Tenseurs, formes et dimensions : le retour de la vengeance du cocktail détonnant

[invite6754323456711]

si

C'est ce que j'en comprend au travers des divers lecture d'article sur le sujet. Par exemple dans le cas d'un espace euclidien et son dual le tenseur métrique g est un élément unique, le caractère 2 fois contravariant, mixte ou 2 fois covariant résulte simplement de la base sur laquelle on le développe (cette caractéristique s'étend au cas d'un tenseur général t). C'est le même tenseur métrique.

Maintenant la dissémination de l'intérêt d'utiliser l'espace bidual V**n plutôt que l'espace vectoriel Vn isomorphe semble peu développé et pas toujours très explicite.

Je ne sais pas si c'est un mythe mais Einstein au début était réticent à la notion de tenseur non ?

Patrick
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[invitedbd9bdc3]

si, mais il est interdit de le dire sur le forum de Mariposa-Sciences...

Vu qu'on a le droit a deux mois de vacances mariposienne, est-ce qu'on pourrait pas avoir des vrais post sur l'autre façon de voir les particules virtuelles, les tenseurs, les formes, et toutes les autres choses interessantes qui se font pourrir a chaque fois?

[invitea29d1598]

Vu qu'on a le droit a deux mois de vacances mariposienne, est-ce qu'on pourrait pas avoir des vrais post sur l'autre façon de voir les particules virtuelles, les tenseurs, les formes, et toutes les autres choses interessantes qui se font pourrir a chaque fois?

en même temps un discours à sens unique dans l'autre direction n'est pas complètement utile non plus. L'idéal c'est une discussion ouverte... et comme on le sait très bien, l'idéal n'est pas de ce monde...

Reste qu'à mon avis ce qu'il faut retenir (pour un physicien), c'est que malgré les discours de certains, il n'existe quasiment jamais UN point de vue mais bel et bien plusieurs points de vue complémentaires.

Pour ce qui est de l'approche "moderne" des formes, un bon début (pour un physicien) est selon moi cette présentation de l'électromagnétisme selon le langage de l'algèbre extérieure. Ni la physique ni les maths n'y sont compliquées (niveau L1 ou L2) et cela permet d'acquérir "une certaine intuition" de pourquoi il est utile de savoir différencier forme et vecteur (même si bien évidemment l'ensemble des formes a une structure d'espace vectoriel comme tiennent absolument à le souligner certaines personnes quitte à oublier tout le reste).

Même si dans cette présentation tout (ou presque) est écrit en terme de composantes, cette distinction (entre vecteur et forme) est un premier pas utile dans la direction "géométrique" ou "intrinsèque" qui ne se focalise pas sur les propriétés lors d'un changement de coordonnées (sans les renier évidemment car il est parfois bon de ne pas être extrémiste). Pour ce qui est de la suite, j'aurais malheureusement tendance à dire qu'il faut plonger dans des bouquins plus mathématiques (ou de physique "assez mathématique")... car les "physiciens pratiques" ont encore souvent deux écoles très décorrélées :

1) celle qui ne jure que par les représentations de groupes et les coordonnées
2) celle qui est plus géométrique et intrinsèque mais ne s'intéresse pas toujours aux groupes sous-jacents.

Par exemple dans le cas d'un espace euclidien et son dual le tenseur métrique g est un élément unique,

en disant ça tu sous-entends "espace euclidien décrit en coordonnées cartésiennes"

le caractère 2 fois contravariant, mixte ou 2 fois covariant résulte simplement de la base sur laquelle on le développe (cette caractéristique s'étend au cas d'un tenseur général t). C'est le même tenseur métrique.

Maintenant la dissémination de l'intérêt d'utiliser l'espace bidual V**n plutôt que l'espace vectoriel Vn isomorphe semble peu développé et pas toujours très explicite.

le bidual n'est en effet généralement pas d'une utilité cruciale en physique, à ceci près qu'en dimension infinie il ne coïncide pas avec l'espace initial ce qui implique qu'il est nécessaire d'être très prudent si on veut pas faire n'importe quoi quand on fait de la physique quantique pour des systèmes à nombre infini de "niveaux". Mais sans aller jusque là, la distinction entre V et son dual est parfois utile car l'identification des vecteurs de V et des formes (vecteurs de V* donc) repose sur l'existence d'une métrique symétrique non-dégénérée et ce n'est pas toujours le cas (par exemple la formulation géométrique de la mécanique hamiltonienne introduit un autre type d'objet mais aucune "métrique" au sens usuel du terme)

Je ne sais pas si c'est un mythe mais Einstein au début était réticent à la notion de tenseur non ?

je sais pas, mais en tous cas il a commencé par rejeter l'approche quadridimensionnel de Minkowski avant de réaliser sa "naturalité" donc ça serait possible

[invite1acecc80]

Re,

Ton lien semble sympa!

Sinon, j'ai également (en français pour les francophones ) un cours de M2 donné à Grenoble qui est très bien (je vous donne le lien sur la page perso de l'auteur):

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~..._M2/index.html

A plus.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29d1598]

Ton lien semble sympa!

le tien aussi mais même s'il est en Français, il est quand même un peu plus technique...

[invite1acecc80]

Re,

le tien aussi mais même s'il est en Français, il est quand même un peu plus technique...

Oui, il est nécessaire d'avoir quelques bases, je conçois...mais ça se boit comme du thé (en tout cas, c'est comme ça que je l'ai "avalé"...)

A plus.

