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onde tensorielle



  1. #1
    vin_100

    onde tensorielle

    Bonjour,
    Suite à une lecture, il me vient une question peut-etre idiote.

    Comment définit-on l'amplitude d'une onde tensorielle?
    un truc du genre max de max? dans le cas d'un tenseur d'ordre 2.

    Et peut-on faire des choses équivalentes aux ondes vectorielles?
    par exemple définir une fréquence, une phase?

    Merci d'avance pour votre éclairage,

    -----


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  3. #2
    vin_100

    Re : onde tensorielle

    bonjour,
    je relance et précise ma pensée... qui peut apparaître sans intéret (et l'est probablement)
    On définit la propagation d'onde en se basant toujours sur un vecteur donné. Les exemples sont nombreux, en électromagnétisme, acoustique, etc. etc.
    Pourtant on parle d'ondes gravitionnelles qui sont (si je comprends bien) des ondes tensorielles. Malheureusement mes connaissances en relativité sont limités à de l'ultra-vulgarisation. Je ne pense pas être à même de saisir les subtilités...et notamment le formalisme mathématique.
    Mais du coup cela m'amène à me poser la question: comment définit-on une onde tensorielle???
    Bon il est vrai que je ne trouve aucun exemple physique pour illustrer cette question!
    D'ailleurs cela n'a peut-etre aucune utilité, ni aucun sens ?!
    Mais bon simplement sur le principe...

    Comment fait-on dans le cas tensoriel, en relativité par exemple, mais je préférerais dans un cas (peut-etre non réaliste) en considérant un espace 3d (on oublie la dimension temps) pour définir une onde, et donc ses caractéristiques tel que l'amplitude, direction de propagation, etc....

    Merci d'avance pour vos suggestions, même si c'est pour m'expliquer le coté idiot de ma question

    En espérant que mon état grippal en plein mois de juillet ne me soumet pas à des délires ou autres hallucinations...

  4. #3
    gatsu

    Re : onde tensorielle

    Citation Envoyé par vin_100 Voir le message
    Bonjour,
    Suite à une lecture, il me vient une question peut-etre idiote.

    Comment définit-on l'amplitude d'une onde tensorielle?
    un truc du genre max de max? dans le cas d'un tenseur d'ordre 2.

    Et peut-on faire des choses équivalentes aux ondes vectorielles?
    par exemple définir une fréquence, une phase?

    Merci d'avance pour votre éclairage,
    Ba en fait ça dépend....si chaque composante de ton tenseur de rang 2 n'obeit qu'à une équation de type d'Alembert disons, alors chaque composante de ton tenseur pourra être écrit comme une onde indépendamment des autres composantes a priori. (c'est le cas par exemple en électromagnétisme si on ne résout que l'équation de propagation sans s'occuper des equations de Maxwell : i.e. il n'y a aucun lien a priori entre E et B).
    En revanche, si tu disposes d'équations sur les amplitudes elles mêmes (reliant les composantes entre elles) (type equations de Maxwell justement) alors tu va expliciter la structure de ton onde (en propagation libre en électrmagnetisme par exemple, la famille () forme un trièdre local direct).

    L'electromagnétisme, que tu cites, est un très bon exemple puisqu'en fait c'est une théorie purement relativiste qui fait intervenir dans sa formulation complète classique (au sens de non quantique) le tenseur électromagnétique

    et

    Et les champs et sont en fait les composantes de ce tenseur.

  5. #4
    Rincevent

    Re : onde tensorielle

    salut,

    Citation Envoyé par vin_100 Voir le message
    Mais du coup cela m'amène à me poser la question: comment définit-on une onde tensorielle???
    plus précisément ce sont des ondes tensorielles d'ordre 2 d'un genre particulier. Grossièrement, la situation est la suivante : quand tu as une onde vectorielle, à chaque point de l'espace tu associes un vecteur, c'est-à-dire 3 nombres reliés entre eux. Une façon de faire est de se donner les 3 composantes selon un repère cartésien (Vx,Vy,Vz), une autre étant de se donner une amplitude (norme du vecteur) et 3 composantes selon un repère cartésien mais pour un vecteur normé (ce qui implique que seules 2 des composantes sont indépendantes et qu'il serait équivalent de se donner 2 angles pour indiquer la direction vers laquelle pointe le vecteur unitaire). L'effet d'une onde vectorielle peut-être visualisé comme un déplacement créé dans la direction du vecteur qui lui est associé, la norme du vecteur (amplitude de l'onde) donnant la "taille" du déplacement. Pour rappel, une onde scalaire est encore plus simple : elle associe à chaque point un seul nombre et son effet peut être visualisé comme une expansion : la valeur de l'onde en 1 point donne le taux d'expansion d'un petit élément de volume quand elle passe.

