fonction de convolution

[sahdos]

bonsoir
est ce que le produit de convolution est juste une notion mathématique ou y a t-il une signification physique derrière ?
merci
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[chrisric]

bonjour,
un système électronique de traitement du signal réalise le produit de convolution d'un signal d'entrée par une fonction caractérisant ce système. cette fonction est appelée réponse impulsionnelle de ce système.
Vous pouvez également vous renseigner sur les propriétés de la transformée de Fourier de ce produit de convolution.
Bonne continuation.

[LPFR]

Bonjour.
Pour moi, le produit de convolution est un concept mathématique avec une implication en physique de grande importance aussi bien en diffraction qu'en traitement du signal.
Cette importance peut se résumer à:
"La transformée de Fourier d'un produit est égal au produit de convolution des transformées de Fourier. Et vice-versa".

Ce qui est pénible est que, presque toujours, on présente le produit de convolution comme une intégrale (ce qui n'est pas faux). Si on présentait d'abord le produit de convolution de "fonctions" discrètes (comme les spectres à raies) il serait plus facile de comprendre ce que veut dire convoluer deux fonctions.
C'est un peu comme oublier de dire qu'une intégrale est la surface sous une courbe.
Au revoir.

[Scorp]

"La transformée de Fourier d'un produit est égal au produit de convolution des transformées de Fourier. Et vice-versa".

Pour moi, ceci résume plutôt l'intéret de la transformée de Fourier ou de Laplace qui permettent de "transformer" un produit de convolution en produit usuel.

Comme le dit chrisric, c'est bien le produit de convolution qu'on obtient lorsqu'on modélise un système en théorie du signal, automatique etc... On utilise les transformées uniquement pour simplifier les calculs

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Bonjour LPFR,
Bonjour à tous,

Ce qui est pénible est que, presque toujours, on présente le produit de convolution comme une intégrale (ce qui n'est pas faux). Si on présentait d'abord le produit de convolution de "fonctions" discrètes (comme les spectres à raies) il serait plus facile de comprendre ce que veut dire convoluer deux fonctions.
C'est un peu comme oublier de dire qu'une intégrale est la surface sous une courbe.
Au revoir.

Ou oublier que intégrale se dit aussi somme et qu'on effectue vraiment une sommation.

Un truc qui m'a toujours gêné :
Pourquoi la présentation des équations en physique est différentielle (du genre ) alors qu'en traitement du signal, elle est intégrale. (avec fonction de convolution)

Sur le même exemple, cela donnerait :
En fonction de transfert :



En produit de convolution :



(Ou bien la version en partant de 0 avec conditions initiales)

Il me semble beaucoup plus naturel d'utiliser des intégrations plutôt que des dérivées. (Je fais partie des personnes qui trouvent plus naturel de définir d'abord l'accélération, puis la vitesse et la position par intégrations successives. (et non l'inverse comme c'est enseigné en secondaire.)

Cordialement.

[sahdos]

bonjour
merci pour les réponses

[gatsu]

Bonjour LPFR,

Il me semble beaucoup plus naturel d'utiliser des intégrations plutôt que des dérivées. (Je fais partie des personnes qui trouvent plus naturel de définir d'abord l'accélération, puis la vitesse et la position par intégrations successives. (et non l'inverse comme c'est enseigné en secondaire.)

Cordialement.

Salut,

C'est quand même assez personnel comme préférence. Pour ma part je ne vois pas bien comment définir l'accélération indépendament de la position ou de la vitesse et de la même manière la vitesse avant la position. Par contre la position d'un objet dans l'espace elle ne pose aucun problème de définition en soit.

Bref je suis d'accord pour dire que les deux aspects doivent être compris mais de là à dire que l'une est mieux que l'autre ou parle plus...ça me parait plus délicat.

[stefjm]

C'est quand même assez personnel comme préférence.

C'est une préférence d'automaticien guidé par la causalité des systèmes qu'il manipule.
1/mp est une opération causale qui permet de passer de force à vitesse.
1/p est une opération causale qui permet de passer d'accélération à vitesse et de vitesse à position.

Pour ma part je ne vois pas bien comment définir l'accélération indépendament de la position ou de la vitesse et de la même manière la vitesse avant la position. Par contre la position d'un objet dans l'espace elle ne pose aucun problème de définition en soit.

Parce qu'on a l'habitude de prendre la position comme grandeur primaire qu'on ne définit pas. (et si tu définis cette grandeur, je suis curieux de lire la définition...)
Je préfère prendre l'accélération comme grandeur primaire et obtenir ensuite vitesse et position. (par intégration)

Bref je suis d'accord pour dire que les deux aspects doivent être compris mais de là à dire que l'une est mieux que l'autre ou parle plus...ça me parait plus délicat.

1) Causalité
2) Solution obtenu par produit de convolution.
3) Variable d'état. (Système matriciel)

pour les principales raisons.

La dérivée n'est pas une opération causale. L'utiliser dans les modélisations est toujours aussez casse-gueule.

[stefjm]

Bonjour,
Suite à un fil récent sur le sujet, je me permets de présenter une synthèse de celui-ci, et de poser à la suite une question aux physiciens.