[invitedbd9bdc3]

en même temps un discours à sens unique dans l'autre direction n'est pas complètement utile non plus. L'idéal c'est une discussion ouverte... et comme on le sait très bien, l'idéal n'est pas de ce monde...

Je sais, mais c'est juste que ça me desepere a chaque fois qu'on parle de particules virtuelles, tu dis "il y a d'autres interpretations" (que celle de mariposa) et tu t'en tiens toujours la (ce que je peux comprendre, les reactions face a l'intransigeance de l'auteur de ce sujet dependent des gens...)

Pour ce qui est de l'approche "moderne" des formes, un bon début (pour un physicien) est selon moi cette présentation de l'électromagnétisme selon le langage de l'algèbre extérieure. Ni la physique ni les maths n'y sont compliquées (niveau L1 ou L2) et cela permet d'acquérir "une certaine intuition" de pourquoi il est utile de savoir différencier forme et vecteur (même si bien évidemment l'ensemble des formes a une structure d'espace vectoriel comme tiennent absolument à le souligner certaines personnes quitte à oublier tout le reste).

J'ai regardé lu ce pdf (et commencé l'autre que tu as donné il y a pas longtemps sur l'hydro relativiste), mais j'avoue que je ne comprends pas l'avantage (ou meme le but) d'utiliser des formes plutot que des vecteurs. (je vais avoir l'air bete, mais c'est normal qu'on utilise ce genre de "formalisme", en précisant que c'est des formes, donc des applications, si on ne les applique jamais sur rien?)

Par exemple, quel est l'avantage de savoi que le flux est une 2-forme, tandis que la densité de charge est une 3-formes?



Une autre question (je suis en train de pourrir le sujet...), dans l'autre pdf que tu as donné, il est ecrit page 6 :
If () is a coordinate system on M and ( the associated natural
basis, then the dual basis is constituted by the gradients of the four coordinates:

Ce dernier point ne me parait pas du tout evident... une idée de justification?

[invite5a89bfe6]

Re,

Ton lien semble sympa!

Sinon, j'ai également (en français pour les francophones ) un cours de M2 donné à Grenoble qui est très bien (je vous donne le lien sur la page perso de l'auteur):

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~..._M2/index.html

A plus.

salut,

Là tu me plaît astérion, bon lien!

a+

et sans rancune

en passant ne me demande plus si la théorie de Bohm est locale ou non locale, ou je mevéner!

[invité576543]

Une autre question (je suis en train de pourrir le sujet...), dans l'autre pdf que tu as donné, il est ecrit page 6 :
If () is a coordinate system on M and ( the associated natural
basis, then the dual basis is constituted by the gradients of the four coordinates:

Ce dernier point ne me parait pas du tout evident... une idée de justification?

Tentative (si c'est faux et qu'on me corrige, j'aurais appris. Si c'est juste, tu auras (peut-être) appris!):

C'est facile dans l'autre sens.

Chaque coordonnée est un champ scalaire. Parce que c'est un système de coordonnées, les gradients de ces champs sont indépendants, il y en a le bon nombre, c'est une base.

Maintenant la base biduale (qu'on assimile à la base des vecteurs) est celle qui respecte . On vérifie immédiatement que les opérateurs dérivés directionnelles ont bien cette propriété : c'est donc bien la base biduale de l'espace vectoriel des opérateurs dérivés directionnelles qu'on assimile (par isomorphisme) avec les vecteurs.

Cordialement,

[invitea29d1598]

Je sais, mais c'est juste que ça me desepere a chaque fois qu'on parle de particules virtuelles, tu dis "il y a d'autres interpretations" (que celle de mariposa) et tu t'en tiens toujours la (ce que je peux comprendre, les reactions face a l'intransigeance de l'auteur de ce sujet dependent des gens...)

je dis pas que ça même s'il est vrai que je me suis lassé de tenter d'avoir des discussions sur certains sujets avec certaines personnes...

pour faire court (et résumer des choses que j'ai déjà mentionnées même si je peux plus te dire où), voici grossièrement le point de vue que je défends :

- si l'on prend au sérieux le formalisme de l'intégrale de chemin, les "particules virtuelles" (et de manière plus générale les processus virtuels) ne sont pas nécessairement juste un outil de calcul valable uniquement dans un cadre perturbatif. Cela ne répond pas à la question de leur "existence " (ce qui de toutes façons sort du cadre de la physique) mais devrait au moins pousser à la prudence dans le discours

- si l'on souhaite dire que les particules "virtuelles" n'existent pas (faudrait évidemment commencer par définir l'existence ), on peut en dire au moins autant des "particules réelles". Des choses comme le phénomène d'oscillations des neutrinos (qui sont les particules qui "existent" : les états de saveurs ou ceux de masse ?) ou l'effet Unruh (où d'une certaine façon les particules virtuelles d'un observateur sont les particules réelles d'un autre) montrent que la notion de champ est plus fondamentale que celle de particules. Et pour faire le lien avec un fil récent, c'est un peu aussi ce qui ressort de la correspondance AdS/CFT.

J'ai regardé lu ce pdf (et commencé l'autre que tu as donné il y a pas longtemps sur l'hydro relativiste), mais j'avoue que je ne comprends pas l'avantage (ou meme le but) d'utiliser des formes plutot que des vecteurs. (je vais avoir l'air bete, mais c'est normal qu'on utilise ce genre de "formalisme", en précisant que c'est des formes, donc des applications, si on ne les applique jamais sur rien?)

si tu ne fais que de l'électromagnétisme au niveau du texte que j'ai indiqué, on peut en effet zapper ça (d'ailleurs, ce point précis n'est pas mentionné dans le texte en question).

