Algebre tensorielle

[invite40f82214]

bonjour tous le monde,
Comme mon titre l'indique j'ai un probleme en algebre tensorielle:

-en mecanique j'ai une operation a faire entre un tenseur d'ordre 4 et un d'ordre 2 mais je ne sais pas comment faire.
-si les tenseurs auraient été d'ordre2 tous les 2 pas de probleme car je connais la representation matricielle, mais pour un ordr4 je c pas trop, je sais que c un produit contracter mais je me perds un peu ds les indices.
- surtout mon probleme et que je voudrais egalement ds certains cas inverser le probleme et avoir les composantes du tenseur d'ordre4 ds ca representation matricielle.
Et la je sais pas du tout comment faire et comment simplifier le probleme
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[invite40f82214]

un petit up

[invite8d75205f]

bonsoir,

La plupart des opérations sur les tenseurs ne nécessitent pas de les représenter sous forme matricielle (pour un ordre 4, ce serait coton comme tu t'en est rendu compte).
Mais au fait, quelle est ton opération?

a+

[invitea774bcd7]

Appelons A ton tenseur d'ordre 4, B ton tenseur d'ordre 2. Je suppose que tu veux multiplier les deux ?
Le résultat, C un tenseur d'ordre 2, devrait être :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea774bcd7]

Me suis trompé, je recommence
En supposant que l'opération que tu veux appliquer est le produit « normal » (en anglais inner product, par opposition au produit tensoriel ou outer product), le résultat C est un tenseur d'ordre 4 tel que


Je crois… Je m'y perds aussi

[invite40f82214]

Appelons A ton tenseur d'ordre 4, B ton tenseur d'ordre 2. Je suppose que tu veux multiplier les deux ?
Le résultat, C un tenseur d'ordre 2, devrait être :

voila c'est ca que je voulais en faite.
Je me perdais dans les indices.

En faite c'est la loi de hook generalisé.



A est le tenseur des rigidité, C celui des contraintes, B deplacement

=> j'ai retrouvé mon cours: Entre C et B on a un double produit contracté mais cela revient au meme l'operation ci dessus.

[invite40f82214]

par contre pour inverser la relation j'ai toujours du mal, car si se serait un produit matriciel avec des tenseurs d'ordre 2 OK mais la un double produit contracté à inverser avec un tenseur d'ordre4...............

[chaverondier]

Me suis trompé, je recommence
En supposant que l'opération que tu veux appliquer est le produit « normal » (en anglais inner product, par opposition au produit tensoriel ou outer product), le résultat C est un tenseur d'ordre 4 tel que

L'autre formule existe aussi. La formule ci-dessus correspond au produit simplement contracté (entre un tenseur d'ordre 4 et un tenseur d'ordre 2) et celle de ton précédent message correspond au produit doublement contracté. Par contre, on doit sommer sur des indices muets inférieurs sur l'un des deux tenseurs correspondant à des exposants sur l'autre. Il s'agit des considérations de composantes co et contravariantes d'un tenseur. On somme toujours sur le produit de composantes contravariantes d'un tenseur par les composantes covariantes correspondantes d'un autre tenseur (sauf cas très particulier des espaces vectoriels Euclidiens où ça n'a pas d'importance puisque la métrique est alors associée à l'opérateur identité).

[invite88ef51f0]

Salut,
Je ne comprends pas ce que tu veux dire par "inverser". Tu perds de l'information en contractant. C'est comme si tu voulais retrouver des vecteurs à partir de leur produit scalaire.

[chaverondier]

Salut,
Je ne comprends pas ce que tu veux dire par "inverser". Tu perds de l'information en contractant. C'est comme si tu voulais retrouver des vecteurs à partir de leur produit scalaire.

Je pense qu'il veut évoquer le passage de la relation C = A:B à la relation B = A':C.

C'est possible avec le produit doublement contracté ":" . En effet, dans ce cas, le système d'équations C = A:B, avec A tenseur d'ordre 4 supposé connu, C tenseur d'ordre 2 supposé connu et B tenseur d'ordre 2 recherché, possède bien le même nombre d'équations que d'inconnues Bij.

Dans le cas (C = A.B) où, au contraire, on a un produit simplement contracté entre A tenseur d'ordre 4 connu et B tenseur d'ordre 2 recherché (avec C tenseur d'ordre 4 connu) le système d'équations est surdéterminé. On a beaucoup plus d'équations que d'inconnues Bij (je me place implicitement dans le cas où tous les indices parcourent le même ensemble de valeurs).

[invite40f82214]

bonsoir,
pouvez vous m'expliquer le sens physique d'un double produit contracté svp ?

[invitea774bcd7]

Je pourrais pas le jurer mais il me semble me rappeler que j'ai déjà vu ça en EM non linéaire… Le tenseur de susceptibilité d'ordre 4 multiplié par je-ne-sais-quelle matrice…

[invite40f82214]

up upu up upup pup