Un truc qui m'a toujours gêné :
Pourquoi la présentation des équations en physique est différentielle (du genre ) alors qu'en traitement du signal, elle est intégrale. (avec fonction de convolution)

Sur le même exemple, cela donnerait :
En fonction de transfert :



En produit de convolution :



(Ou bien la version en partant de 0 avec conditions initiales)

Il me semble beaucoup plus naturel d'utiliser des intégrations plutôt que des dérivées. (Je fais partie des personnes qui trouvent plus naturel de définir d'abord l'accélération, puis la vitesse et la position par intégrations successives. (et non l'inverse comme c'est enseigné en secondaire.)

Justification du point de vu :
1/mp est une opération causale qui permet de passer de force à vitesse.
1/p est une opération causale qui permet de passer d'accélération à vitesse et de vitesse à position.

Je préfère prendre l'accélération comme grandeur primaire et obtenir ensuite vitesse et position. (par intégration)

Cela permet de faire le lien avec le traitement du signal et d'intégrer facilement au formalisme les notions de :
1) Causalité
2) Solution obtenue par produit de convolution.
3) Variable d'état. (Système matriciel)

La dérivée n'est pas une opération causale. L'utiliser dans les modélisations est toujours assez casse-gueule.

Pourquoi ne présente-t-on pas toute la physique linéaire sous la forme utilisée en traitement du signal?

Cordialement.

[phuphus]

Bonjour,

je ne suis pas physicien, mais je vais essayer d'apporter ma petite pierre à l'édifice...

Tout ceci ne serait-il pas lié à un problème de mesure ? On a pu très tôt mesurer des positions et des temps, alors que les mesures de vitesse ou d'accélération sans passer par des dérivées de position se sont faites beaucoup plus tard. Donc les physiciens ont préféré à l'origine se reposer sur la position et non sur l'accélération, même si physiquement les phénomènes à l'oeuvre (des forces) impliquent surtout que l'accélération est une donnée de départ.

Maintenant que nous sommes capables de fabriquer des appareils de mesure donnant des vitesses et des accélérations (je passerai sur le fait que nous ne mesurons JAMAIS directement ces grandeurs, ce serait compliquer le message pour rien), un autre problème se pose : à incertitudes données, la mesure primaire de la position et du temps amène :
- une incertitude majorée sur la vitesse
- une incertitude majorée sur l'accélération

Alors qu'une mesure primaire de l'accélération amène :
- une incertitude divergente sur la vitesse
- encore pire sur la position

Bien entendu, je n'aborderai pas le cas de la mesure quantique, c'est en dehors du problème qui nous intéresse et à côté de mes compétences.

[LPFR]

Bonjour.
Le plus souvent je suis en désaccord avec le point de vue des mathématiciens sur la physique.
Mais cette fois je suis totalement d'accord avec Phuphus. Car son avis est un avis de physicien. Et je ne reviens pas sur les opinions de Stefjm sur la physique. On en a déjà exposé nos divergences en maintes occasions.
Au revoir.

[stefjm]

Bonjour et merci pour votre pierre,

Tout ceci ne serait-il pas lié à un problème de mesure ? On a pu très tôt mesurer des positions et des temps, alors que les mesures de vitesse ou d'accélération sans passer par des dérivées de position se sont faites beaucoup plus tard. Donc les physiciens ont préféré à l'origine se reposer sur la position et non sur l'accélération, même si physiquement les phénomènes à l'oeuvre (des forces) impliquent surtout que l'accélération est une donnée de départ.

Je ne suis pas du tout sensible à cet argument, sans doute parce que je ne le comprends pas.
Ce n'est pas parce qu'on a d'abord su mesurer une grandeur qu'il faut privilégier une écriture différentielle à partir de cette grandeur. L'écriture intégrale est équivalente et offre les plus que j'ai soulignés.

Maintenant que nous sommes capables de fabriquer des appareils de mesure donnant des vitesses et des accélérations (je passerai sur le fait que nous ne mesurons JAMAIS directement ces grandeurs, ce serait compliquer le message pour rien), [...]

En plus, on ne fait que des mesures moyennes, donc filtrées. Oublions le problèmes des mesures dans un premier temps.

[...]un autre problème se pose : à incertitudes données, la mesure primaire de la position et du temps amène :
- une incertitude majorée sur la vitesse
- une incertitude majorée sur l'accélération

Alors qu'une mesure primaire de l'accélération amène :
- une incertitude divergente sur la vitesse
- encore pire sur la position

Oui, il y a le problème de la divergence de la vitesse et de la position. Mais en quoi est-ce un problème? Tout le monde sait bien qu'un intégrateur est en limite de stabilité et donc qu'en boucle ouverte, vitesse et position divergent. C'est dans le modèle même. (Un pôle en zéro n'est pas asymptotiquement stable.)

Je trouve ceci moins gênant que le fait que la dérivée d'un signal ne soit pas causale, et surtout extrêmement bruitée!

Exemple :
x(t)=X0 sin(wt), avec X0 très petit au point d'être négligeable devant les autres déplacement et w plutôt grand.