Mais ce qui se passe, c'est que souvent en "physique standard" quand on fait des produits scalaires entre vecteurs, il s'agit en fait de l'action d'une 1-forme sur un vecteur, mais cette équivalence repose sur l'utilisation d'une métrique. Si ta métrique est plate et exprimée en coordonnées cartésiennes, l'intérêt est minime. Mais si elle n'est pas plate (physique sur un espace courbe qui n'est pas nécessairement l'espace-temps d'ailleurs) ou si tu travailles avec des coordonnées curvilignes (sphérique par exemple), l'utilisation des formes et des vecteurs peut te permettre de ne pas avoir à "artificiellement" utiliser la métrique dans pas mal de cas et de simplifier pas mal de calculs (par exemple le fait que le rotationnel d'un gradient est nul découle de cela et se démontre pour tout système de coordonnées dans le cadre de l'algèbre extérieure).

De plus, cela te permet de prendre pas mal de recul sur les "choses intrinsèques" (mais ça je peux pas te l'expliquer en quelques mots ).

Par exemple, quel est l'avantage de savoi que le flux est une 2-forme, tandis que la densité de charge est une 3-formes?

tout avantage est relatif

comme je l'ai déjà dit, avec les formes tu as des grandeurs indépendantes de toute métrique et peux donc faire des calculs de manière plus efficace. De plus, si tu fais les choses proprement, ils peuvent même être valables en relativité générale sans que tu ne te prennes trop la tête.

Une autre question (je suis en train de pourrir le sujet...), dans l'autre pdf que tu as donné, il est ecrit page 6 :
If () is a coordinate system on M and ( the associated natural
basis, then the dual basis is constituted by the gradients of the four coordinates:

Ce dernier point ne me parait pas du tout evident... une idée de justification?

il faut que tu saches que :

- la dérivée extérieure d'une fonction scalaire est une 1-forme (nommée ici son gradient), c'est vrai même si la fonction en question est une coordonnée
- si tu as une fonction f, son gradient df agit sur le vecteur V en donnant ce que tu appellerais "dans le langage standard" le produit scalaire de V avec le gradient de f

après, par définition la base duale est formée de 1-forme w^i telles que pour un vecteur de base e_j on a w^i(e_j)=delta^i_j (symbole de Kronecker).

or où le premier terme désigne l'action d'une forme sur un vecteur, le deuxième celle du vecteur sur une fonction et le troisième l'expression analytique de cette action (et repose sur le fait que la base naturelle est formée des dérivées directionnelles) . Comme les dx^i sont linéairement indépendants, ils forment bien la base duale.

Tentative

l'idée est là mais je vois pas pourquoi tu parles de bidual. Les dérivées directionnelles sont des éléments de l'espace vectoriel initial, pas la peine d'introduire le bidual.

reste que Thwarn devrait peut-être regarder le lien donné par Asterion (au moins la partie d'intro à la géo diff) avant d'aller plus loin dans le truc sur l'hydro (si c'est bien dans ça qu'il a trouvé ce passage).

[invitea29d1598]

JPar exemple, quel est l'avantage de savoi que le flux est une 2-forme, tandis que la densité de charge est une 3-formes?

sinon autour de ce sujet y'a aussi les diverses propriétés sous les transformations de parité (par exemple le fait que le champ magnétique est un pseudovecteur découle du fait qu'il s'agit en fait d'une 2-forme)

[invité576543]

l'idée est là mais je vois pas pourquoi tu parles de bidual.

Parce que je pars de la base des formes et que je j'utilise l'opérateur dérivé comme agissant sur les formes, et non le contraire.

Les dérivées directionnelles sont des éléments de l'espace vectoriel initial

Ca non.

J'ai eu du mal à me dépatouiller avec cette notion, et c'est non. L'espace vectoriel initial peut être (et est en général) un autre espace vectoriel que celui des dérivées directionnelles (par exemple l'espace des vitesses, ou l'espace des accélérations). Ils sont tous isomorphes, ce qui justifie de passer librement de l'un à l'autre, mais dire qu'une vitesse est une dérivée directionnelle me semble porteur de confusion (en particulier pour des raisons dimensionnelles, les mêmes qui interdisent de confondre l'espace des vitesses et l'espace des accélérations).

Cordialement,

[invitea29d1598]

Ca non.

va falloir réécrire des centaines de bouquins de géo diff alors

J'ai eu du mal à me dépatouiller avec cette notion, et c'est non. L'espace vectoriel initial peut être (et est en général) un autre espace vectoriel que celui des dérivées directionnelles (par exemple l'espace des vitesses, ou l'espace des accélérations).

tu peux certes définir n'importe quel espace vectoriel sur une variété, mais l'espace tangent est par définition l'espace des dérivées directionnelles pas un espace ayant une dimension physique... tout fibré vectoriel n'est pas le fibré tangent

dire qu'une vitesse est une dérivée directionnelle me semble porteur de confusion

et moi ça m'a toujours paru éclairant...

(en particulier pour des raisons dimensionnelles, les mêmes qui interdisent de confondre l'espace des vitesses et l'espace des accélérations).

si on prend le système d'unités naturelles où la vitesse est adimensionnel, y'a aucun problème...

par ailleurs, comme je te l'ai déjà dit ailleurs, y'a pas une seule convention mais plusieurs quand on commence à parler dimension physique... la relativité nous a "appris" que les coordonnées sont des nombres et n'ont pas nécessairement une dimension physique même si parfois ils font bien semblant...

