Abscisse curviligne.

[invitea9a1ed71]

Bonjour à tous, je suis un prépa médecine, et nous venons de finir (la leçon a été commencée hier) la mécanique classique. Je relis donc plus en détails mon cour et je me pose de nombreuses questions.
Nous avons abordé la notion d'abcisse curviligne, tout d'abord pour désigner la position d'un point, plusieurs méthodes éxistent (le vecteur position, les équations paramétriques) dont l'abcisse curviligne.
Il nous dit:
OM= s(t) est ce bien cela.
Nous enchainons donc avec la vitesse:
il l'exprime:
vec(v) = s'(t)*vec(T) (je ne sais pas à quoi correspond T)

Et enfin l'accélération
après un long calcul de dérivée (de la forme u'v+uv'), je ne savais d'ailleur pas que l'on pouvait dériver un vecteur;
il arrive à cette conclusion:
aT= dv/dt vecT et aN= v²/Rc vec(N) Rc est le rayon de courbure.
Mais pourquoi séparer ces deux éxpressions? à quoi correspond N, et quand utilise t'on l'une ou l'autre expression??
Merci!
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[invite58a61433]

Bonjour,

Pour répondre rapidement à tes questions désigne le vecteur tangent à la trajectoire. En particulier si on on désigne le vecteur position par on a . En effectuant une dérivation composée (se souvenir de en terminale) on trouve : où s est l'abscisse curviligne.
En identifiant à ton expression on a .

C'est le même principe pour l'accélération en identifiant on retrouve .

est un vecteur unitaire (de norme 1) normal à la trajectoire en particulier il est dirigé dans le sens de variation de . Par exemple si la trajectoire est une cercle centré en A (un point quelconque) sera dirigé vers le centre du cercle (et sera tangent au cercle dirigé selon la direction du mouvement).

[invite60be3959]

Bonjour,

représente un vecteur unitaire tangent à la courbe (trajectoire). La vitesse est la dérivée de la position en un point quelconque, puisque la dérivée représente le coefficient directeur de la tangente en ce même point, la vitesse est alors portée par ce vecteur.
Il représente un des 2 vecteurs de la base de Frenet, l'autre vecteur étant le vecteur normal(perpendiculaire à la tangente et dirigé vers "l'intérieur du virage") à la courbe.
Lorsque le paramètre "t" correspond au temps, les quantités et (où une courbe paramétrée dans le plan euclidien) représentent respectivement la vitesse et l'accélération d'un projectile ayant pour trajectoire cette courbe. Dans la base de Frenet, on remarque que la composante tangentielle de cette accélération est la quantité usuelle dv/dt (la vitesse linéaire étant selon le vecteur tangent), mais on remarque également que la composante normal n'est pas nulle et vaut v²/R, R le rayon de courbure de la trajectoire en ce point. On voit alors l'importance de la décomposition dans la repère de Frenet, car même pour une vitesse constante v, l'accélération n'est pas nulle, contrairement au cas d'un référentiel Galiléen(mouvement rectiligne uniforme). Cette accélération est appelée accélération centripète.

p.s: un vecteur n'est qu'une notation qui représente la donnée de plusieurs coordonnées (fonctions éventuellement du temps) dans une base quelconque. Lorsque l'on dérive un vecteur, on dérive en fait ses coordonnées, qui sont elles, des fonctions du temps ou de tout autre paramètre.

[invitea9a1ed71]

D'accords! Malgré toutes vos explications je ne comprends pas un exercice:
Un satélite de masse m évolue sur une orbite circulaire de rayon r autour de la terre à l'altitude z. On note M et R la masse et le rayon de la Terre respectivement.
1) En appliquant le principe fondamentale de la dynamique au satélite dans le réferentiel terrestre supposé Galliléen, exprimer la vitesse linéaire du satélite à l'altitude z (en utilisant l'expression de la force gravitationnelle)
Pour cette question mon prof n'utilise que l'expression
a=v²/R mais il écrit a= - v²/R et je ne comprends pas pourquoi ce -

2) Donner l'expression de la mesure algébrique de la vitesse au point C.
Ici mon prof ce sert de la seconde formule
a=dv/dt =0 car v cst.
Je ne comprends pas pourquoi il utilise d'abord l'une et ensuite l'autre, je pensais que cela composais une seul et mm formule.

[A voir en vidéo sur Futura]