Mécanique quantique : matrice d'un Hamiltonien

[julien_4230]

Bonjour tout le monde, comment allez-vous ? Moi je vais bien merci, j'ai bien dormi et maintenant il faut travailler !! Je n'ai pas le temps de faire les courses, ni celui de passer chez le pressing. Je laisse tout ça à ma maman

Bref, on considère une molécule en forme de carré, dont chaque sommet représente un atome. Chaque atome est donc lié à deux autres atomes. On considère aussi un électron qui se balade sur le carré.
Soient |1>,|2>,|3>,|4> les états quantiques de cet électron, correspondant respectivement à la position de l'électron sur l'atome 1,2,3,4 (atomes ainsi numérotés dans le sens des aiguilles d'une montre, 1 étant en haut à gauche).

Soit l'opérateur Hamiltonien vérifiant :

H|1>=|2>+|4>
H|2>=|1>+|3>
H|3>=|2>+|4>
H|4>=|1>+|3>

La matrice 4*4 de H dans la base orthonormée {|i>,i={1,2,3,4}} est donc : [H]=
0101
1010
0101
1010

Justifier la forme de la matrice de H.

J'aimerais dire que lorsqu'on mesure l'énergie de l'életron, celui-ci peut se retrouver dans les 2 plus proches voisins, ce qui témoigne d'une certaine probabilité à aller soit vers l'un soit vers l'autre. De plus, les coefficients sont égaux (H|1>=1|2>+1|4>) : l'électron a autant de chances d'aller vers l'un ou vers l'autre.

Est-ce exact ? Que diriez-vous ? Merci beaucoup !!!
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[mariposa]

Bonjour tout le monde, comment allez-vous ? Moi je vais bien merci, j'ai bien dormi et maintenant il faut travailler !! Je n'ai pas le temps de faire les courses, ni celui de passer chez le pressing. Je laisse tout ça à ma maman

Bref, on considère une molécule en forme de carré, dont chaque sommet représente un atome. Chaque atome est donc lié à deux autres atomes. On considère aussi un électron qui se balade sur le carré.
Soient |1>,|2>,|3>,|4> les états quantiques de cet électron, correspondant respectivement à la position de l'électron sur l'atome 1,2,3,4 (atomes ainsi numérotés dans le sens des aiguilles d'une montre, 1 étant en haut à gauche).

Soit l'opérateur Hamiltonien vérifiant :

H|1>=|2>+|4>
H|2>=|1>+|3>
H|3>=|2>+|4>
H|4>=|1>+|3>

La matrice 4*4 de H dans la base orthonormée {|i>,i={1,2,3,4}} est donc : [H]=
0101
1010
0101
1010

Justifier la forme de la matrice de H.

J'aimerais dire que lorsqu'on mesure l'énergie de l'életron, celui-ci peut se retrouver dans les 2 plus proches voisins, ce qui témoigne d'une certaine probabilité à aller soit vers l'un soit vers l'autre. De plus, les coefficients sont égaux (H|1>=1|2>+1|4>) : l'électron a autant de chances d'aller vers l'un ou vers l'autre.

Est-ce exact ? Que diriez-vous ? Merci beaucoup !!!

Bonjour,
;
Ta réponse est pas mal mais maladroite.(Il est inutile d'invoquer la mesure).

Cela veut dire que si l'électron est à un instant donné en |1> il y a une amplitude probabilité égale d'aller sur ces 2 premiers voisins. Et même chose par permutation circulaire. Donc ta réponse est juste.
.
En complément il aurait fallu dire que l'électron partant de |1> peut aller en |3>, mais pas directement. Il faut passer par 2 ou par 4

Donc l'amplitude de probabilité|1> vers |3>

est:........?

a toi de travailler.

Question importante? Pourquoi ai-je parler d'amplitude de probabilité et non pas de probabilité tout court?

[julien_4230]

Amplitude de probabilité... Tiens, nous n'avons guère évoqué cette notion en cours. Parfait, parlons-en !
En fait, parler de probabilité est un peu forcé, car, dans H|1>=|2>+|4> par exemple, H|1> ne s'agit pas directement d'un état quantique de l'électron, mais de sa mesure par H.
Ensuite, si l'electron, étant en |1>, devait atteindre |3>, il peut passer soit par |2> soit par |4>, donc, d'après H|1>=|2>+|4>, l'amplitude de probabilité pour aller à |3> est 0.
Donc l'amplitude de probabilité représenterait les chances que l'électron atteingne les états, ce serait les probabilités sans leurs vraies valeurs, des "estimations" en concordance avec les vraies valeurs,
ie ce serait les proportions de probabilités entre elles.

[invite54165721]

Bonjour
les probabilités sont des choses positives ou nulles qui s'ajoutent
les amplitudes de transition sont des nombres complexes qui s'ajoutent donnant ainsi un nombre z tel que z * zbar a le caractere d'une probabilité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Amplitude de probabilité... Tiens, nous n'avons guère évoqué cette notion en cours. Parfait, parlons-en !

.
Je crains que tu n'as pas bien écouté ton prof, car je doute qu'il n'ait pas parler d'amplitude de probabilité et de probabilité qui sont 2 notions qui sont différentes mais liées. En effet le concept d'amplitude de probabilité est central en MQ. Si toutefois ton prof ne parle pas d'amplitude de probabilité mieux vaut qu'il se reconvertisse à enseigner la mécanique....automobile.
.
Pour attirer ton attention:

Une probabilité c'est toujours un nombre réel positif.

Une amplitude de probabilité c'est un nombre complexe style a + i.b où a et b sont des nombres réels positifs ou négatifs.

.
A partir de cela tu as le moyen avec un livre de MQ de voir quel est le rapport.

En espérant que tu nous rapporte la réponse bientôt.

[julien_4230]

Wikipedia donne la définition d'une fonction Psy(r) de IR dans C telle que |Psy(r)|d3r représente la probabilité de trouver la particuler entre r et r+d3r. Mais c'est la fontion d'onde, ça... Le professeur n'a absolument pas employé de terme de "amplitude de probabilité", mais y a-t-il une différence entre la fonction d'onde en l'amplitude de probabilité ?

Autre question : si tel est le cas, je ne vois aps le rapport entre l'amplitude de probabilité et H|1>=|2>+|4>. Merci beaucoup !

[invite54165721]

amplitude, foncrion d'onde c'est pareil
Regarde bien http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_d'onde
la probabilité c'est autre chose: le carré de la norme de ce nombre complexe.
Dans l'exemple les deux amplitudes sont egales d ou egalité pour les probabilites.

[julien_4230]

mais les ket |2> et |4> n'ont pas la même fonction d'onde, car ces deux ket sont différents...

[invite5e5dd00d]

Ce n'est parce que ce sont deux kets différents qu'ils n'ont pas la même norme au carré, donc la même probabilité.
Ici, leur norme est égale donc la probabilité est égale.
Exemple : dans R², les vecteurs (0,1) et (1,0) sont différents, pourtant leurs normes au carré sont égales (ici égales à 1).