La vitesse est donnée par w.X0 cos wt. Le terme w.X0 peut être très important!
(Et évidement, c'est encore pire pour l'accélération en w^2.X0)

L'intégration pose un soucis en régime permanent pour les basses fréquences (en boucle ouverte) et la dérivation pour les hautes fréquences du régime transitoire.

Et je ne reviens pas sur les opinions de Stefjm sur la physique. On en a déjà exposé nos divergences en maintes occasions.

J'ai du raté des fils...
En général, vous n'y participez pas. (sauf pour relever les erreurs, ce dont je vous remercie)
Je n'expose pas ici une opinion, mais une formulation intégrale contre une formulation dérivée.
J'avoue une préférence mais la justifie.
Je donne les arguments que j'ai contre la thèse opposée.

Bref, un débat scientifique en bonne et due forme non?

Contrairement à ce que vous semblez penser, votre avis m'intéresse et pourrait me faire changer d'avis si vos arguments m'interpellent. (Evidement, il me faut plus qu'un "c'est pas physique" ou "c'est physique"...pour me convaincre.)

Au plaisir de vous lire.
Cordialement.

[phuphus]

Je ne suis pas du tout sensible à cet argument, sans doute parce que je ne le comprends pas.
Ce n'est pas parce qu'on a d'abord su mesurer une grandeur qu'il faut privilégier une écriture différentielle à partir de cette grandeur. L'écriture intégrale est équivalente et offre les plus que j'ai soulignés.

Je suis d'accord avec vous que dans un monde "idéal", dès qu'une amélioration est effective elle devrait être déployée instantanément, et instantanément comprise par tous. Nous ne vivons pas dans ce monde idéal, et c'est même bien pire que cela : nous sommes loin de vivre dans un monde rationnel et scientifique. Je vais diverger quelque peu, mais cela aidera certainement à éclairer le débat, qui pour moi tourne autour de :

Il me semble beaucoup plus naturel d'utiliser des intégrations plutôt que des dérivées. (Je fais partie des personnes qui trouvent plus naturel de définir d'abord l'accélération, puis la vitesse et la position par intégrations successives. (et non l'inverse comme c'est enseigné en secondaire.)

Je ne vais bien entendu pas me focaliser sur des expressions comme "naturel", ce serait jouer sur les mots et me braquer inutilement. Ce n'est pas la peine de chercher la petite bête sur une formule idiomatique plutôt qu'une autre, alors je vais (essayer d')être de bonne foi et m'occuper du fond de votre message, à savoir un désir d'homogénéisation des formulations entre la mécanique et le traitement du signal de manière à faciliter la manipulation des deux.

Passons vite aussi sur la remarque faite à l'encontre des enseignants du secondaire, qui enseignent la mécanique bien avant que leurs élèves n'aient vu la moindre notion de traitement du signal. Ils suivent donc les programmes, et là dessus je n'ai aucune information quant au bien fondé du choix de la formulation différentielle par qui de droit. Néanmoins, on peut tout de même évoquer que les opérateurs de la formulation différentielle se manipulent comme de bêtes divisions / multiplications, et ça c'est un plus pour des élèves qui maîtrisent déjà ces concepts. La formulation intégrale demande de ce point de vues quelques efforts supplémentaires pour des élèves du secondaire (même si je suis certain que vous allez me répondre qu'une fois ces efforts faits, ils en valent la peine).

Revenons à ma première citation, avec l'argument historique. C'est un HS de ma part, mais j'espère vous sensibiliser à cet argument. J'ajouterai aussi l'argument de subjectivité : j'ai eu la chance, pendant mes études, d'étudier la qualité perçue. J'ai donc eu l'occasion de me rendre compte de ce que donnaient les méthodes scientifiques expérimentales appliquées à la perception humaine. J'ai aussi eu le loisir de me pencher sur les biais de perception de l'être humain, et lorsque l'on sait tout cela on voit que l'argument historique, ainsi que l'argument de subjectivité, ne peuvent pas être mis de côté. Et il ne faut pas se faire d'illusions : la communauté scientifique n'échappe de toutes façon pas aux biais de perception et autres à-priori (CF l'expérience des canards de Gif sur Yvette, ou encore la mémoire de l'eau, l'exemple le plus frappant pour moi restant celui du docteur Wolf et des placebos). Nous évoluons dans un monde humain dominé par le poids de l'histoire et la subjectivité, même au 21ème siècle (60% de la population française prend de l'homéopathie, et autant croient à l'astrologie...), il ne faut donc pas dans un cas comme celui-ci se contenter uniquement d'arguments rationnels et terre à terre (cette dernière expression n'étant pas du tout péjorative venant de moi).

Nous utilisons dans le langage de tous les jours des expressions telles que :
- tube néon : héritage historique des premiers tubes fluo, qui étaient bien au néon
- atome : héritage historique des grecs, alors de l'insécable actuel serait plutôt les quarks

La fonction de responsable de la teinture rouge des uniformes a été supprimée par l'armée plusieurs décennies après l'adoption des uniformes verts, et la France a mis plus de 20 ans pour abolir la loi interdisant le travail des femmes et des enfants de nuit, héritée des années 1920, parce qu'elle était devenue discriminante.

