Gravitation, distance, temps d'impact.

[invite60be3959]

C'est un tout autre pb que le tien qui je dois l'avouer n'a pas encore trouvé de réponse numérique mais personnellement j'y songe...

Euuuuuhhh ...si, je l'ai donné dans le message #13 de cette discussion : 21 ans et 10 mois pour 2 boulets de 25 cm de rayon.
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[invite1c0eeca8]

autant pour moi

j'essaierai de retrouver le résultat par une autre méthode si j'y parviens

@+

[invite1c0eeca8]

ok

en partant de l'éq diff d²x/dt² - 2Gm/x² = 0 et en s'aidant des conseils de nos amis mathématicien du forum futura

on multiplie par dx/dt donc

dx/dt.d²x/dt² - dx/dt.2Gm/x² = 0 puis on integre

1/2.(dx/dt)^2 + 2Gm.1/x = cste = 2Gm/L car à t = 0 pas de vitesse

(dx/dt)^2 = 4Gm(1/L - 1/x) d'où

(dx/dt) = [4Gm(1/L - 1/x)]^1/2 pour trouver enfin

dx/[4Gm(1/L - 1/x)]^1/2 = dt ce qui revient à l'expression de vaincent en prenant µ = m/2 et E = -2Gm/L ceci confirmant cela

en revanche j'étais bloqué pour la résolution de cette primitive ...

salut et merci pour la formule mathématica

[mach3]

pour ceux que ça intéresse, le moteur de recherche wolfram alpha peut calculer ce genre d'intégrale ou sortir la formule de la primitive. Il fonctionne avec le moteur de mathematica.

m@ch3

[invite6dffde4c]

Bonjour Mach3.
Je viens de tester votre lien. Il est super. Il met un peu Mathematica à la portée des prolos comme moi.
Merci beaucoup.
Cordialement,

[triall]

Super le lien Wolframalpha merci... en entrant (ax/(a-x))^0.5(x^0.5(x-a)+a(a-x)^0.5artan(x^0.5/(a-x)^0.5))/x^0.5 et en demandant la dérivée je ne retombe pas sur la fonction origine ...http://www.wolframalpha.com/input/?i...9%29%2Fx%5E0.5
A moins que le logiciel n'arrive pas à simplifier...
Cordialy

[triall]

Super le lien Wolframalpha merci... en entrant (ax/(a-x))^0.5(x^0.5(x-a)+a(a-x)^0.5artan(x^0.5/(a-x)^0.5))/x^0.5 et en demandant la dérivée je ne retombe pas sur la fonction origine ...http://www.wolframalpha.com/input/?i...9%29%2Fx%5E0.5
A moins que le logiciel n'arrive pas à simplifier...
Cordialy

[mc222]

Bonsoir à tous,

Je déterre ce sujet.
En effet, je pense avoir trouvé une démonstration satisfaisante.

On considère deux masses ponctuelles identiques de masse initialement séparées d'une distance et sans vitesse initiale.
On souhaite déterminer le temps que prendra la gravitation pour réunir ces deux masses si l'on néglige toutes autres forces.

Pour simplifier le problème, on peut imaginer une masse poncutuelle inamovible à mi-chemin entre nos deux masses.
On ne considérera maintenant que l'interaction de l'une des deux masses sur cette masse ponctuelle inamovible.
Le facteur 4 provient du fait que la distance d'interaction est maintenant divisée par 2 (interaction en 1/d²).

On a donc maintenant une masse ponctuelle sans vitesse initiale attirée par une masse ponctuelle inamovible distante de .
Le problème est unidimensionnel, on peut placer nos deux masses ponctuelles sur un axe dont l'origine est la masse inamovible.
L'énergie du système s'écrit donc :



L'énergie étant conservée, entre la situation initiale et une situation ultérieure, on trouve :
On aboutie donc rapidement à :



Soit :


qu'on intègre pour obtenir :



En posant on arrive a :

---

Il ne reste donc plus qu'à calculer l'intégrale suivante :



Cette intégrale peut s'écrire sous la forme d'une intégrale double ainsi :

s'il on somme sur des éléments d'aire verticaux.

Mais on peut tout aussi bien sommer sur des éléments d'aire horizontaux, soit :



On retombe sur une intégrale bien connue :

---

En faisant l'application numérique pour répondre à la question initiale de ce topic, on a :


m = 25 kg
L = 500 m

Je trouve presque 7 ans avant l'impact (6,82 ans).

Dites-moi ce que vous en pensez

Maxime

[jacknicklaus]

[...]
Dites-moi ce que vous en pensez

C'est correct. On retombe sur l'expression bien connue avec deux masses m1 et m2 quelconques :