème est plus subtil que l'hyperstatisme. En effet, il s'agit de câbles, donc ils ne peuvent transmettre d'effort de compression.
Si on regarde de dessus, on voit une diagonale du rectangle supérieur et l'objet, supposé ponctuel. Si l'objet est à gauche de la diagonale, il y a des chances pour que le câble qu'on voit à droite ne soit pas tendu du tout (si on le coupe, il ne se passe rien) donc sa tension vaut zéro et ensuite le problème n'est plus hyperstatique.
Dans la réalité, c'est plus compliqué, il faudrait faire le calcul en supposant les tensions nulles tour à tour et voir si c'est cohérent, ce ne le sera pas toujours, je crains.

[LPFR]

Re.
On peut faire une analyse purement mathématique du problème: on a trois contraintes à satisfaire (l'équilibre des forces sur l'objet) et quatre paramètres. Donc, le système est indéterminé et on a un degré de liberté.
On pourrait demander que les quatre tensions soient identiques, ou proportionnelles à n'importe quel quatuor de chiffres positives.
A+

[flocool]

Les 4 tensions ne peuevnt pas être identiques, on se retrouveraient alors dans le cas particulier d'être au milieu du système.
J'essayerai d'y réfléchir, mais en tout cas c'est une très bonne question qui donne une réflexion digne d'un Master je pense ... lol

[flocool]

B'jour,

Tu as un plan contenant R2 et R3 perpendiculaire au plan xoz, idem pour R1 et R4.
Tu projettes sur xoz, le poids P doit donc être équilibré par 2 forces que l'on va prendre parallèles à xoz (une résultante R23 de R2 et R3, l'autre R14 de R1 et R4).
Ensuite tu détermines R2 et R3 à partir de R23. Idem pour R1 et R4.

En y ayant repensé a tete reposée, je pense que c'est bel et bien une solution possible ! Faut que je fasse des essais et des calculs pour tester ca. Merci !

[Elmano59]

Tu as pensé à faire ta résolution par torceur, car il n'y a pas que les force en jeu, il y a les moment.

Si tu a 6 équations à 4 inconnues (les forces) tu peux résoudre ton problème..non?

[Elmano59]

Heu!!
Oups!

24 équations, 12 inconnues:

Force en R1 : 3 directions
Moment en RI: 3directions
Soit 6 composantes pour R1
Multiplié par 4...

Et encore, sa peut se simplifier et tu peux éliminer des composantes...

[verdifre]

bonjour,
sur le schéma et sur les sytèmes que j'ai vu employant ce principe , on fait bien attention à ce que les 4 forces soient concourantes
les moments sont donc nuls
mais il est clair par contre que dés que l'on va s'approcher du plan haut, des forces vont avoir tendance à devenir infinies ---> rdm
et que dés que l'on va s'approcher des parois verticales du volume de travaille des forces vont devenir nulles ,la simple masse des cables si elle n'est pas negligeable va restreindre le volume de travail
(bonjour les equations de chainettes pour retrouver les forces reelement appliquées au mobile)
fred

[flocool]

B'jour,

Tu as un plan contenant R2 et R3 perpendiculaire au plan xoz, idem pour R1 et R4.
Tu projettes sur xoz, le poids P doit donc être équilibré par 2 forces que l'on va prendre parallèles à xoz (une résultante R23 de R2 et R3, l'autre R14 de R1 et R4).
Ensuite tu détermines R2 et R3 à partir de R23. Idem pour R1 et R4.

Et voila, je viens de trouver ou se trouve la simplification !! Qui nous dit que la résultante R23 est parallele a xoz? Il y a peut-etre une explication scientifique, mais du coup forcement cela nous enleve les inconnues que l'om avait de trop.

Qu'en pensez-vous ?

[verdifre]

la resultante des efforts exercés par un cable (si celui ci est de masse negligeable est selon l'axe du cable..
fred

[sitalgo]

Et voila, je viens de trouver ou se trouve la simplification !! Qui nous dit que la résultante R23 est parallele a xoz? Il y a peut-etre une explication scientifique, mais du coup forcement cela nous enleve les inconnues que l'om avait de trop.

C'est une solution mais pas la seule, dans celle-ci les fils fournissent plus d'effort avec leur verticalité, ce qui est le cas avec une sustentation avec deux ou trois fils, ce n'est donc pas aberrant.
S'il s'agit de dimensionner le moteur, prends le cas le plus défavorable : la position la plus haute au milieu du mur de la longueur (si l'objet suspendu est censé aller jusqu'au mur, ce qui m'étonnerait).

[flocool]

En fait ... J'ai un petit probleme !
J'ai fait une feuille Excel qui calcul tout ca, mais j'obtiens un souci dont je n'avais pas pensé. En gros dans ma feuille, je projette sur le fameux plan en calculant les angles O₂₃ et O₁₄ (O=teta).
Du coup j'applique mon PFS, je trouve les résultantes R₂₃ et R₁₄ sans souci. Apres je prends la vue de dessus et je projette sur le plan xoy. Je prends la résultante R₂₃ et je calcul les résultantes R₂ et R₃ avec les angles O₂ et O₃. Et puis au final je fais la meme chose de l'autre cote.