Bon, je me fais plaisir en divergences, mais je veux juste illustrer le poids de l'histoire dans la vie de tous les jours, et ce même dans le monde scientifique (CF les atomes cités plus haut ou encore les canards de Gif, une vieille réminiscence de la légende de l'hérédité des caractères acquis). Les calculs différentiel et intégral sont récents, les mesures de vitesse et d'accélération le sont encore plus : je pense donc qu'il ne faut pas mettre de côté l'argument historique pour ne faire ressortir que le rationnel. Les programmes scolaires sont établis dans les ministères non pas par des robots mais par des êtres humains, avec leurs préférences et leur subjectivité (je pense que je ne vous apprends rien, et que votre propos est plutôt de dire qu'il faudrait justement mettre tout cela de côté pour prendre des décisions uniquement motivées par la rationnalité).

Voilà pour l'argument historique, et la liaison avec l'enseignement dans le secondaire.

Pour revenir à l'argument de subjectivité, il est simple : tracez deux graphes et présentez-les à une personne d'environ 20 ans et ayant un minimum de culture scientifique.
1er graphe : évolution de la position au cours du temps
2ème graphe : évolution de l'accélération au cours du temps

Demandez-lui lequel est le plus parlant pour lui. Je m'avance peut-être, mais je pense qu'à partir du 1er graphe, le péquin moyen peut très bien se représenter à la fois le déplacement, la vitesse, et éventuellement l'accélération. Je serais surpris que le même péquin ait une estimation intuitive ne serait que de l'évolution de la vitesse au cours du temps à partir du 2ème graphe.

Je pense qu'on touche là un point fondamental : les images sont extrêmement pédagogiques, et jouent un rôle fort dans notre perception (la vue est notre sens principal, avec 250 millions de capteur et 30% du néocortex monopolisé, c'est à ne pas négliger). Le premier graphe sera plus intuitif pour la majorité des personnes. Et même si le but de l'enseignement est de faire s'élever les gens, donc de les mener au delà de leurs intuitions et de leurs à-priori, il ne faut surtout pas négliger ces intuitions dans la pédagogie.

Une fois le 1er graphe maîtrisé, il sera plus aisé de passer au deuxième et donc d'amener peu à peu certains vers ce qui vous tient à coeur, et pourquoi pas au final de faire en sorte que cela soit plus "naturel". Mais je pense que cette facilité qu'ont certaines personnes à manipuler plus facilement la formulation intégrale plutôt que différentielle est acquise par de longues années de pratique, et dans tous les cas moins intuitive au premier abord que la formulation différentielle (ceci dit, peut-être était-ce déjà évident pour vous dès les premières intégrales que vous avez manipulées ??).

Je fais partie des personnes qui trouvent plus naturel de définir d'abord l'accélération, puis la vitesse et la position par intégrations successives.

Comme vous le dites, vous faites partie "des personnes". Quel est le poids de ces personnes dans l'enseignement actuel ? Quelle proportion des scientifiques représentent ces personnes ? Cela n'enlève rien à la validité objective de votre argument, bien entendu. Je veux juste souligner le fait que ce qui vous paraît naturel ne l'est que par le parcours que vous avez et les habitudes acquises au cours des années, et je pense que vous faites partie d'un minorité (purement spéculatif de ma part, il faudrait des stats )

Maintenant, si ce qui vous paraît naturel l'est pour des raisons vraiment pratiques, par exemple : certes, il faut plus d'efforts à la base pour maîtriser la formulation intégrale, mais les avantages tirés ensuite en valent la peine, alors je suis prêt à en discuter. Quels seraient, pour vous, les avantages tirés d'une formulation intégrale généralisée par rapport à une formulation différentielle ? Cela va-t-il au delà d'une aisance de votre part et des problèmes de bruit et de causalité évoqués dans votre dernier message ? (Attention ! Je reçois bien ces arguments et à aucun moment je ne les minimise... Je veux juste savoir si on peut aller plus loin que cela...)

Pourquoi ne présente-t-on pas toute la physique linéaire sous la forme utilisée en traitement du signal?

Je suis déjà passé sur la primeur de la mécanique sur le traitement du signal dans l'enseignement, je peux aussi vous donner l'argument des méthodes numériques. Celles-ci se prêtent très bien à la résolution d'équations différentielles, alors qu'en formulation intégrale on a vite fait de diverger. Etant un utilisateur régulier de logiciel de calcul par éléments finis, je suis sensible à cet argument. A moins bien entendu que mon à-priori sur la difficulté de résolution des formulations intégrales en éléments finis ne viennent que de mon ignorance à ce sujet.

Je trouve ceci moins gênant que le fait que la dérivée d'un signal ne soit pas causale, et surtout extrêmement bruitée!

Bien sûr, le "extrêmement" est à voir au cas par cas. Prenez chez vous un enregistrement sur CD propre, boostez les aigus autant que vous le pouvez, je vous mets au défi d'entendre le moindre souffle derrière la musique (entre deux plages, c'est différent...). Il y a 40 ans, les compteurs de vitesse des automobiles de monsieur tout le monde tremblotaient. Ce n'est plus du tout le cas maintenant. Ces exemples n'ont à aucun moment valeur de loi, et ne sont là que pour illustrer quelques domaines d'application très restreints de la dérivation. Peut-être avez-vous d'autres exemples pratiques où le bruit introduit par la dérivation est vraiment gênant (par exemple des domaines ayant besoin de manipuler des signaux de fréquences très élevées) ? Ces exemples sont-ils pertinents mis en regard de la problématique de l'enseignement de la physique en termes différentiels ?