[invité576543]

va falloir réécrire des centaines de bouquins de géo diff alors

Ce serait peut-être une bonne chose. Peut-être pas tous, mais un certain nombre pour faire un pont correct entre ce qui est appris disons jusqu'à bac+2 et la géo diff.

Je n'ai aucune difficulté à comprendre l'idée a posteriori , et je comprends très bien qu'on puisse défendre que c'est la bonne présentation une fois qu'on a compris. Mais l'absence d'un pont correct (du moins pour moi : il a fallu que je le (re)construise) ne m'a pas paru une bonne chose.

tout fibré vectoriel n'est pas le fibré tangent

Certes. Mais on parlait d'espace vectoriel, pas du fibré tangent.

et moi ça m'a toujours paru éclairant...

A posteriori, à moi aussi. Ce qui n'est absolument pas contradictoire avec l'idée que cela puisse être source de confusion lors de l'apprentissage.

si on prend le système d'unités naturelles où la vitesse est adimensionnel, y'a aucun problème...

C'est du bottage en touche.

Si tu réponds ce genre de chose à un élève auquel tu essayes d'enseigner l'analyse dimensionnelle, tu détruis tout ce que tu auras pu faire passer avant.

Cordialement,

[invitea29d1598]

Certes. Mais on parlait d'espace vectoriel, pas du fibré tangent.

si, si : dans le truc cité par Thwarn c'est le fibré tangent dont il est question...

A posteriori, à moi aussi. Ce qui n'est absolument pas contradictoire avec l'idée que cela puisse être source de confusion lors de l'apprentissage.

c'est vrai mais j'aurais tendance à dire que si on t'explique un truc qui ne te semble pas au moins un peu confusant dès le départ c'est soi que tu es un génie, soit qu'on t'explique un truc que tu savais déjà et que tout le monde perd son temps

C'est du bottage en touche.

Si tu réponds ce genre de chose à un élève auquel tu essayes d'enseigner l'analyse dimensionnelle, tu détruis tout ce que tu auras pu faire passer avant.

le truc c'est que la notion de dimension physique n'a pas d'existence en soi, et ce n'est que dans le cadre d'une théorie choisie que l'on peut avoir un "choix naturel", mais même ce choix est souvent pas unique. Dans mon travail quotidien je fais comme si la RG était LA Théorie donc la vitesse est naturellement adimensionnée et artificiellement dimensionnée. Après, j'ose espérer que tu me connais assez pour savoir que ce n'est pas ce que j'aurais répondu à un étudiant auquel j'essaierai d'apprendre l'analyse dimensionnelle... à un tel étudiant j'aurais tout simplement dit "range tes bouquins de géo diff et retourne aux bases"

mais plus sérieusement, je ne vois aucun problème d'analyse dimensionnel car comme je l'ai rappelé plus haut :

- on peut donner la dimension qu'on veut aux coordonnées (distance, durée ou même adimensionnée), suffit de mettre des c

- on peut donner aux vitesses soit la dimension c, soit aucune dimension

en jouant avec des c, on peut donc parfaitement retrouver des vitesses dans le fibré tangent.

[invité576543]

- on peut donner la dimension qu'on veut aux coordonnées (distance, durée ou même adimensionnée), suffit de mettre des c

Ca suffit pas pour transformer une vitesse en une accélération.

Plus généralement, tu es en train de dire qu'on peut transformer toute grandeur de dimension X en une grandeur de dimension Y en multipliant la première par une constante bien choisie de dimension Y/X.

Je ne me permettrais pas de contredire une telle affirmation.

Cordialement,

[invitea29d1598]

Ca suffit pas pour transformer une vitesse en une accélération.

ai-je écrit une telle chose ? non.

Plus généralement, tu es en train de dire qu'on peut transformer toute grandeur de dimension X en une grandeur de dimension Y en multipliant la première par une constante bien choisie de dimension Y/X.

Je ne me permettrais pas de contredire une telle affirmation.

l'accélération est une grandeur dérivée. Si tu as clarifié le problème pour les distances, durées et vitesses, tout est réglé.

[invité576543]

ai-je écrit une telle chose ? non.

Ai-je écrit que tu l'avais écrit? non.


*** censure post-censure d'un autre post ***

[invité576543]

si, si : dans le truc cité par Thwarn c'est le fibré tangent dont il est question...

Sur ce point, je suis un peu perdu. De quel texte Thwarn parle-t-il précisément? Trop compliqué pour moi de chercher dans les messages récents de Rincevent un texte cité qui collerait. (Si cela se trouve, c'est un de ces textes inaccessibles sans payer, et donc que je zappe.)

Cordialement,

[invite60be3959]

Maintenant la base biduale (qu'on assimile à la base des vecteurs) est celle qui respecte . On vérifie immédiatement que les opérateurs dérivés directionnelles ont bien cette propriété : c'est donc bien la base biduale de l'espace vectoriel des opérateurs dérivés directionnelles qu'on assimile (par isomorphisme) avec les vecteurs.

Bonjour,

je ne vois pas pourquoi tu fais intervenir la base biduale pour expliquer la duale ?(c'est certainement possible, mais il y a plus simple non). Et la notation " " ne me semble pas claire non plus, n'aurais-tu pas fait une erreur de frappe ?

