Électrostatique : sphères creuses, champs et potentiel.

[Goldtop]

Bonsoir à tous.

Je suis en L2 de physique et bloque sur un exercice portant donc sur le champs et le potentiel reignant à l'intérieur d'une sphère creuse de centre O, de rayon R portant une charge surfacique uniforme sigma.
On doit dans un premier temps donner le champ électrostatique à l'intérieur de la sphère puis, en déduire le potentiel.

Je ne sais pas vraiment comment démarrer, j'ai pensé à montrer que le champs est constant en tout point de la sphère puis, le calculer par exemple en 0.
Cependant, je me demande si la question ne demande pas plutôt de calculer le champs total qui règne à l'intérieur de la sphère.

Merci d'avance pour vôtre aide.
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[LPFR]

Bonjour.
Vue la symétrie du problème, utilisez le théorème de Gauss:
Le flux du champ qui traverse une surface fermée est égal à toute la charge à l'intérieur du volume divisée par epsilon zéro.
Dans ce cas, prenez uns sphère centrée comme surface. Le flux est facile à calculer, et la charge à l'intérieur de la surface encore plus.
Une fois que vous aurez le champ, la différence de potentiel entre deux points (et non "LE" potentiel), est calculable en intégrant le champ électrique entre ces deux points.
Au revoir.

[tempsreel1]

bjr , c'est une sphere metallique ou pas ? merci

[Goldtop]

Merci pour vos réponses alors:

Bonjour.
Vue la symétrie du problème, utilisez le théorème de Gauss:
Le flux du champ qui traverse une surface fermée est égal à toute la charge à l'intérieur du volume divisée par epsilon zéro.
Dans ce cas, prenez uns sphère centrée comme surface. Le flux est facile à calculer, et la charge à l'intérieur de la surface encore plus.
Une fois que vous aurez le champ, la différence de potentiel entre deux points (et non "LE" potentiel), est calculable en intégrant le champ électrique entre ces deux points.
Au revoir.

Et bien enfait je cherche un moyen pour résoudre l'exercice. Le prof de TD aime nous faire calculer les intégrales à chaque fois sans jamais utiliser le théorème de Gauss alors que nous l'avons fais en cours.
Pour le potentiel, d'après la question nous avions compris qu'il fallait calculer le potentiel total qui règne dans la sphère, par exemple en intégrant le potentiel sur tout le volume.

En ce qui concerne ta question tempsreel1, rien n'est précisé sur la nature de la sphère dans l'énoncé donc à priori elle n'est pas métallique.

On a pas mal cherché dans des bouquins d'exos mais on a jamais retrouvé la même configuration, soit les sphères étaient pleines, soit la distribution de charge était volumique et non surfacique du coup nous sommes un peu coincés.

[A voir en vidéo sur Futura]

[tempsreel1]

bah , le champ est nul à l'interieur

[vaincent]

En fait c'est un exercice à haut niveau de symétrie. En effet un point M quelconque à l'intérieur de la sphère verra devant et derrière lui une infinité de cercles chargés, dont les centres sont sur l'axe OM, O étant le centre de la sphère. Le résultat (que tu connais peut-être déjà) que l'on doit trouver est..... un champs nul partout dans la sphère ! Et oui, le champs créé par les charges prochent du point M est exactement compensé par celui créé par un nombre supérieur de charges, mais plus éloignées.

Toujours est-il que vu la symétrie du problème, on peut, sans restreindre la généralité du calcul, placé un point M quelconque sur l'axe Ox à une distance x du centre de la sphère (la sphère étant centrée à l'origine), et regarder la sphère dans le plan xOy.

Le mieux à partir de ce moment là, est de calculer le champs créé par une calotte sphérique élémentaire située à une distance r du centre (compris entre -R et R, le rayon de la sphère), dont la doite (PO), P un point du contour, fait un angle thêta avec l'axe Ox, de rayon rhô (qui peut être exprimée en fonction de r et thêta), et d'épaisseur dr. Un élément de surface de cette calotte autour du point P, est à une distance de M qui s'exprime aisément en fonction de rhô, r et x. Graphiquement on trace une tranche d'épaisseur dr parallèle à l'axe Oy. Une fois ce (gros) travail fait, il ne reste plus qu'à intégrer sur r et thêta, pour finalement obtenir une valeur nulle !

p.s à tempsréel1 : le but est de le montrer justement !

[Goldtop]

Merci de vos réponses.

Intuitivement on était bien tenté de dire que le champs était nul mais on ne savait pas vraiment quels arguments de symétrie utilisés.
On avait pensé au raisonnemment suivant:
Le système présentant des invariances par rotation suivant les trois axes de l'espace on en conclue que le champs est constant (puisqu'il ne dépend pas de rho, phi et z).
De plus, tout plan passant par O est plan de symétrie. Sachant que le champs appartient à l'ensemble des plans de symétrie on est déduit que le champs en O est nul.
Ce qui nous permet de dire que le champs est nul dans l'ensemble de la sphère.