J'obtiens donc mes 4 résultantes, et la je me dit "youhou" c'est gagné. Mais non, car si je place l'objet treeeeees proche du mur (49.999999 sur 50) par exemple, et que je me place dans un angle, j'obtiens des valeurs de tensions 1000 fois superieures au poid de l'objet ... Donc y dit qu'il y a un probleme.

En fait je pense qu'il ne faudrait tenir uniquement que des longueurs des cordes. Car supposons l'objet quasi a terre (soit Z=Z_max) et dans un angle, vous etes d'accord que le poids de l'objet est en gros uniquement soutenu par une seule corde, celle de l'angle. Donc les tensions des 3 autres sont quasi nulles.
Voila le souci (je vais essayer de l'expliquer tres clairement) : vu de dessus, l'angle que fait cette corde par rapport a un des murs peut tres vite varier, ce qui fait que les resultantes varient alors tres vite egalement. Il ne faut donc, je pense, que tenir compte des longueurs.

C'est une suposition que je fais, dites-moi ce que vous en pensez.

[verdifre]

bonjour,
que tu aie des rapports de 1000 entre les forces n'a rien d'étonnant puisqu'une des forces tend vers 0
tu doit avoir par contre un petit problème dans ton calcul ...
et si tu veux etre precis dans ces situations, il va falloir tenir compte du poid du fil
fred

[flocool]

J'ai mis une piece joint pour montrer ce que je voulais dire pour les angles. Il faut imaginer sur cette piece jointe qu'on est tres tres tres tres proche de l'angle. Les longueurs des cordes ne vont alors pas changer, pourtant les valeurs des angles si, donc les tensions egalement.

Je met egalement mon fichier Excel en piece jointe.
Sur la feuille Excel, changez la valeur de "z2 se trouvant a droite sous le graphique. Lorsque vous chargez le fichier, la valeur est de 1E-14. O₂₃=5°
Si vous changez la valeur pour 1E-13 vous verres l'angle O₂₃=45°
Si vous changez la valeur pour 1E-12 vous verres l'angle O₂₃=84°
Tout ca c,est normal, c'est ce qu'il se passe sur la piece jointe, on s'eloigne de plus en plus d'un mur.
Mais surtout vous voyez au depart que R2=R3=20000!! L'objet est sous R2, donc R3 ne devrait presque rien avoir ...

D'ou ma conclusion sur la longueur des cordes.

[flocool]

bonjour,
que tu aie des rapports de 1000 entre les forces n'a rien d'étonnant puisqu'une des forces tend vers 0
tu doit avoir par contre un petit problème dans ton calcul ...
et si tu veux etre precis dans ces situations, il va falloir tenir compte du poid du fil
fred

Le poids du fil importe peu si tu as un objet de 3 kilos et 3 grammes de fil.

[verdifre]

bonjour
et non, si tu es prés de la verticale, la tension du fil qui tirerai lateralement, sous son propre poid peut etre sensible
c'est entre autre pour cela qu'en pratique, une position verticale ou trés proche de la verticale n'est pas tenable
de plus dans ces positions, la moindre perturbation va faire osciller ton mobile.
fred

[verdifre]

pour bien voir, il faut envisager le problème de la chainette
http://fr.wikipedia.org/wiki/Cha%C3%AEnette
ton fil, même si tu ne lui donnes pas de tension, va de son propre poid en generer une.
fred

[flocool]

Je suis bien d'accord avec toi, mais je vois pas le rapport avec mon souci. Si le poids de l'objet est tres superieur au poids de la corde, cette corde sera bien plus tendu d'une part, et d'autre part le poids de la corde sera negligeable.

Donc oui, il y aura une tension dans les autres cordes, je n'ai pas dit qu'il n'y en avait pas (j'ai dit "quasi nulle" mais j'aurais du dire "négligeable"), mais donc tres faible devant celle qui soutient l'objet.

[verdifre]

oui,
mais quand tu es proche de la verticale, le trés faible n'est plus negligeable

[flocool]

Ben si justement ! Le très faible devient encore plus faible pour les autres câbles que celui de la verticale !

Si tu as sous l'angle R1, le cable R1 sera tendu et soutiendra 99% du poids de l'objet, alors que les câbles R2, R3 et R4 ne soutiendront que 1%
C'est un ordre d'idée bien évidemment.
Après c'est sûr que ça oscillera car les autres câbles seront beaucoup moins tendus, mais ce n'est pas gênant, moi je m'intéresse aux tensions

[sitalgo]

Apres je prends la vue de dessus et je projette sur le plan xoy. Je prends la résultante R₂₃ et je calcul les résultantes R₂ et R₃ avec les angles O₂ et O₃.

Je n'ai pas regardé le détail du calcul sur ta feuille mais quand tu as R₂ et R₃ avec les angles O₂ et O₃, il s'agit de R_2X et R_3X, il faut encore diviser par cos(angle du fil) pour avoir la tension du fil.

Si on ne veut pas avoir de problème avec les fils dans les positions extrêmes (contre les murs) il faut que le quadrilatère utile soit plus petit que le quadrilatère formé par les moteurs.

En limitant la hauteur de levage on limite aussi la puissance nécessaire.