hamiltonien d'un e- dans des champs E et B croisés

[invited9d78a37]

bonjour
je vous décris mon problème:
Je suis en coordonnés cartésiennes
J'ai les champs et
je met un électron ( de charge q et de masse m) dans cette configuration.
On a donc

J'integre les équations , ca donne:




avec





on a donc un mouvement de giration à la pulsation cyclotron
et un mouvement de translation uniforme de vitesse -Vd (vitesse de dérive)

Le mouvement est une cycloïde.

Maintenant passons aux choses sérieuses
L'hamiltonien s'écrit


mais je bloque pour trouver les deux actions/angles. Je pense qu'il faut que je trouve quelque chose du genre:

avec le premier terme relatif au mouvement cyclotron et je suppose que
l'autre terme doit être du à la translation peut être quelque chose du genre:


je suis novice en méca analytique et je ne trouve pas comment faire pour retrouver les angles et actions . J'ai essayé des changements de variables (du genre Py=py+Vd) mais je n'arrive pas à m'en tirer...)
donc si vous avez une idée...
merci d'avance
-----

[invitedbd9bdc3]

Salut,

en fait, je comprends pas trop ce que tu cherches... Si tu as ton hamiltonien, tu as directement les equations du mouvement.
Tu cherches un changement de variable canonique pour qu'il s'exprime plus simplement?
Si c'est le cas, tu pourrais peut etre essayer x=r cos(O) et y= r sin (O) avec r et O deux nouvelles variables. Il faut ensuite trouver leurs moment conjugué dans le Lagrangien, puis passer au hamiltonien. Mais je suis pas sur que ça soit le bon changement... ni la bonne methode
Je vais essayer de regarder ça plus tard

[invited9d78a37]

ba pour l'instant, je suis dans le meilleur des mondes possibles (à quelques choses près) , mon système est intégrable itou itou mais je dois en plus rajouter un champ Electrique variable en ey. Et là, ça rigole plus!!
Il n'est plus intégrable, il y a des phénomènes de résonance entre l'e- et l'onde..etc
donc je voudrais utiliser la méthode des perturbations pour de faibles amplitudes du champ perturbateur pour avoir un petit bout d'analytique dans ma démarche.
Mais avant ca, il faut que je mette mon Hamiltonien non perturbé sous la forme angle-action (après s'il y a d'autres méthodes, je prend!).
Ca me sert aussi à tracer une section de Poincare!
tout un programme!

[invitedbd9bdc3]

ok, j'avais rien compris
J'ai regarde sur wiki ton histoire d'angle-action (j'avais jamais entendu parle), ca m'a pas beaucoup avance... Faut dire que les machins mathematique sans exemple, ca m'a jamais beaucoup servi...
Bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited9d78a37]

alors je ne peux que te conseiller ce livre
http://livres.edpsciences.org/ouvrag...=2-86883-584-8
niveau pédagogie, c'est vraiment bien et ca ne s'enfouie pas dans les maths (j'y ai même trouvé l'explication du théorme de KAM accessible à ma motorisation cérebrale).

[invited9d78a37]

bon vu que j'ai du mal avec la méca analytique, je vais rusé en méca newtonienne. je vais ne pas m'attaquer de front à l'hamiltonien:

si on reprend les équations du mouvement:

on a:



qui projeté donne:



si je me met dans le repère dérivant à la vitesse -Vd (je precise qu'on est pas dans un cadre relativiste)
je fais le changement de variable
et

on alors




on a au final



tout ce passe comme si mon e- n'était soumis qu'à un champ B et dans ce cas je sais résoudre l'action et l'angle grâce à une fonction génératrice connue. D'ailleurs c'est bien une fonction génératrice ... que je cherchais mais faute de. ENfin bon si Newton peut donner un coup de pousse à Hamilton

