État borné d'une particule dans un potentiel en 'fonction delta'

[invite93e0873f]

Salut à tous,

Je demande votre aide pour un exercice de mécanique quantique, soit la question 2 du complément H₁ du volume 1 du Cohen-Tannoudji. Je ne suis pas sûr dans toutes mes démarches si ce que je fais est bon ou s'il s'agit d'un calcul juste pour avoir un calcul... Enfin, si vous pouviez m'éclairez, ça serait apprécié. Notez que je traduis ici l'énoncé (et le titre de ce fil), d'où peut-être des erreurs dans les termes.

1[/IND] Exercice 2]Considérons une particule dont l'hamiltonien H est :



où est une constante positive dont les dimensions sont à déterminer.

a) Intégrez l'équation de valeur propre de H entre et . En laissant approcher 0, montrez que la dérivée de la fonction propre présente une discontinuité en x=0 et déterminez la en terme de , m et

En procédant comme indiqué, je trouve , montrant bien la discontinuité de la dérivée de la fonction propre.

b) Assumons que l'énergie E de la particule est négative (état borné [traduction de «bound state»]). peut être écrit :



Exprimez la constante en termes de E et m. En utilisant le résultat de la question précédent, calculez la matrice M définie par :



Ensuite, en utilisant la condition que soit «intégrable-carré» [square-integrable], trouvez les valeurs possibles de l'énergie. Calculez les fonctions d'ondes normalisées correspondantes.

En notant , et , on a :



En posant et en se rendant compte du fait de la condition de continuité en x=0 de la fonction propre que , ainsi que du fait que et _{A_2} (donc a et b) doivent être nuls pour que la fonction propre soit finie en tout point, on a :



De ces considérations, on a avec A = A₁. À partir de la valeur de la discontinuité de cette fonction trouvée en a), on obtient que

Ensuite, on intègre la norme de la fonction propre (avec normalisation à 1) :



On aurait la fonction d'onde , t étant ici le temps.

c) Tracez ces fonctions d'ondes graphiquement. Donnez un ordre de grandeur pour la largeur .

En définissant comme la distance entre les deux valeurs de x pour lesquelles la fonction propre a une valeur moitié celle de sa valeur maximale en x=0, on obtient que .

Quelle est la probabilité qu'une mesure de la quantité de mouvement de la particule en l'un des états stationnaires normalisés calculés ci-dessus donne un résultat inclu entre et ? Pour quelle valeur de p la probabilité est-elle maximale? Dans quel domaine, de dimension , prend-t-elle des valeurs non négligeables? Donnez un ordre de grandeur au produit .

Je n'ai aucune idée. D'après ce que j'ai compris, cela a rapport avec la valeur de A qui, dans ces cas plus généraux, peut être fonction de la quantité de mouvement. Mais ici, A est constant, ce qui impliquerait si je ne me trompe pas une probabilité constante non nulle...

Merci pour votre aide
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[invitedbd9bdc3]

Salut,

tout d'abord, bound state se traduit par etat lié.

Je n'ai aucune idée. D'après ce que j'ai compris, cela a rapport avec la valeur de A qui, dans ces cas plus généraux, peut être fonction de la quantité de mouvement. Mais ici, A est constant, ce qui impliquerait si je ne me trompe pas une probabilité constante non nulle...

La fonction d'onde en position et celle en impulsion sont reliées par une transformée de fourier.
Avec ça tu devrais pouvoir finir.

[invite93e0873f]

Merci pour la correction de ma 'traduction' et pour l'indice. Ainsi, j'obtiens que . Là, la probabilité de cette fonction devrait être la norme à la puissance 2 si je ne me trompe, d'où . Cette densité de probabilité est maximale si p=0. Le reste s'ensuit facilement. Donc le tout est bon, même pour les autres questions? Merci.

[invitedbd9bdc3]

j'ai pas refait les calculs mais rien ne m'a choqué quand j'ai lu ce que tu as ecrit, donc ça doit etre juste

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

D'accord merci pour ton aide

[invite93e0873f]

Bonjour,

J'ai tenté de faire les exercices qui suivent celui que j'ai présenté dans mon premier message, mais j'ai quelques problèmes encore. Je demande donc encore votre aide pour m'expliquer ou me donner quelques indices.

