Fokker-Planck

[invite0f14df6d]

Bonjour,

Je suis étudiant en mathématique et je travaille sur l'équation de Vlasov-Fokker-Planck ; je m'intéresse à sa signification physique.



où



est un terme d'accélération.

Plus particulièrement c'est le terme présent dans cette équation qui m'intrigue.

J'ai vaguement réussi à dériver l'équation (en partant d'un système discret de particules, et en faisant tendre ce nombre vers l'infini), mais pour cela j'ai eu besoin des trajectoires suivantes pour les particules :





où est un Brownien (bon les équations précédentes sont imprécises vu que les termes dérivés ne sont pas dérivables usuellement, mais passons).

Autrement dit : le Brownien est rajouté à la vitesse de la particule, pas à sa position ; c'est donc sa vitesse qui se "diffuse", et pas sa position.

Physiquement, quelle hypothèse cela traduit-il ?

Pourquoi n'a-t-on pas juste de la diffusion en position ?

Est-ce que cela veut dire que je me suis trompé lors du passage

discret --> continu ?

Ou alors il y a une justification physique qui légitime l'aléa sur la vitesse, plutôt que sur la position ?

Merci de toute aide.

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Ayman
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[invite0fb72cf8]

Pourquoi n'a-t-on pas juste de la diffusion en position ?

A cause du terme d'accélération. En gros, si tu n'as pas de terme d'accélération, tu peux vérifier que ta particule fait un bête mouvement brownien, et que dans la limite du continu, ça te donne l'équation de diffusion usuelle (au passage, il me semble qu'il manque un facteur 1/2).

Vu qu'ici, il y a un terme d'accélération, tu sais que la vitesse moyenne locale des particule sera non nulle, et que ça va créer des effets d'entrainement. D'où le terme avec le gradient de x. (c'est un terme très courant, qu'on retrouve souvent dans des équations d'hydrodynamique). En plus ce cela, tu dois tenir compte du fait que tes particules sont accélérées, et c'est pour cela que vient le terme avec le gradient de v.

Ou alors il y a une justification physique qui légitime l'aléa sur la vitesse, plutôt que sur la position ?

L'idée, ce n'est pas tellement d'avoir un aléa sur la vitesse, mais plus sur l'accélération. La loi F = ma te dit que, une fois que tu connais les forces s'exerçant sur le système, tu trouves l'accélération, puis la vitesse et la position en intégrant. Ce que l'équation de Fokker-Plank essaie de modéliser, c'est une force qui a une valeur moyenne qui évolue de façon déterministe, mais avec une fluctuation autour de cette valeur moyenne, qui est donnée par un bruit blanc (ou processus de Wiener). Cette fluctuation peut modéliser pleins de choses différentes:
- on peut dire qu'on remplace les interactions avec les autres particules par ce bruit blanc. Dans ce cas, ton bruit blanc servira à modéliser les collisions avec les autres particules qui sont soumises à une certaine agitation thermique.
- on peut supposer que c'est sensé expliquer des petites fluctuations du champ de pesanteur
- etc...

A+

Ising

[invite0f14df6d]

A cause du terme d'accélération. En gros, si tu n'as pas de terme d'accélération, tu peux vérifier que ta particule fait un bête mouvement brownien, et que dans la limite du continu, ça te donne l'équation de diffusion usuelle (au passage, il me semble qu'il manque un facteur 1/2).
Ising

Disons que je me demandais plutôt pourquoi il n'y avait pas terme en ? Même si dans l'équation précédente l'accélération est prise égale à 0, un tel terme n'apparaît pas.

Ce que l'équation de Fokker-Plank essaie de modéliser, c'est une force qui a une valeur moyenne qui évolue de façon déterministe, mais avec une fluctuation autour de cette valeur moyenne, qui est donnée par un bruit blanc (ou processus de Wiener). Cette fluctuation peut modéliser pleins de choses différentes:
- on peut dire qu'on remplace les interactions avec les autres particules par ce bruit blanc. Dans ce cas, ton bruit blanc servira à modéliser les collisions avec les autres particules qui sont soumises à une certaine agitation thermique.
- on peut supposer que c'est sensé expliquer des petites fluctuations du champ de pesanteur
Ising

D'accord. En réalité, il pourrait être tout aussi pertinent de dire que c'est la position de la particule qui fluctue (de fait, c'est le cas, c'est une conséquence de la flucutation de l'accélération), mais cela fait apparaître le Brownien de manière moins directe qu'en allant précisément à la source de l'aléa (qui est l'agitation thermique ou autre).

Reste que dans mon analyse, je rajoute un Brownien à la vitesse des particules .. pas à leur accélération. Je vais y re-réfléchir. Merci en tous les cas.

A +

--
Ayman

[invite0fb72cf8]

Reste que dans mon analyse, je rajoute un Brownien à la vitesse des particules .. pas à leur accélération. Je vais y re-réfléchir. Merci en tous les cas.

Ce qui est intéressant, c'est la quantité sur laquelle tu vas rajouter ton bruit blanc. Et ici, si tu écrit ton équadiff stochastique pour la vitesse, tu as:



Et il est clair que c'est donc sur l'accélération qu'on rajoute le .

Si l'accélération est nulle, ta vitesse sera bien un mouvement brownien, si l'accélération est constante, ça sera un processus d'Ornstein-Ulhenbeck, etc...

A+

Ising


edit: ps: Btw, j'avais cru voir un laplacien sur la position et c'est sur la vitesse. Faut que je réfléchisse un peu là...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0f14df6d]

Ce qui est intéressant, c'est la quantité sur laquelle tu vas rajouter ton bruit blanc. Et ici, si tu écrit ton équadiff stochastique pour la vitesse, tu as:



Et il est clair que c'est donc sur l'accélération qu'on rajoute le .

Mais le bruit blanc c'est pas justement le ? Ou bien sa dérivée stochastique ? Parce qu'au vu des équations précédentes, on rajoute à la vitesse et à l'accélération .

edit: ps: Btw, j'avais cru voir un laplacien sur la position et c'est sur la vitesse. Faut que je réfléchisse un peu là...

Ben c'est bien consistant avec l'équation

il me semble.

Merci de ta peine un 14 Juillet !

--
Ayman

[invite0f14df6d]

Un petit up car il me semble que je peux reformuler ma question avec un vocabulaire plus approprié.

En fait j'ai du mal à saisir la différence bruit blanc/Brownien, de manière "physique".

La définition mathématique est claire, mais je ne vois pas pourquoi on choisit de rajouter un bruit blanc à l'accélération, et pas un Brownien directement. Que cela veut-il dire ?
A quoi correspondrait la trajectoire d'une particule à laquelle on ajoute un Brownien à l'accélération ?