[invité576543]

je ne vois pas pourquoi tu fais intervenir la base biduale pour expliquer la duale ?(c'est certainement possible, mais il y a plus simple non).

Remplace 'base biduale' par 'base', cela revient au même, on assimile usuellement les deux.

Et la notation " " ne me semble pas claire non plus, n'aurais-tu pas fait une erreur de frappe ?

Tu as raison, il y a un x en trop



Cordialement,

[ClairEsprit]

l'accélération est une grandeur dérivée. Si tu as clarifié le problème pour les distances, durées et vitesses, tout est réglé.

Pourquoi la vitesse ne serait-elle pas non plus une grandeur dérivée ? (par "dérivée" j'ai compris dépendante d'autres grandeurs). Tu te places dans quel cadre pour dire ça ? La RG ?

[invitea29d1598]

Sur ce point, je suis un peu perdu. De quel texte Thwarn parle-t-il précisément?

ça n'a strictement aucune importance : l'extrait est self-consistant et parle de base naturelle associée à des coordonnées et de la base duale qui lui correspond : tu prends n'importe quel bouquin de géo diff au hasard et tu as plus de 90% de chances de tomber sur ça. Et la base naturelle associée à un système de coordonnées est par définition une base du fibré tangent.

Ai-je écrit que tu l'avais écrit? non.

dans ce cas je ne vois pas l'intérêt de dire un tel truc car il n'y a aucun problème d'analyse dimensionnelle avec l'accélération une fois qu'on a fixé son choix sur le reste (distance, durée et vitesse).

Je ne comprends pas ce que tu veux dire par là, comme réponse à une phrase disant que je n'allais pas te contredire, disant que j'étais d'accord avec toi.

L'allusion est 1) incompréhensible par moi (désolé) 2) peu à même de me plaire 3) je ne vois en quoi j'ai mérité cela

bah encore une fois je ne voyais pas l'intérêt de ta remarque et connaissant ton goût prononcé pour les dimensions physiques, j'en avais conclus (faussement peut-être, sorry poour ça) que c'était une affirmation (ironique ?) de ta part qui détournait (volotairement ?) mes propos pour leur faire dire plus que ce que j'avais dit...

Pourquoi la vitesse ne serait-elle pas non plus une grandeur dérivée ? (par "dérivée" j'ai compris dépendante d'autres grandeurs). Tu te places dans quel cadre pour dire ça ? La RG ?

je me place en relativité (cadre depuis la moitié de ce fil) et parle uniquement du point de vue dimensionnel. Une fois que tu as fait un choix d'unité pour tes longueurs, que tu as décidé si tu mesurais tes temps avec t ou avec "ct" et que tu as décidé si oui ou non tes quadrivitesses étaient dimensionnées, la liberté sur l'accélération devient minime (sauf erreur dans le décompte il t'en reste une selon la façon par laquelle tu as définis ta 4-vitesse : temps propre dimensionné ou pas).

[invité576543]

ça n'a strictement aucune importance : l'extrait est self-consistant et parle de base naturelle associée à des coordonnées et de la base duale qui lui correspond : tu prends n'importe quel bouquin de géo diff au hasard et tu as plus de 90% de chances de tomber sur ça. Et la base naturelle associée à un système de coordonnées est par définition une base du fibré tangent.

C'est un peu comme cela que j'avais pris la question de Thwarn, je n'avais pas donc pris la peine de chercher le texte d'origine.

Néanmoins, je continue à trouver que le passage 'espace vectoriel' à 'Le fibré tangent' mérite d'être développé. Dans le contexte du fil, il me semble qu'on parlait d'espace vectoriel.

Tu dis

tout fibré vectoriel n'est pas le fibré tangent

Bien d'accord. Mais parmi les fibrés vectoriels, il y en a des particuliers, ceux qui sont isomorphes au fibré tangent, au sens fort où on se permet de confondre les bases, d'utiliser les bases naturelles comme bases du fibré vectoriel.

Dans ma manière de voir (d'autodidacte qui cherche à comprendre les textes) le fibré vectoriel des vitesses est un tel espace isomorphe au fibré tangent. Ce n'est pas LE fibré tangent, mais ce n'est pas n'importe quel fibré vectoriel.

Je ne sais pas quel terme employer pour cette catégorie. 'un fibré vectoriel tangent'? Avec le mot 'tangent' pour indiquer l'isomorphisme en question?

[J'ai compris qu'on peut voir autrement, voir un seul fibré tangent, et mettre la différence entre vitesse et accélération (par exemple) dans les composantes. Je préfère voir autrement, parce que "mon goût profond pour les dimensions" n'est pas juste une lubie comme ton ironie voudrait le faire croire, mais vient de ce que je considère cela comme un garde-fou à des expressions sans sens, comme l'addition d'une vitesse et d'une accélération. Une sorte d'approche "typage fort" qui vient de ma formation. Je préfère donc voir les vitesses et les accélérations, par exemple, comme existant dans des espaces différents. Et plus généralement j'applique cela à des grandeurs de dimensions distinctes.]

Cordialement,

[invité576543]

j'en avais conclus (faussement peut-être, sorry poour ça) que c'était une affirmation (ironique ?) de ta part qui détournait (volotairement ?) mes propos pour leur faire dire plus que ce que j'avais dit...