3. Tranmission d'une barrière de potentiel en «fonction delta»

Considérons une particule placée dans le même potentiel que celui de l'exercice précédent. La particule se propage maintenant de gauche à droite le long de l'axe Ox avec une énergie positive E.
a) Montrez qu'un état stationnaire de la particule peut s'écrire :

Si
Si
où k, A et B sont des constantes qui sont à calculer en termes de l'énergie E, de m et de (attention pour la discontinuité en x=0 de ).

Je vous écris le a) juste au cas, mais il se fait facilement, surtout quand on remarque que la particule allant de gauche à droite, il ne peut y avoir de terme en pour la fonction propre dans la région x>0. On obtient :

b) Soit (énergie de l'état lié de la particule). Calculez, en termes du paramètre sans dimension , le coefficient de réflexion R et le coefficient de transmission T de la barrière. Étudiez leurs variations selon E ; qu'arrive-t-il quand ? Comment cela peut-il être interprété? Montrez que, si l'expression de T est étendu à des valeurs négatives de E, [l'expression de T] diverge quand et discutez ce résultat.

Si on note le paramètre sans dimension , alors et . Ces deux coefficients évoluent grossomodo de façon inversement proportionnelle à E. On se rend compte que si alors , donc (et R vers 0). Ce résultat peut s'interpréter je pense comme le fait que E étant égale à l'énergie cinétique de la particule, plus E est grand, plus la particule doit se comporter comme un objet macroscopique dont on sait qu'une barrière de potentiel négatif ne réfléchit pas. Néanmoins, la masse de la particule étant indépendante de son énergie E, je vois mal en quoi E et pas m représente à la limite un comportement classique. Autrement, quand , et les deux coefficients divergent (R diverge positivement, T négativement). Je sais que si E est négatif, les équations en a) de la fonction propres sont erronées (on devrait avoir celles de la question précédente). Néanmoins, s'il faut vraiment essayer d'interpréter ce résultat en acceptant les équations en a), je ne sais pas trop comment interpréter ce résultat. Classiquement, la particule serait coincée dans la barrière de potentiel, mais bon... je ne vois pas...

Autrement, question comme ça, comment interpréter les valeurs de R et T si E=0 ; il me semble que cela signifie que la particule ne bouge pas, mais provenant néanmoins de moins l'infini, on ne pourra jamais la retrouver dans la région x>0.

4. Retournons à l'exercice 2 en utilisant cette fois la transformée de Fourier.

a) Écrivez l'équation à valeur propre de H et la transformée de Fourier de cette équation. Déduisez-en directement l'expression de , la transformée de Fourier de , en termes de p, E, et . Montrez ensuite qu'une seule valeur de E, une valeur négative, est possible. Seul l'état lié de la particule, et pas ceux dans lesquels elle se propage, est trouvé par cette méthode; pourquoi? Calculez ensuite et montrez qu'on peut trouver de cette façon tous les résultats de l'exercice 2.

On part donc avec . La transformée de Fourier est donc . Étant donné que est la transformée de Fourier de , on en déduit après un peu de calculs que . Je me rends compte que pour un p donné, il n'y a qu'une seule valeur de E possible, mais je ne vois pas nécessairement en quoi elle doit être négative (à moins que soit positif) ni en quoi c'est l'énergie de l'état lié de la particule (en passant, l'état lié de la particule est-il dépendant de la quantité de mouvement de celle-ci?) Je bloque à ce niveau et je ne sais pas comment répondre au reste. Quant à la partie b) de cette question, j'ai là aussi encore des difficultés, mais c'est en bonne partie des difficultés mathématiques je crois. Sinon, l'indication selon laquelle on utilise 'cette fois-ci' la transformée de Fourier me donne l'impression que ce n'était pas ce qu'il fallait faire à la question 2 pour calculer la densité de probabilité de la quantité de mouvement (ou plutôt qu'il y a une autre méthode pour y parvenir).

Merci pour votre aide

Universus