Quant à la causalité de la dérivation, il y a des solutions :

- adopter un schéma de dérivation causal. Il sera du coup forcément moins précis que le schéma non causal (et un peu retardé..), mais cette perte de précision doit être évaluée au cas par cas et peut très bien ne pas être gênante. Si je reviens sur l'exemple du compteur de vitesse de votre voiture, le retard sur l'évaluation de la vitesse vous gêne-t-il ?
- accepter une latence pour pouvoir appliquer un schéma qui pour le coup devient causal du point de vue du processeur, sans être gêné. Si je reste dans le domaine du numérique, en acceptant d'avoir un échantillon de retard entre l'entrée et la sortie d'un dérivateur, alors vous pouvez mettre en oeuvre un schéma qui à la base est non causal (avec donc un échantillon "vers l'avant") sans aucun problème. Le processeur, se nourrisant dans le tampon qui permet d'accumuler cet échantillon, ne verra qu'un algorithme causal. Si l'égualiseur de votre ampli home cinema décale le son par rapport à l'image de 1/96000 de seconde, cela vous gêne-t-il ? (Mauvais exemple, tous les filtres numériques utilisés dans les amplis sont causaux et sans décalage pour peu que ce ne soit pas une convolution FFT, mais imaginons juste qu'un ampli ait un filtre qui fasse juste une dérivation...)

Dernier petit exemple, toujours aussi orienté : vous avez le choix, pour faire un système de navigation automobile, entre deux principes.

1er principe : le repère de la position tous les 10m, avec en prime un calcul de la vitesse par dérivation
2ème principe : vous récupérez l'accélération de votre véhicule pour en déduire, par intégration, l'évolution de la position sur les cartes.

A partir de combien de temps de trajet le 2ème système vous envoie-t-il dans un champ ??


Encore une fois, aucun de ces exemples ne saurait prouver une quelconque "supériorité" de la formulation différentielle sur la formulation intégrale, mais ce sont des exemples de la vie de tous les jours qui collent parfaitement à la problématique de l'enseignement de la physique.

En espérant vous avoir appris quelques nouveautés, et dans tous les cas en espérant en apprendre de vous dans votre prochaine réponse.

[stefjm]

Bonjour à tous et en particulier à phuphus que je remercie pour son éclairage.

Concernant le monde idéal, je suis bien conscient de la difficulté de faire percoler les notions élémentaires entre les différentes disciplines. Pour rester à la fois réaliste et modeste, je me place assez systématiquement à Bac+2, mais je le fais dans tous les domaines ce qui conduit rapidement à des incohérences de discours.

Pour ce qui est de l'homogénéisation du discours, comme le niveau est modeste, j'espère pouvoir appliquer les abstractions vues en théorie du signal à tous les domaines de la physique. (ou au moins comprendre pourquoi cela ne marche pas quand cela ne marche pas...)

Je ne vais bien entendu pas me focaliser sur des expressions comme "naturel", ce serait jouer sur les mots et me braquer inutilement.

Concernant ce point, j'ai toujours trouvé étonnant que ce qui est naturel dans une discipline ne le soit pas dans une autre.

Passons vite aussi sur la remarque faite à l'encontre des enseignants du secondaire, qui enseignent la mécanique bien avant que leurs élèves n'aient vu la moindre notion de traitement du signal. Ils suivent donc les programmes, et là dessus je n'ai aucune information quant au bien fondé du choix de la formulation différentielle par qui de droit. Néanmoins, on peut tout de même évoquer que les opérateurs de la formulation différentielle se manipulent comme de bêtes divisions / multiplications, et ça c'est un plus pour des élèves qui maîtrisent déjà ces concepts. La formulation intégrale demande de ce point de vues quelques efforts supplémentaires pour des élèves du secondaire (même si je suis certain que vous allez me répondre qu'une fois ces efforts faits, ils en valent la peine).

J'espère que mes remarques concernant l'enseignement secondaire n'ont pas donner lieu à penser que je critiquais les enseignants. Je ne me le permettrais pas. C'est uniquement l'enseignement qui est critiquable.
Pour le fond, une intégration discrète est une bête sommation. A mon sens, c'est plus facile à comprendre qu'une division... Si on reste en continu, il y a sommation et multiplication. C'est encore plus simple qu'une division.


Sous cette dernière forme, on est très proche de la notion de dérivée (donc facile à comprendre pour un étudiants du secondaire).

Les calculs différentiel et intégral sont récents, les mesures de vitesse et d'accélération le sont encore plus : je pense donc qu'il ne faut pas mettre de côté l'argument historique pour ne faire ressortir que le rationnel.

Newton et Leibniz récent? Désolé, mais pour nos étudiants, la chute du mur de Berlin fait déjà parti d'un lointain passé! Alors Newton...
On entend partout dire qu'on vit dans un monde à évolution de plus en plus rapide. (communication, progrès technique, etc...) Il faudrait quand même que l'enseignement suive un peu sinon, bonjour la révolution...