    quand tu as une onde tensorielle d'ordre 2, tu as en chaque point de l'espace un ensemble de 9 nombres qui forment une matrice 3x3 et qu'il est pratique de décomposer en 3x3=5+3+1. La raison de cette décomposition est la suivante : ce qui dit la "nature" (scalaire, vectorielle ou tensorielle) d'une onde est le comportement des composantes qui la décrivent sous l'effet d'une rotation. Comme tu le sais certainement, une onde scalaire c'est juste un nombre donc ça change pas sous une rotation alors qu'une onde vectorielle ce sont 3 nombres qui sont tels que si on fait une rotation ils se transforment ensemble comme un vecteur (via une matrice de passage). Or, on peut montrer que si on a une matrice 3x3 il est naturel de la décomposer sous la forme d'une matrice 3x3 antisymétrique (3 composantes équivalentes à un pseudo-vecteur) et d'une matrice 3x3 symétrique dont on soustrait la trace (6-1=5 composantes), cette dernière donnant un scalaire (1 composante). C'est le sens de 3x3=5+3+1.

    Pour résumer, si tu pars d'une matrice 3x3 quelconque :

    - la partie antisymétrique est un pseudo-vecteur. Comme tu le sais peut-être c'est aussi le cas du vecteur rotation utilisé en mécanique classique et ce n'est pas un hasard : l'effet d'une onde tensorielle d'ordre 2 antisymétrique (pseudo-vectorielle donc) est exactement ça : elle génère un mouvement de rotation en chaque point de l'espace. Et pour faire le lien avec une partie de ta question, tu vois toi-même très bien que tu peux définir ce tenseur par ses 3 composantes ou bien par sa norme et un (pseudo-)vecteur unitaire (2 composantes indépendantes).

    - la partie tensorielle d'ordre 2 symétrique est celle qui est reliée aux ondes gravitationnelles bien que pour ces dernières on ait un cas particulier. Un tenseur symétrique 3x3 courant est le tenseur des contraintes et une onde gravitationnelle va avoir un effet assez semblable.

    Généralement, pour un tenseur symétrique d'ordre 2, on ne sépare pas la trace et on a donc 6 degrés de liberté. On peut visualiser ces 6 composantes comme un ensemble Axx, Axy, Axz, Ayy, Ayz, Azz, de la même façon que lorsque l'on représente un vecteur par ses 3 composantes. Si maintenant on cherche une représentation plus géométrique (comme celle d'un vecteur par une flèche ayant une certaine amplitude et une certaine direction), alors il faut imaginer la matrice 3x3 symétrique comme un ellipsoïde.

    La trace de la matrice est à relier au volume de l'ellipsoïde. Ca se comprend car la trace est un scalaire (elle ne change pas sous une rotation) or, une onde scalaire, c'est une onde d'expansion. Ainsi, c'est elle qui est la notion qui se rapproche le plus de celle d'amplitude pour un vecteur. Les 5 composantes/degrés de liberté qui restent peuvent donc être visualisé(e)s sous la forme d'un ellipsoïde de volume 1.

    Par exemple 2 degrés pour l'orientation spatiale de l'axe principale, 1 degré pour la direction du second axe dans le plan orthogonal à celui défini par le premier axe, 1 autre degré pour le rapport entre les 2 longueurs de ces axes et le dernier pour le rapport entre la longueur du troisième axe et celle de l'un des 2 autres. Cet ellipsoïde te donne ensuite la déformation (sans changement de volume si on parle de l'ellipsoïde de volume 1 c'est-à-dire une onde purement tensorielle) qui affecte un ensemble de masses tests au passage de l'onde. Parmi ces 5 degrés de déformation, 3 sont longitudinaux et 2 sont transverses. Ce qui se passe dans le cas d'une onde gravitationnelle, c'est que l'on peut montrer que puisque l'onde se déplace à la célérité c (équivalent à "puisque le graviton n'a pas de masse") alors seules restent les 2 polarisations transverses.

    tu peux visualiser tout ça sur les liens suivants :

    - la page sur les ondes gravitationnelles du dossier FS sur la RG

    - à la page 8 de cet article tu as une illustration des 6 polarisations possibles (pour une théorie avec onde tensorielle massive et champ scalaire) ainsi que de leurs effets

    - une page sur les ondes gravitationnelles avec diverses animations


    ps: et pour ce qui est de définir une phase et une fréquence, ça se fait de la même façon pour toutes les ondes : via une transformation de Fourier temporelle
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  6. #5
    vin_100

    Re : onde tensorielle

    tout d'abord, merci à tous les deux de votre intéret!