[invite93279690]

bon vu que j'ai du mal avec la méca analytique, je vais rusé en méca newtonienne. je vais ne pas m'attaquer de front à l'hamiltonien:

si on reprend les équations du mouvement:

on a:



qui projeté donne:



si je me met dans le repère dérivant à la vitesse -Vd (je precise qu'on est pas dans un cadre relativiste)
je fais le changement de variable
et

on alors




on a au final



tout ce passe comme si mon e- n'était soumis qu'à un champ B et dans ce cas je sais résoudre l'action et l'angle grâce à une fonction génératrice connue. D'ailleurs c'est bien une fonction génératrice ... que je cherchais mais faute de. ENfin bon si Newton peut donner un coup de pousse à Hamilton

Salut,

Le calcul me parait correct mais il y a quelque chose qui me gène..
Si mes souvenirs sont bons est un invariant relativiste par changement de ref. Du coup le signe de cet invariant impose le seul champ qu'on peut voir via un changement de référentiel lorsqu'on essaie d'en élmiminer l'un des deux.
Ton calcul, pourtant général, suggère que B reste tout le temps quelle que soit l'amplitude de E, et je trouve ça bizarre...

[invite93279690]

Je relance un peu ce fil parce qu'il y a un truc que je ne comprends pas bien (explicité dans ma dernière question) et à laquelle je ne trouve pas de réponse certaine..

[invited9d78a37]

bonjour
je me suis largement inspiré d'une thèse pour effectuer ce changement de repère ( sacrée caution scientifique ).
Plus sérieusement, mes champs ici, sont statiques donc je ne sais pas si cet invariant doit être obligatoirement respecté?
J'aurais du le préciser, mais il n'y a pas d'onde électromagnetique, on a un champ electrique constant et uniforme selon ex et de même pour le champ magnétique selon ez.
vu que je ne connais pas grand chose en RR, je ne peux t'aider sur cette question.

[invited9d78a37]

re
donc j'ai tiré de ce site:
http://www.phys.ens.fr/cours/notes-d...relativite.pdf
page 64/76
pour u<<c



donc avec
on élimine donc le champ E' et pour B'

si on reprend l'invariant, cad:
, on a alors
, on a finalement:

mais ce résultat semble encore plus bizzare, avis aux connaisseurs

[invite93279690]

bonjour
je me suis largement inspiré d'une thèse pour effectuer ce changement de repère ( sacrée caution scientifique ).
Plus sérieusement, mes champs ici, sont statiques donc je ne sais pas si cet invariant doit être obligatoirement respecté?
J'aurais du le préciser, mais il n'y a pas d'onde électromagnetique, on a un champ electrique constant et uniforme selon ex et de même pour le champ magnétique selon ez.
vu que je ne connais pas grand chose en RR, je ne peux t'aider sur cette question.

En fait cet invariant est censé être toujours vrai (il me semble). Il faut juste que j'ai le courage de me tapper le calcul en RR pour comprendre là où j'estime qu'il y a un problème.

[invited9d78a37]

pourtant le calcul du message 10 me conforte dans mon changement de variables?

[invite93279690]

pourtant le calcul du message 10 me conforte dans mon changement de variables?

Je ne dis pas qu'il est faux (je dis d'ailleurs que la calcul est juste) mais qu'il doit y avoir un truc en plus en réalité. Je peux me tromper et justement j'y réfléchis.

[invite93279690]

Je ne dis pas qu'il est faux (je dis d'ailleurs que la calcul est juste) mais qu'il doit y avoir un truc en plus en réalité. Je peux me tromper et justement j'y réfléchis.

En fait pas besoin de se prendre la tête la réponse est très simple. Si on pose
alors ça implique demblé que

et du coup
et donc il existe bel et bien un ref pour lequel on ne peut avoir que le champ B (i.e. champ electrique nul). Par contre si alors un tel référentiel n'existe pas.

[invited9d78a37]

tout est bien qui finit bien
je te remercie