Pour la mesure des accélérations et des vitesses, je ne pense pas que cela soit le nœud du problème. J'ai pris l'exemple mécanique mais j'aurais tout aussi bien pu prendre l'exemple électrique, qui ne pose pas les soucis de mesure des courants et tensions. (Circuit RLC par exemple)

Pour revenir à l'argument de subjectivité, il est simple : tracez deux graphes et présentez-les à une personne d'environ 20 ans et ayant un minimum de culture scientifique.
1er graphe : évolution de la position au cours du temps
2ème graphe : évolution de l'accélération au cours du temps

Demandez-lui lequel est le plus parlant pour lui. Je m'avance peut-être, mais je pense qu'à partir du 1er graphe, le péquin moyen peut très bien se représenter à la fois le déplacement, la vitesse, et éventuellement l'accélération. Je serais surpris que le même péquin ait une estimation intuitive ne serait que de l'évolution de la vitesse au cours du temps à partir du 2ème graphe.

Normal, l'enseignement est fait à l'envers en physique. (mais pas en traitement du signal ou en commande de procédé!)
L'étudiant annone ce qu'il a appris.
Quite à faire annoner l'étudiant, autant le faire annoner dans le bon sens. Non?

Si on tombe sur un étudiant qui réfléchit, il saura trouver intuitivement les courbes. (Faire une sommation est à la porté d'un enfant)
J'ai déjà fait cette expérience avec mes étudiants : Même les plus en difficulté y arrivent!

Je pense qu'on touche là un point fondamental : les images sont extrêmement pédagogiques, et jouent un rôle fort dans notre perception (la vue est notre sens principal, avec 250 millions de capteur et 30% du néocortex monopolisé, c'est à ne pas négliger). Le premier graphe sera plus intuitif pour la majorité des personnes. Et même si le but de l'enseignement est de faire s'élever les gens, donc de les mener au delà de leurs intuitions et de leurs à-priori, il ne faut surtout pas négliger ces intuitions dans la pédagogie.

Une fois le 1er graphe maîtrisé, il sera plus aisé de passer au deuxième et donc d'amener peu à peu certains vers ce qui vous tient à coeur, et pourquoi pas au final de faire en sorte que cela soit plus "naturel". Mais je pense que cette facilité qu'ont certaines personnes à manipuler plus facilement la formulation intégrale plutôt que différentielle est acquise par de longues années de pratique, et dans tous les cas moins intuitive au premier abord que la formulation différentielle (ceci dit, peut-être était-ce déjà évident pour vous dès les premières intégrales que vous avez manipulées ??).

Les deux sens sont aussi intuitifs l'un que l'autre.
D'un point de vue numérique, écrire la forme différentielle ou intégrale est équivalent en terme de complexité




L'une ou l'autre des formes est aussi facile à manipuler.

Par contre, l'enseignement de la physique de ces 40 dernières a été rongé par les mathématiques. (Et sur ce point, je suis sûr que LPFR interviendra...)

Comme c'est plus difficile d'intégrer une fonction que de la dériver, on présente le sens facile pour rester simple et on privilégie la dérivée. Cela permet de faire les calculs dès la première. Pas de chance, c'est conceptuellement dans l'autre sens que c'est intéressant! Une fois qu'un faux plis est pris, quiconque a repassé sait que c'est difficile à récupérer sans repasser au lavage. (de cerveau)

On n'aurait pas eu ce problème si on avait accepter de travailler en résolution numérique, ce que fait tout bon physicien, même débutant. Seulement, on a préféré se tourner vers les maths et faire de la résolution analytique d'équation en appelant cela «faire de la physique».

Comme vous le dites, vous faites partie "des personnes". Quel est le poids de ces personnes dans l'enseignement actuel ? Quelle proportion des scientifiques représentent ces personnes ? Cela n'enlève rien à la validité objective de votre argument, bien entendu. Je veux juste souligner le fait que ce qui vous paraît naturel ne l'est que par le parcours que vous avez et les habitudes acquises au cours des années, et je pense que vous faites partie d'un minorité (purement spéculatif de ma part, il faudrait des stats )

Pas lourd. J'aime bien être le pot de terre.
En gros, les automaticiens qui font de la commande (continue et discrète) de procédés continues et les traiteurs de signaux en général.

Par contre, comme je forme des étudiants, le nombres des non-inversés augmente au cours du temps par intégration.
Je présente l'automatisme et le traitement du signal comme une discipline abstraite, dans le sens original du terme, c'est à dire sans support physique. (Comme une classe abstraite en programmation objet, classe dont on ne peut instancier un objet)

Charge à ces mêmes étudiants d'utiliser les concepts vu en automatique dans les différents domaines physiques. Cela donne parfois des discussions intéressantes avec le prof de physique...