Je me contentais, peut-être ironiquement, de dire que

- on peut donner la dimension qu'on veut aux coordonnées (distance, durée ou même adimensionnée), suffit de mettre des c

était un truisme, une application d'une règle générale sur la notion de dimension, dont je ne voyais pas ce qu'il apportait.

-----

Sur la notion de dimension, qui est un peu latérale dans ce fil, je serais intéressé par un développement (dans un autre fil?) de la remarque suivante:

le truc c'est que la notion de dimension physique n'a pas d'existence en soi, et ce n'est que dans le cadre d'une théorie choisie que l'on peut avoir un "choix naturel", mais même ce choix est souvent pas unique.

Je ne suis pas bien sûr de comprendre "existence en soi" dans le contexte. Et pour moi une théorie physique commence et finit par des mesures, ce qui rend le texte ci-dessus pas clair, au sens où je le comprendrais très bien s'appliquant à une théorie mathématique, mais je ne le comprends pas s'appliquant à une théorie physique.

Une possibilité est que tu fasse allusion à la possibilité de choisir librement la grandeur de ds dans ds²=dt²-dx² (et généralisations). Dans ma petite tête, je réconcilie cela avec le fait qu'on ne mesure jamais qu'une durée ou une distance, et qu'on sait ce qu'on mesure.

Cordialement,

[invitea29d1598]

C'est un peu comme cela que j'avais pris la question de Thwarn, je n'avais pas donc pris la peine de chercher le texte d'origine.

Néanmoins, je continue à trouver que le passage 'espace vectoriel' à 'Le fibré tangent' mérite d'être développé. Dans le contexte du fil, il me semble qu'on parlait d'espace vectoriel.

non. Comme je l'ai déjà dit, la question de Thwarn (et l'extrait qu'il cite) porte sur la base duale de celle qui est "naturelle" par rapport aux coordonnées. Il s'agit donc pas de n'importe quel espace vectoriel mais bien du tangent.

Bien d'accord. Mais parmi les fibrés vectoriels, il y en a des particuliers, ceux qui sont isomorphes au fibré tangent, au sens fort où on se permet de confondre les bases, d'utiliser les bases naturelles comme bases du fibré vectoriel.

certes, mais c'est le genre "d'abus" fait dans toute la physique, relativiste ou non, quantique ou pas.

Dans ma manière de voir (d'autodidacte qui cherche à comprendre les textes) le fibré vectoriel des vitesses est un tel espace isomorphe au fibré tangent. Ce n'est pas LE fibré tangent, mais ce n'est pas n'importe quel fibré vectoriel.

je suis évidemment d'accord

Je ne sais pas quel terme employer pour cette catégorie. 'un fibré vectoriel tangent'? Avec le mot 'tangent' pour indiquer l'isomorphisme en question?

à ma connaissance il n'y a pas de terme officiel en "physique" car c'est une question de seconde importance et j'aurais tendance à dire qu'un matheux gardera le terme isomorphe.

[J'ai compris qu'on peut voir autrement, voir un seul fibré tangent, et mettre la différence entre vitesse et accélération (par exemple) dans les composantes.

je comprends pas ce que tu veux dire

Je préfère voir autrement, parce que "mon goût profond pour les dimensions" n'est pas juste une lubie comme ton ironie voudrait le faire croire

nulle ironie

mais vient de ce que je considère cela comme un garde-fou à des expressions sans sens, comme l'addition d'une vitesse et d'une accélération. Une sorte d'approche "typage fort" qui vient de ma formation. Je préfère donc voir les vitesses et les accélérations, par exemple, comme existant dans des espaces différents. Et plus généralement j'applique cela à des grandeurs de dimensions distinctes.]

c'est respectable, mais comme toute approche, faut pas tomber dans l'extrémisme si tu veux avancer. Et de plus la vision "moderne" de la physique va plutôt dans le sens de la géométrisation et la diminution du nombre de grandeurs "dimensionnées".

Je me contentais, peut-être ironiquement, de dire que



était un truisme, une application d'une règle générale sur la notion de dimension, dont je ne voyais pas ce qu'il apportait.

donc il y avait bien ironie de ta part... pourtant ce n'est pas une règle générale car ici cela fait jouer un rôle clef à la constante c en disant tout simplement que "naturellement" elle est adimensionnée et vaut 1. Ce n'est que pour raison historique et anthropomorphique que les dimensions physiques de l'espace et du temps sont différentes (je sais que tu ne seras pas d'accord, on a déjà eu cette discussion mais mon point de vue sur ça ne bouge pas d'un iota : la relativité est une théorie géométrique et si on la prend au sérieux espace et temps sont identiques par leur dimension physique même si différents types de direction existent dans l'espace-temps).

Sur la notion de dimension, qui est un peu latérale dans ce fil, je serais intéressé par un développement (dans un autre fil?) de la remarque suivante:



Je ne suis pas bien sûr de comprendre "existence en soi" dans le contexte. Et pour moi une théorie physique commence et finit par des mesures, ce qui rend le texte ci-dessus pas clair, au sens où je le comprendrais très bien s'appliquant à une théorie mathématique, mais je ne le comprends pas s'appliquant à une théorie physique.

la physique ne se résume pas à des théories et prend aussi en compte des besoins concrets. Si tu analyses les dimensions "fondamentalement utiles", tu verras que l'on peut se passer de pas mal d'unités "usuelles" en mettant des constantes à 1 et en autorisant des "puissances fractionnelles" des unités "mécaniques" pour exprimer des grandeurs électriques (par exemple). Si on ne le fait pas (en tous cas dans le système SI), c'est uniquement par anthropomophisme.