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    ...Pour résumer, si tu pars d'une matrice 3x3 quelconque :

    - la partie antisymétrique est un pseudo-vecteur. Comme tu le sais peut-être c'est aussi le cas du vecteur rotation utilisé en mécanique classique et ce n'est pas un hasard : l'effet d'une onde tensorielle d'ordre 2 antisymétrique (pseudo-vectorielle donc) est exactement ça : elle génère un mouvement de rotation en chaque point de l'espace. Et pour faire le lien avec une partie de ta question, tu vois toi-même très bien que tu peux définir ce tenseur par ses 3 composantes ou bien par sa norme et un (pseudo-)vecteur unitaire (2 composantes indépendantes).

    - la partie tensorielle d'ordre 2 symétrique est celle qui est reliée aux ondes gravitationnelles bien que pour ces dernières on ait un cas particulier. Un tenseur symétrique 3x3 courant est le tenseur des contraintes et une onde gravitationnelle va avoir un effet assez semblable.
    Jusqu'ici tout va bien!

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message

    Généralement, pour un tenseur symétrique d'ordre 2, on ne sépare pas la trace et on a donc 6 degrés de liberté. On peut visualiser ces 6 composantes comme un ensemble Axx, Axy, Axz, Ayy, Ayz, Azz, de la même façon que lorsque l'on représente un vecteur par ses 3 composantes. Si maintenant on cherche une représentation plus géométrique (comme celle d'un vecteur par une flèche ayant une certaine amplitude et une certaine direction), alors il faut imaginer la matrice 3x3 symétrique comme un ellipsoïde.

    La trace de la matrice est à relier au volume de l'ellipsoïde. Ca se comprend car la trace est un scalaire (elle ne change pas sous une rotation) or, une onde scalaire, c'est une onde d'expansion. Ainsi, c'est elle qui est la notion qui se rapproche le plus de celle d'amplitude pour un vecteur.
    Ok, je comprends...
    D'ailleurs pour pousser l'analogie, en prenant le tenseur des déformations, ce que tu entends par onde d'expansion se comprend bien avec la dilatation.

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    Les 5 composantes/degrés de liberté qui restent peuvent donc être visualisé(e)s sous la forme d'un ellipsoïde de volume 1.

    Par exemple 2 degrés pour l'orientation spatiale de l'axe principale, 1 degré pour la direction du second axe dans le plan orthogonal à celui défini par le premier axe, 1 autre degré pour le rapport entre les 2 longueurs de ces axes et le dernier pour le rapport entre la longueur du troisième axe et celle de l'un des 2 autres. Cet ellipsoïde te donne ensuite la déformation (sans changement de volume si on parle de l'ellipsoïde de volume 1 c'est-à-dire une onde purement tensorielle) qui affecte un ensemble de masses tests au passage de l'onde
    Et c'est la où je lache les pédales...
    mais j'arrive même pas à voir vraiment pourquoi je flanche...
    encore que le "par exemple" et le "onde PUREMENT tensorielle" m'échappe...
    Un lien avec la partie déviatorique du tenseur?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    vin_100

    Re : onde tensorielle

    Pour l'exemple avec le tenseur des contraintes, le problème est que je ne vois pas comment on pourrait parler d'onde dans ce cas... a mon sens, l'onde est a rapproché au vecteur des déplacements (au sens de la propagation de proche en proche).

    Apparemment, je ne vois comme candidat que le domaine de la Relativité pour être amené à observer des "ondes tensorielles"... , non ?

    NB: Pour les liens je regarde... mais faut le temps de digérer

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  10. #7
    vin_100

    Re : onde tensorielle

    Je suis désolé si j'enchaine de suite mais ca me turlupine...

    Pour reprendre le "par exemple" de l'exemple de Rincevent,
    Si j'ai bien saisi, cela est issu du choix a priori de rapprocher la trace du tenseur à l'amplitude, mais il pourrait être tout aussi naturel d'employer un autre invariant du tenseur (comme par exemple le déterminant), et d'ailleurs à plus forte raison toute combinaison des invariants (convenablement choisi pour des raisons dimensionnelles).
    Du coup, on fait un choix a priori, ce qui n'est pas le cas pour dans le cadre d'une onde vectorielle... et ca me semble relativement curieux... mais je dois avoir du mal à "visualiser la bête" !!!