Maintenant, si ce qui vous paraît naturel l'est pour des raisons vraiment pratiques, par exemple : certes, il faut plus d'efforts à la base pour maîtriser la formulation intégrale, mais les avantages tirés ensuite en valent la peine, alors je suis prêt à en discuter. Quels seraient, pour vous, les avantages tirés d'une formulation intégrale généralisée par rapport à une formulation différentielle ? Cela va-t-il au delà d'une aisance de votre part et des problèmes de bruit et de causalité évoqués dans votre dernier message ? (Attention ! Je reçois bien ces arguments et à aucun moment je ne les minimise... Je veux juste savoir si on peut aller plus loin que cela...)

On peut ajouter le problème des conditions initiales que masque la présentation différentielle.
Avoir un modèle causal me semble indispensable pour une description physique.
Avoir un modèle qui n'amplifie pas le bruit me semble vital également.

Je suis déjà passé sur la primeur de la mécanique sur le traitement du signal dans l'enseignement, je peux aussi vous donner l'argument des méthodes numériques. Celles-ci se prêtent très bien à la résolution d'équations différentielles, alors qu'en formulation intégrale on a vite fait de diverger. Etant un utilisateur régulier de logiciel de calcul par éléments finis, je suis sensible à cet argument. A moins bien entendu que mon à-priori sur la difficulté de résolution des formulations intégrales en éléments finis ne viennent que de mon ignorance à ce sujet.

Je ne suis pas au courant des techniques numériques modernes. j'en suis rester à Euler, et RK4.
A priori, tout diverge assez vite dès que le temps de simulation devient important? Non?

Je suis plus sensible au commande temps réel pour lesquelles le correcteur doit être causal.

Bien sûr, le "extrêmement" est à voir au cas par cas. Prenez chez vous un enregistrement sur CD propre, boostez les aigus autant que vous le pouvez, je vous mets au défi d'entendre le moindre souffle derrière la musique (entre deux plages, c'est différent...). Il y a 40 ans, les compteurs de vitesse des automobiles de monsieur tout le monde tremblotaient. Ce n'est plus du tout le cas maintenant. Ces exemples n'ont à aucun moment valeur de loi, et ne sont là que pour illustrer quelques domaines d'application très restreints de la dérivation. Peut-être avez-vous d'autres exemples pratiques où le bruit introduit par la dérivation est vraiment gênant (par exemple des domaines ayant besoin de manipuler des signaux de fréquences très élevées) ? Ces exemples sont-ils pertinents mis en regard de la problématique de l'enseignement de la physique en termes différentiels ?

Je comprends ces exemples.
Je trouve ennuyeux d'utiliser la notion mathématique de dérivée qui n'est pas une notion physique, dans le sens où on ne peut pas faire la mesure car on ne dispose pas des échantillons du futur...
On n' a pas ce problème conceptuel avec l'intégration.

Quant à la causalité de la dérivation, il y a des solutions :

- adopter un schéma de dérivation causal. Il sera du coup forcément moins précis que le schéma non causal (et un peu retardé..), mais cette perte de précision doit être évaluée au cas par cas et peut très bien ne pas être gênante. Si je reviens sur l'exemple du compteur de vitesse de votre voiture, le retard sur l'évaluation de la vitesse vous gêne-t-il ?
- accepter une latence pour pouvoir appliquer un schéma qui pour le coup devient causal du point de vue du processeur, sans être gêné. Si je reste dans le domaine du numérique, en acceptant d'avoir un échantillon de retard entre l'entrée et la sortie d'un dérivateur, alors vous pouvez mettre en oeuvre un schéma qui à la base est non causal (avec donc un échantillon "vers l'avant") sans aucun problème. Le processeur, se nourrisant dans le tampon qui permet d'accumuler cet échantillon, ne verra qu'un algorithme causal. Si l'égualiseur de votre ampli home cinema décale le son par rapport à l'image de 1/96000 de seconde, cela vous gêne-t-il ? (Mauvais exemple, tous les filtres numériques utilisés dans les amplis sont causaux et sans décalage pour peu que ce ne soit pas une convolution FFT, mais imaginons juste qu'un ampli ait un filtre qui fasse juste une dérivation...)

Bien sûr qu'il y a des solutions, solutions qui solutionne le problème que je soulève et que ne voient pas la plupart des physiciens. (Ceux qui voient sont priés de se manifester. )

Dernier petit exemple, toujours aussi orienté : vous avez le choix, pour faire un système de navigation automobile, entre deux principes.

1er principe : le repère de la position tous les 10m, avec en prime un calcul de la vitesse par dérivation
2ème principe : vous récupérez l'accélération de votre véhicule pour en déduire, par intégration, l'évolution de la position sur les cartes.

A partir de combien de temps de trajet le 2ème système vous envoie-t-il dans un champ ??

Trop de différence de moyen pour que la comparaison soit pertinente.
Avec un bon gyroscope, il doit y avoir moyen de ne pas sortir de la route trop vite.

Encore une fois, aucun de ces exemples ne saurait prouver une quelconque "supériorité" de la formulation différentielle sur la formulation intégrale, mais ce sont des exemples de la vie de tous les jours qui collent parfaitement à la problématique de l'enseignement de la physique.

J'ai peut-être un exemple de plus en faveur de la présentation intégrale.

