Quantique / Interprétation coefficients hamiltonien

[invitebdd94213]

Bonjour à tous,

J'étudie un peu la mécanique quantique pour m'amuser, mais je bloque sur l'interprétation physique des coefficients de la matrice d'un hamiltonien

Voici le contexte :
Dans un exercice où il faut étudier la stabilité de la forme linéaire de H3, on annonce que l'on fait l'approximation dite des liaisons fortes.
Approximation qui consiste à considérer des états de transitions entre atomes plus proches voisins.

Molécule :

H H H
*-*-*
1 2 3

On nous donne alors la matrice de l'hamiltonien H:

a b 0
b a b
0 b a

avec a = -13,6 eV et b<0

Mais là je ne comprend pas.
Je n'arrive pas à interpréter physiquement la forme de cette matrice et ses coefficients.

Je comprends qu'un électron de la molécule peut prendre 3 états |1>,|2>,|3> correspondant à la position de l'électron sur l'un des atomes.

Et que dans la base orthonormée {|i>} on a :
H|1> = a|1> + b|2>
H|2> = b|1> + a|2> + b|3>
H|3> = b|2> + a|3>

Mes questions sont les suivantes :
- A quoi correspondent les coefficients de la matrice de l'hamiltonien H ?
- Quel est le rapport entre ces coefficient et les amplitudes de probabilité pour passer d'un état |i> à un autre |j>?
- Comment sont choisies les valeurs numériques de a et b ? (pourquoi a=-13,6 eV ?)

Merci d'avance.
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[inviteb836950d]

Bonjour

en fait tu cherches une solution pour un électron de type :


ou les sont les orbitales 1s des atomes d'hydrogène.

On doit donc résoudre :


donc :

ou :


si tu multiplies à gauche par et que tu intègres pour obtenir les éléments de matrice de type : ça te fait :

puisque
Il te reste à recommencer en multipliant par et

et tu obtiens donc 3 équations :




les sont assimilables en première approximation à l'énergie d'un électron dans une orbitale 1s d'un atome d'hydrogène, c'est donc la valeur "a" de ta matrice et cette énergie est égale à -13.6 ev.
traduit la stabilisation quand les atomes interagissent. En première approximation on considère que seulement deux atomes adjacents vont interagir d'où : et

voila l'origine de tes éléments de matrice

le système des 3 équations ci-dessus n'aura de solutions non triviale que si le déterminant du système est nul :



Voila, tu résous, tu obtiens 3 énergies que tu reportes dans les 3 équations avec les coef pour les déterminer.

[invitedbd9bdc3]

- Quel est le rapport entre ces coefficient et les amplitudes de probabilité pour passer d'un état |i> à un autre |j>?

Si a un instant t, la fonction d'onde vaut |psi(t)>=|1>, à l'instant t+dt, |psi(t+dt)> = |1> + idtH|1> (joublie les hbar).
Donc la probabilité d'etre dans |2> a l'instant t+dt vaut
|<2|H|1>dt|²=b²dt².
Donc tu vois que b est relier aux taux de transition entre l'etat 1 et l'etat 2.

[invitebdd94213]

Salut

Un grand merci pour vos 2 réponses ! Ca m'aide beaucoup.
A bientôt.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe61cb8a]

Si a un instant t, la fonction d'onde vaut |psi(t)>=|1>, à l'instant t+dt, |psi(t+dt)> = |1> + idtH|1> (joublie les hbar).
Donc la probabilité d'etre dans |2> a l'instant t+dt vaut
|<2|H|1>dt|²=b²dt².
Donc tu vois que b est relier aux taux de transition entre l'etat 1 et l'etat 2.


Bonjour,
Je pense plutôt que la probabilité que la fonction d'onde soit dans un des trois états est donnée par les coefficients de la combinaison linéaire. Dans le cas de c'est . le système au début étant une superposition des trois états et l'état final étant l'état |2> on a:
qui donne la probabilité , si l'on suppose que les trois orbitales sont orthonormées. Les coefficients b et a sont indépendants de la probabilité d'être dans un état ou l'autre car leur calcul ( par exemple) ne fait pas intervenir les coefficients qui traduisent la probabilité que le système soit dans état donné.
( définit l'énergie d'interaction entre l'orbital et l'orbital .