Une possibilité est que tu fasse allusion à la possibilité de choisir librement la grandeur de ds dans ds²=dt²-dx² (et généralisations). Dans ma petite tête, je réconcilie cela avec le fait qu'on ne mesure jamais qu'une durée ou une distance, et qu'on sait ce qu'on mesure.

on ne mesure jamais de durée ou de longueur : on ne "mesure" que des nombres adimensionnés, des rapports.

[invité576543]

Si tu analyses les dimensions "fondamentalement utiles", tu verras que l'on peut se passer de pas mal d'unités "usuelles" (...) en autorisant des "puissances fractionnelles" des unités "mécaniques" pour exprimer des grandeurs électriques (par exemple).

Ce ne sont pas les étiquettes que je trouve importantes en dimensionnelle, c'est de pouvoir dire la distinction X est différente de Y. Utiliser les puissances fractionnaires est une manière de distinguer des dimensions. Je ne suis pas sûr que cela couvre tous le cas, mais ça en couvre certainement certains.

Si on ne le fait pas (en tous cas dans le système SI), c'est uniquement par anthropomophisme.

Pas vraiment d'accord sur "uniquement" (et en prenant en compte l'usage dévié du mot "anthropomorphisme"). Matière d'opinion, pas de raison d'en discuter. La tienne me semble "extrémiste", pour utiliser un terme de ton message.

on ne mesure jamais de durée ou de longueur : on ne "mesure" que des nombres adimensionnés, des rapports.

Pas d'accord. Je fais la distinction entre le nombre et la mesure. Dans ma manière de voir, dans "1.05 m", "1.05 est adimensionné (c'est le rapport dont tu parles), c'est le nombre lu, mais la mesure c'est "1.05 m", dimensionnée, elle a une signification au-delà du simple nombre, signification qui est donné par le protocole de mesure utilisé, et portée symboliquement par l'unité, et conceptuellement par la dimension.

Ce genre de chose me semble évident dans les cas dénombrables. "6 pommes" (la mesure de ce que j'achète au marchand) ne peut pas être vu comme adimensionné, comme n'ayant aucune signification au-delà d'un rapport, cette valeur 6. Je ne vois pas l'intérêt de se passer de cette sémantique dans la notion de mesure en physique, RG comprise. (Et pour moi, "6 pommes" a pour dimension "pomme", comme "3 électrons" a pour dimension "électron".)

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Sinon, plus généralement, dans ce genre de discussion, il me semble que les différentes vues sont complémentaires, bien plus qu'opposées. En physique (comme dans bien d'autres cas), j'ai besoin de plusieurs éclairages sur le même concept, que je cherche à fédérer plutôt qu'à opposer.

Dans beaucoup de tes remarques (et toutes celles en relation avec les dimensions en particulier), je ne vois pas trop l'intérêt que j'aurais à rejeter ma manière de voir (et il m'arrive de changer ma manière de voir, quand les arguments passent, si, si). La manière de voir que tu présentes m'intéresse aussi, en général je l'incorpore dans mon "modèle", mais pas nécessairement en rejetant les autres.

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Cela éloigne du sujet, j'arrête sur cette ligne.

Cordialement,

[invité576543]

J
Par exemple, quel est l'avantage de savoi que le flux est une 2-forme, tandis que la densité de charge est une 3-formes?

Pour relancer une autre déviation du sujet, il me semble qu'on peut développer la réponse à cette question.

En fait, je ne vois pas trop en quoi ne pas distinguer entre 2-formes et 3-formes pourrait être autre chose que dangereux!

Une 3-forme est quelque chose qu'on intègre sur un volume pour obtenir un scalaire. (C'est une densité volumique.)

Une 2-forme est quelque chose qu'on intègre sur une surface pour obtenir un scalaire. (C'est une densité surfacique.)

Il y a autant d'avantages à distinguer entre 2-formes et 3-formes qu'à distinguer entre surface et volume, non?

Ensuite, un flux c'est encore autre chose, et c'est peut-être là que réside vraiment la question. Un flux, c'est une densité de passage par unité de temps et unité de surface. Et c'est donc une 3-forme quand on regarde en 4D.

Cela permet de comprendre pourquoi le flux et la densité se regroupent en une seule 3-forme covariante en 4D : ce sont tous des 3-formes, et la distinction entre la partie densité et la partie flux dépend du référentiel.

Pour moi l'approche par les formes a été très éclairante pour comprendre ce que j'appelle la "physique comptable", compter ce qui rentre et ce qui sort, et ce qui reste, et ce magnifique théorème de comptable qui dit que "la variation du stock est égal à la somme de tous les flux entrants et sortants" (le théorème de Stokes ).

La vision vectorielle ne donne pas une vision aussi simple. Le produit scalaire du "vecteur flux" et du "vecteur normal à la surface" est totalement artificiel, non nécessaire : la 2-forme s'intègre normalement sur la surface orientée, par définition d'une 2-forme.

[Au passage, un point important pour moi de la distinction entre vecteurs et formes, entre "vecteurs flux" et 2-formes, entre "scalaire densité" et 3-formes, a été la clarification des usages multiples du terme "produit scalaire". Le cas "vecteur flux"par "vecteur normal à la surface" est un cas assez tordu à bien regarder, et mérite d'être décortiqué (et amène à bien comprendre la dualité de Hodge)!]