Si on considère une accélération en échelon, la vitesse sera en rampe pour les temps positifs et nulle pour les temps négatifs. La vitesse n'évolue qu'après l'échelon.
Si on prend le problème dans l'autre sens, on voit que la vitesse est encore nulle à temps positif infinitésimal et pourtant, le signal accélération est déjà à 1.
C'est curieux de garder un modèle non causal pour la description de mécanique clairement causale ici.

En espérant vous avoir appris quelques nouveautés, et dans tous les cas en espérant en apprendre de vous dans votre prochaine réponse.

De même.
Vous êtes rares sur FSG, mais précieux.

Merci.

[Garf]

Bonjour,

Pour reprendre rapidement certains points de Stejfm, avec un point de vue de méchant matheux.

Normal, l'enseignement est fait à l'envers en physique. (mais pas en traitement du signal ou en commande de procédé!)
L'étudiant annone ce qu'il a appris.
Quite à faire annoner l'étudiant, autant le faire annoner dans le bon sens. Non?

Si on tombe sur un étudiant qui réfléchit, il saura trouver intuitivement les courbes. (Faire une sommation est à la porté d'un enfant)
J'ai déjà fait cette expérience avec mes étudiants : Même les plus en difficulté y arrivent!

Ceci ne répond pas, je pense, à l'argument de Phuphus. Un des avantages de la dérivation est que cette opération est purement locale. Une courbe est plate ou a un extremum ? Sa dérivée est nulle. Une courbe a un point d'inflexion ? Sa dérivée seconde est nulle. Il n'y a aucune difficulté à voir rapidement les principales caractéristiques qualitatives des dérivées à partir de la courbe. En revanche, avec l'intégration, il faut garder en mémoire les conditions initiales, et toute l'évolution jusqu'à l'instant que l'on regarde. Et, même si on le fait, on n'arrive pas forcément à voir avec précision les caractéristiques qualitatives de la primitive : par exemple, si je dispose de l'évolution de l'accélération au cours du temps, je saurais difficilement situer avec précision un instant où, disons, la vitesse est nulle. Même si quelqu'un d'un peu expérimenté peut s'y retrouver, ça n'a absolument rien d'intuitif.

Au passage, je vois mal en quoi une formulation différentielle serait plus à même de faire oublier les conditions initiales, mais ça doit être un question d'habitude.

On n'aurait pas eu ce problème si on avait accepter de travailler en résolution numérique, ce que fait tout bon physicien, même débutant. Seulement, on a préféré se tourner vers les maths et faire de la résolution analytique d'équation en appelant cela «faire de la physique».

Si je peux me permettre : l'intégrale est souvent plus facile à utiliser en mathématiques (continuité/compacité de certains opérateurs, absence de bruit et contrôle plus aisé, calcul stochastique, solutions faibles d'EDP...), et bon nombre de problèmes se posent bien sous forme intégrale. J'ai l'impression qu'en voulant absolument introduire l'intégrale ici, on sacrifie un côté intuitif de la physique justement pour des facilités mathématiques - pas franchement évidentes au niveau lycée, qui plus est.

[stefjm]

Pour reprendre rapidement certains points de Stejfm, avec un point de vue de méchant matheux.

Il faut de tout pour faire un monde équilibré.

Comme proposé par phuphus, je laisse de coté les aspects naturels et intuitifs, difficilement discutables avec des arguments rationnels.

Au passage, je vois mal en quoi une formulation différentielle serait plus à même de faire oublier les conditions initiales, mais ça doit être un question d'habitude.

On l'oublie souvent parce que la dérivée est une opération purement locale.
La formulation intégrale oblige à conserver les conditions initiales.

Si je peux me permettre : l'intégrale est souvent plus facile à utiliser en mathématiques (continuité/compacité de certains opérateurs, absence de bruit et contrôle plus aisé, calcul stochastique, solutions faibles d'EDP...), et bon nombre de problèmes se posent bien sous forme intégrale. J'ai l'impression qu'en voulant absolument introduire l'intégrale ici, on sacrifie un côté intuitif de la physique justement pour des facilités mathématiques - pas franchement évidentes au niveau lycée, qui plus est.

Les aspects mathématiques intéressant de l'intégration que vous signalez ici rejoignent mes arguments de physique pour l'utilisation de l'intégration.

L'enseignement de la physique en lycée est très perturbant :
On commence avec de la statique : et on affirme que cela ne bouge pas.
Puis la cinématique, implique vitesse constante, finalement, cela bouge. On fait calculer les vitesses et accélérations d'un mobile dont on connait la position en fonction du temps.
Puis la dynamique , mais sans trop préciser la chaine de causalité Force, Vitesse, Position.


L'argument en faveur de la description intégrale que je trouve le plus fort est l'utilisation du modèle en temps réel, ie simulation de ce qui se passe en temps réel. (avec l'idée sous-jacente de placer le simulateur à la place de la nature)

Une intégration est utilisable directement mais pas une dérivation. (J'ai toujours été gêné par la causalité dérivée des BondGraphs)

Un autre intérêt est la description par variables d'états, ie les sorties des intégrateurs qui sont très liées à la physique des phénomènes.
Ex :
Inductance : variable d'état i car


Condensateur : Variable d'état u car


Mécanique : variable d'état v et x car



Etc...

Cordialement.