    EDIT: quand j'y pense, c'est sans doute lié au fait, que le seul invariant scalaire d'un vecteur est sa norme alors que l'on a plusieurs invariants pour un tenseur d'ordre 2 ou plus, d'où plusieurs définitions possibles pour l'onde.
    Dernière modification par vin_100 ; 13/07/2007 à 15h40.

  11. #8
    vin_100

    Re : onde tensorielle

    SNIFFF personne pour m'aider
    et encore !!!

    Si je dis des bêtises, dites-le moi...
    Si je comprends rien, dites le moi...
    Si tout le monde s'en fout, et bin...... tant pis!!!

    Nan sérieusement, je ne visualise pas, mais le problème n'ayant pas de fondement physique, peut-être aurais-je du m'adresser aux matheux...

    Merci d'avance pour toute participation...
    Cordialement,

  12. #9
    Rincevent

    Re : onde tensorielle

    Citation Envoyé par vin_100 Voir le message
    encore que le "par exemple" et le "onde PUREMENT tensorielle" m'échappe... Un lien avec la partie déviatorique du tenseur?
    par purement je voulais dire "sans trace" celle-ci étant une "partie" scalaire

    Citation Envoyé par vin_100 Voir le message
    Pour l'exemple avec le tenseur des contraintes, le problème est que je ne vois pas comment on pourrait parler d'onde dans ce cas... a mon sens, l'onde est a rapproché au vecteur des déplacements (au sens de la propagation de proche en proche).
    mouais, tu dois avoir raison... disons que je voyais une onde de déformation décrite par la propagation du tenseur des contraintes mais ça complique les équations pour rien et effectivement on utilise plutôt une équation vectorielle...

    Apparemment, je ne vois comme candidat que le domaine de la Relativité pour être amené à observer des "ondes tensorielles"... , non ?
    fondamentales, probablement...

    Citation Envoyé par vin_100 Voir le message
    EDIT: quand j'y pense, c'est sans doute lié au fait, que le seul invariant scalaire d'un vecteur est sa norme alors que l'on a plusieurs invariants pour un tenseur d'ordre 2 ou plus, d'où plusieurs définitions possibles pour l'onde.
    c'est ça

    Nan sérieusement, je ne visualise pas, mais le problème n'ayant pas de fondement physique
    as-tu regardé les figures de l'article que je t'ai cité ? (la fameuse page 8 )


    ps : les ondes gravitationnelles ont un fondement physique...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  13. #10
    vin_100

    Re : onde tensorielle

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    as-tu regardé les figures de l'article que je t'ai cité ? (la fameuse page 8 )
    Oui mais c'est sans honte que je peux te dire que je n'y ai rien compris et j'exagère à peine en écrivant cela...désolé!
    trop de lacune dans ce domaine. En fait je suis gêné par cette histoire de propagation hors-plan ou dans le plan................
    autre exemple: c'est quoi la flèche dans d e et f ??????

    Question à 2 sous (donc peut-etre grosse betise):
    On les représente en 3d, et on les traite sans la dimension temporelle, or je croyais l'espace-temps "lié" en relativité...
    mais ici on "enlève" la dimension temporelle pour recouvrer l'aspect ondulatoire, c'est bien ca?
    En d'autres termes, ces états de polarisation sont-ils vrai pour des tenseurs que j'appellerais "classiques" par abus de langage (3x3) ?
    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    ps : les ondes gravitationnelles ont un fondement physique...
    Arghhhhhhhh
    Ce n'est pas ce que je voulais dire, et ca n'est certainement pas moi qui vais dire le contraire (comme tu t'en doutes, vu le niveau de mes questions),
    j'évoquais là un contexte de physique classique...hors considérations relativistes!

    Une question (toujours à deux sous):
    J'ai lu dans un autre fil le questionnement au sujet de l'isotropie de l'espace... les ondes gravitionnelles, un axe de recherche????
    Cela dit, c'est déjà compliqué... alors une version anisotrope


    Merci en tout cas pour le temps passé!
    Cordialement,

  14. #11
    Rincevent

    Re : onde tensorielle

    Citation Envoyé par vin_100 Voir le message
    Oui mais c'est sans honte que je peux te dire que je n'y ai rien compris et j'exagère à peine en écrivant cela...désolé!
    c'est moi qui suis désolé : je n'avais rien expliqué car je trouvais la figure claire...

    trop de lacune dans ce domaine.
    je pense plutôt que tu surestimes la difficulté mise en jeu sur ce truc particulier...