Cordialement,

[invitea29d1598]

Ce ne sont pas les étiquettes que je trouve importantes en dimensionnelle, c'est de pouvoir dire la distinction X est différente de Y.

mais justement : cesser de faire la distinction (et donc "unifier" comme on dit généralement) apporte souvent beaucoup plus du point de vue conceptuel/fondamental.

Pas vraiment d'accord sur "uniquement" (et en prenant en compte l'usage dévié du mot "anthropomorphisme"). Matière d'opinion, pas de raison d'en discuter. La tienne me semble "extrémiste", pour utiliser un terme de ton message.

du point de vue théorique les choses seraient bien plus simples si on avait pas 50 unités différentes. C'est pas pour rien que les théoriciens bossent avec des choses adimensionnées dès que possible. Pour moi y'a donc 3 choix :

- une vision extrémale dans laquelle on minimise le nombre de grandeurs dimensionnées (c'est dans ce sens que va l'approche géométrique de la physique moderne)

- une vision "open minded extrémale" dans laquelle on différencie tout ce qu'on peut (et même plus si affinité) : dans ce cadre il faut même faire la différence entre chaleur et travail mécanique du point de vue dimension

- une vision mixte qui utilise des unifications (mais pas trop) pour simplifier la théorie ou les choses pragmatiques mais du coup ne peut pas prétendre à une propreté mathématique "absolue" car elle est batarde

perso je place la plupart de mon discours dans le premier cadre dès qu'on discute de "choses fondamentales". Mais en vérité je suis schizophrène donc peux très bien défendre chacune de ces approches suivant la question posée, le contexte, la personne qui la pose...

Pas d'accord. Je fais la distinction entre le nombre et la mesure. Dans ma manière de voir, dans "1.05 m", "1.05 est adimensionné (c'est le rapport dont tu parles), c'est le nombre lu, mais la mesure c'est "1.05 m", dimensionnée, elle a une signification au-delà du simple nombre, signification qui est donné par le protocole de mesure utilisé, et portée symboliquement par l'unité, et conceptuellement par la dimension.

je vois pas ce que tu veux dire. Pour moi une mesure, c'est ce qu'on lit. Le truc derrière (ton 1.05 m donc), c'est une reconstruction théorique qui n'a de sens que dans un cadre précis bien défini et qui n'est pas donc quelque chose que l'on mesure mais une traduction pratique (et d'une certaine façon simpliste) de La Mesure.

Ce genre de chose me semble évident dans les cas dénombrables. "6 pommes" (la mesure de ce que j'achète au marchand) ne peut pas être vu comme adimensionné, comme n'ayant aucune signification au-delà d'un rapport, cette valeur 6. Je ne vois pas l'intérêt de se passer de cette sémantique dans la notion de mesure en physique, RG comprise. (Et pour moi, "6 pommes" a pour dimension "pomme", comme "3 électrons" a pour dimension "électron".)

c'est bien pour ça qu'on ne dira jamais qu'on "mesure" un nombre de pommes. On les compte.

Sinon, plus généralement, dans ce genre de discussion, il me semble que les différentes vues sont complémentaires, bien plus qu'opposées. En physique (comme dans bien d'autres cas), j'ai besoin de plusieurs éclairages sur le même concept, que je cherche à fédérer plutôt qu'à opposer.

je suis bien d'accord avec ça. Reste que si on se place dans un cadre théorique bien fixé (ce qui ne veut pas dire qu'il en existe un qui soit mieux, jusqu'à preuve du contraire), alors certaines approches sont inutilement compliquées. Et mettre des dimensions physiques où c'est pas nécéssaire dans le cadre d'une théorie géométrique est inutilement compliqué (sauf si on bosse pas sur la physique mais sur une de ses applications)

Dans beaucoup de tes remarques (et toutes celles en relation avec les dimensions en particulier), je ne vois pas trop l'intérêt que j'aurais à rejeter ma manière de voir (et il m'arrive de changer ma manière de voir, quand les arguments passent, si, si). La manière de voir que tu présentes m'intéresse aussi, en général je l'incorpore dans mon "modèle", mais pas nécessairement en rejetant les autres.

je n'ai jamais dit qu'il fallait rejeter ta façon de voir. C'est juste que j'essaie d'en voir l'intérêt et je n'en vois aucun en pratique.

[invité576543]

mais justement : cesser de faire la distinction (et donc "unifier" comme on dit généralement) apporte souvent beaucoup plus du point de vue conceptuel/fondamental.

Tu connais un cas où on a cessé de faire la distinction?

Le "plus" conceptuel est obtenu en prenant à la fois la vue avec distinction et la vue unifiée, pas en troquant la première pour la seconde. Prendre les deux à la fois est nécessairement plus riche que prendre une seule d'entre elle (disons sauf si l'une est rédhibitoirement fausse).

je vois pas ce que tu veux dire.

Ah!

c'est bien pour ça qu'on ne dira jamais qu'on "mesure" un nombre de pommes. On les compte.

Je ne vois pas la distinction continu/discret comme pertinente sur le sujet des dimensions. J'ai pris un cas discret parce que les cas continus dans la vie courante sont en général ramenables à la physique. Mais j'aurais pû prendre un exemple monétaire (mais tu peux argüer finement qu'on compte des centimes...)

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(sauf si on bosse pas sur la physique mais sur une de ses applications)

à comparer avec

je n'ai jamais dit qu'il fallait rejeter ta façon de voir. C'est juste que j'essaie d'en voir l'intérêt et je n'en vois aucun en pratique.

Cordialement,