En ce qui concerne le potentiel, puisque le champs est défini en tout point de la sphère on peut l'intégrer pour trouver le potentiel qui est donc constant.
Est-il nécessaire de le calculer explicitement?

[vaincent]

Merci de vos réponses.

Intuitivement on était bien tenté de dire que le champs était nul mais on ne savait pas vraiment quels arguments de symétrie utilisés.
On avait pensé au raisonnemment suivant:
Le système présentant des invariances par rotation suivant les trois axes de l'espace on en conclue que le champs est constant (puisqu'il ne dépend pas de rho, phi et z).
De plus, tout plan passant par O est plan de symétrie. Sachant que le champs appartient à l'ensemble des plans de symétrie on est déduit que le champs en O est nul.
Ce qui nous permet de dire que le champs est nul dans l'ensemble de la sphère.

En ce qui concerne le potentiel, puisque le champs est défini en tout point de la sphère on peut l'intégrer pour trouver le potentiel qui est donc constant.
Est-il nécessaire de le calculer explicitement?

rhô, phi et z sont plutôt les coordonnées cylindriques, pour les coordonnées sphérique on utilise r, phi, thêta. Mais bon je pense que c'est simplement une erreur d'inattention. L'invariance par rotation stipule que le champs ne dépend pas de phi et de thêta, mais peut très bien dépendre de r (comme dans le calcul à l'extérieur de la sphère). En effet ton raisonnement amènerait à conclure qu'à l'extérieur de la sphère, le champs serait constant, ce qui n'est pas le cas(le champs est radial). L'indépendance du champs à l'intérieur de la sphère vis-à-vis de la composante radiale n'est pas triviale. Il faudrait pour cela que la distribution de charge soit homogène (invariante par translation à partir du point O), ce qui n'est pas le cas non plus. Les propriétés de symétrie d'une distribution de charge ne permettent pas toujours de déduire que le champs est invariant selon telle ou telle variable.
A l'intérieur de la sphère, on a à faire à une symétrie de la distribution de charge non-triviale qui ne peut se déduire que par le calcul. (c'est l'intérêt de l'exercice !)
Bon courage !

[Goldtop]

Oui désolé pour les coordonnées .
Justement dans l'enoncé il est dit que la distribution de charge est surfacique et homogène. Donc logiquement le raisonnement est juste?
Par contre, en regardant mon cours je suis tombé sur un passge qui me laisse perplexe.
Le prof prend l'exemple d'une sphère pleine chargée, il déduit du fait que la coordonnée rho(r) est invariante par symétrie par tout plan par le centre que le champs est radial.
Je ne comprends pas pourquoi la déduction n'est pas que le champs ne dépend pas de rho(r).

Merci

[procuste]

Il y a deux étapes succesives :

-- l'invariance par rotation (sur theta et phi) qui nous apprend que



c'est un principe très général, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits (principe de Curie). Ce qui fait que tu pourrais utiliser ce raisonnement pour beaucoup d'autres choses (s'il s'agit de vecteurs polaires !).

-- puis, le fait que tout plan passant par O est plan de symétrie de la distribution de charge permet de dire que appartient à chacun de ces plans, donc que :

,

ça, c'est encore le principe de Curie, lorsqu'on s'intéresse à ce qu'il se passe sur le plan de symétrie.

[vaincent]

Justement dans l'enoncé il est dit que la distribution de charge est surfacique et homogène. Donc logiquement le raisonnement est juste?

Non, je voulais dire homogène selon la coordonnée radiale(et encore il faudrait que tout l'espace soit homogène pour que le champs soit constant partout), et non uniquement sur la sphère.

Le prof prend l'exemple d'une sphère pleine chargée, il déduit du fait que la coordonnée rho(r) est invariante par symétrie par tout plan par le centre que le champs est radial.
Je ne comprends pas pourquoi la déduction n'est pas que le champs ne dépend pas de rho(r).

à une distance r du centre fixée, une rotation quelconque selon phi ou thêta ne change pas la distribution de charge vue de ce point. Par contre à une distance r'>r, la distribution de charge totale vue de ce point à augmentée, la valeur du champs n'est donc plus la même. Le champs ne dépend donc ni de phi, ni de thêta, mais de r.

[Goldtop]

Entendu,merci pour vos réponses, il ne me reste plus qu'à calculer le champs radial alors

[Goldtop]

L'énoncé demande de déduire du champs, le potentiel électrique.
Faut-il calculer le potentiel en un point, ou calculer un potentiel total intérieur à la sphère?
Merci