    En fait je suis gêné par cette histoire de propagation hors-plan ou dans le plan................ autre exemple: c'est quoi la flèche dans d e et f ??????
    chaque figure représente un ensemble de masses tests réparties en cercle (ou ellipse pour certains cas afin de faciliter la visualisation) avant le passage de l'onde (trait plein) et après (pointilles). L'onde en question se propage le long de l'axe des z.

    les 2 premières ondes sont les polarisations nommés + et x d'une onde gravitationnelle usuelle de la RG : elle progresse dans la direction orthogonale au plan du papier (z) et son effet est de déformer une ellipse de masses tests comprises dans un plan orthogonal à sa direction de propagation (xy).

    la troisième figure illustre une onde scalaire (d'expansion).

    les figures d à f sont des ondes polarisées longitudalement (ou longitudanilationnement ? je sais plus comment on dit ). La flèche indique la direction de propagation (vers où pointe le vecteur d'onde k : le long de l'axe z) et pour ces ondes l'effet est visualisé en considérant un ensemble de masses tests comprises dans un plan parallèle au vecteur d'onde (plan qui comprend donc z). Le cas (d) correspond donc à une sorte d'onde d'expansion, mais qui expand seulement dans la direction de propagation, alors que les ondes (e) et (f) ont le même effet que l'une des ondes gravitationnelles usuelles (b) mais dans 2 plans parallèles à la direction de propagation (note bien que ces 2 figurent diffèrent par leurs plans)

    pour visualiser les deux premières polarisations je te conseille de zieuter les autres liens que je t'avais indiqués : y'a des animations et c'est tout de suite plus clair

    Question à 2 sous (donc peut-etre grosse betise):
    On les représente en 3d, et on les traite sans la dimension temporelle, or je croyais l'espace-temps "lié" en relativité...
    mais ici on "enlève" la dimension temporelle pour recouvrer l'aspect ondulatoire, c'est bien ca?
    non. C'est surtout que la relativité repose sur un principe d'invariance qui te laisse libre choix de choisir un système de coordonnées. Or, on peut montrer qu'il est toujours possible d'en choisir un où les termes du type sont nuls ou dépendent des termes du genre . En clair, la partie temporelle n'est pas physique.

    En d'autres termes, ces états de polarisation sont-ils vrai pour des tenseurs que j'appellerais "classiques" par abus de langage (3x3) ?
    ils le sont.

    J'ai lu dans un autre fil le questionnement au sujet de l'isotropie de l'espace... les ondes gravitionnelles, un axe de recherche????
    Cela dit, c'est déjà compliqué... alors une version anisotrope
    comprends pas la question sous-jacente

    Merci en tout cas pour le temps passé!
    de rien...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  15. #12
    vin_100

    Re : onde tensorielle

    Bon alors avec cette explication!!!
    Ca va nettement mieux!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    je pense plutôt que tu surestimes la difficulté mise en jeu sur ce truc particulier...
    Peut-être en effet, mais vu que je regarde un truc dont je ne connais rien, je suis méfiant par prudence sur ma compréhension.

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message

    chaque figure représente un ensemble de masses tests réparties en cercle (ou ellipse pour certains cas afin de faciliter la visualisation) avant le passage de l'onde (trait plein) et après (pointilles). L'onde en question se propage le long de l'axe des z.

    les 2 premières ondes sont les polarisations nommés + et x d'une onde gravitationnelle usuelle de la RG : elle progresse dans la direction orthogonale au plan du papier (z) et son effet est de déformer une ellipse de masses tests comprises dans un plan orthogonal à sa direction de propagation (xy).

    la troisième figure illustre une onde scalaire (d'expansion).
    Yes la troisième je l'avais repéré...!!!!! quand même...

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    les figures d à f sont des ondes polarisées longitudalement (ou longitudanilationnement ? je sais plus comment on dit ).
    Si j'en ai perdu mon latin sur ces figures, toi c'est ton francais
    longitudinalement

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    non. C'est surtout que la relativité repose sur un principe d'invariance qui te laisse libre choix de choisir un système de coordonnées. Or, on peut montrer qu'il est toujours possible d'en choisir un où les termes du type sont nuls ou dépendent des termes du genre . En clair, la partie temporelle n'est pas physique.
    Pas tout saisi mais ok!

    Quant à la question sous-jacente, c'était lié au fait, que cela doit propager différemment selon des directions envisagées (je sais pas ce que j'ecris à un vraiment un sens...)
    Autrement dit, une anisotropie doit se voir à plus grande échelle en observant une onde dans un des 6 états de polarisation, et notamment sa propagation!?

    En tout cas, c'était vraiment instructif.
    Merci encore

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