calcul de la force électrostatique entre 2 sphères

[invitec00fa9f6]

Bonjour.
On a 2 sphères de rayons R1 et R2, distantes de d et portants des distributions volumiques uniformes de charge et .
Comment calcule-t-on la force électrostatique d'interaction entre les sphères ?
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[calculair]

J'aurais tendance à dire tout ce passe comme si les charges sont concentrées au centre la sphère.

Mais je ne sais le demontrer
Application du theoreme de Gauss pour le champ
pour la force je ne sais pas

Sa suppose que les charges ne se deplacent pas par influence.

[inviteaccb007d]

Bonjour,

Je tent un truc mais je ne suis pas sur du tout, tu peux calculer le champ électrique créé par la sphère 1 dans l'espace à l'aide du théorème de Gauss. Ensuite, tu calcules la force électrostatique élémentaire dF sur un élément dq2 de la sphère 2 dF(M) = dq2(M) E1(M) et ensuite tu intègres sur toutes les charges de la sphère 2 pour avoir la force électrostatique totale.

Cordialement,

[calculair]

Le champ est radial

Le flux est donné par Gauss Phi = 4 pi D²E = Somme des charges interieure à la surface / e°

Aprés il y a une symetrie de revolution autour de l'axe joignant les centres

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec00fa9f6]

Quelqu'un connait-il la solution ou une page web où on peut trouver le calcul détaillé du problème ?

[invite6dffde4c]

J'aurais tendance à dire tout ce passe comme si les charges sont concentrées au centre la sphère.
Mais je ne sais le demontrer

Bonjour.
C'est parfaitement exact. La force est la même que si les charges se trouvaient concentrés au centre de chaque sphère... pour une densité de charge à symétrie sphérique.
La démonstration n'est pas compliquée mais longuette. Il fait se taper l'intégrale sur le volume de la sphère. On calcule la force pour un anneau puis on va jusqu'à la coquille. Une fois qu'on l'a démontré pour une coquille, le tout est joué. Une sphère ce n'est qu'un tas de coquilles.
Au revoir.

[inviteaccb007d]

Si tu ne fais pas d'hypothèse simplificatrice telle que d >> R1,R2, je pense que le calcul n'est pas faisable analytiquement et tu dois passer par une résolution numérique...c'est un peu comme le champ électrique créé par un dipole.

[invitea3eb043e]

On doit supposer que les sphères ne s'influencent pas et que la répartition des charges est imposée même si les sphères sont en présence.
Pour calculer le champ électrique E1 engendré par la sphère 1, on applique le théorème de Gauss et on trouve que le champ est le même que si toute la charge Q1 était concentrée au centre donc la force sur 2 est la même que si toute la charge Q1 était au centre. La force exercée par Q2 sur Q1 est la même au sens près.
On peut évidemment retourner le raisonnement et dire la même chose pour la sphère 2.

[invite1a5cb2f8]

Bonjour.
C'est parfaitement exact. La force est la même que si les charges se trouvaient concentrés au centre de chaque sphère... pour une densité de charge à symétrie sphérique.
La démonstration n'est pas compliquée mais longuette. Il fait se taper l'intégrale sur le volume de la sphère. On calcule la force pour un anneau puis on va jusqu'à la coquille. Une fois qu'on l'a démontré pour une coquille, le tout est joué. Une sphère ce n'est qu'un tas de coquilles.
Au revoir.

Même pas besoin de faire d'intégrales. On utilise le "double Gauss"

Gauss une fois pour trouver que le champ magnétique exercé par la sphère 1 en un point est .

Maintenant il faudrait faire l'intégrale sur la sphère 2 du champ crée en tout point par la sphère 1, mais on se rend compte que c'est exactement la même intégrale (avec le facteur Q1 en plus) qu'on a évité de calculer précédemment grace à Gauss.
Donc Gauss deuxième fois, et le résultat est ou cette fois-ci est le vecteur normé à 1 ayant pour direction la droite passant par les deux centres des sphères.

C'est le calcul qui correspond à ce que Jeanpaul a expliqué, si j'ai bien compris.

[invite6dffde4c]

Maintenant il faudrait faire l'intégrale sur la sphère 2 du champ crée en tout point par la sphère 1, mais on se rend compte que c'est exactement la même intégrale (avec le facteur Q1 en plus) qu'on a évité de calculer précédemment grace à Gauss.
Donc Gauss deuxième fois, et le résultat est ou cette fois-ci est le vecteur normé à 1 ayant pour direction la droite passant par les deux centres des sphères.

Bonjour.
Je suis peut-être bête, mais je n'ai pas compris. On peut, par Gauss, calculer le champ électrique créé par chacune des deux sphères. Mais pour calculer la force il faut faire la somme (intégrale) de champ par la charge dans l'autre sphère. El la direction de chacune des petites forces n'est pas la même, donc il faut faire la somme des composantes, avec un cosinus ou similaire.
Pouvez-vous expliciter votre raisonnement? Merci.
Au revoir.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Pour répondre à la question de Notarobot, je joins un morceau de fascicule avec la démonstration pour des forces gravitationnelles. Il va de soi que je ne l'ai pas inventée. Je l'ai copié d'un bouquin de physique américain.
Pour l'adapter aux forces électriques, il faut remplacer tout ce qui est M par q et la constante de gravitation universelle G par

Il est peut probable que cet calcul figure dans les livres de texte s'il pouvait être remplace par un "double Gauss".
Au revoir.

[calculair]

Bonjour.
Pour répondre à la question de Notarobot, je joins un morceau de fascicule avec la démonstration pour des forces gravitationnelles. Il va de soi que je ne l'ai pas inventée. Je l'ai copié d'un bouquin de physique américain.
Pour l'adapter aux forces électriques, il faut remplacer tout ce qui est M par q et la constante de gravitation universelle G par

Il est peut probable que cet calcul figure dans les livres de texte s'il pouvait être remplace par un "double Gauss".
Au revoir.

c'est normal que l'on trouve le même resultat que pour des masses car les 2 champs sont newtonniens.

Cela suppose que les charges ne se deplacent pas comme il a eté dejà signalé

on pourrait se reposer le même problème avec des sphéres conductrices portant la même charges totales que tes sphères en materiaux isolants

le calcul ne me parait pas faisable facilement....

Gauss s'est foutu .....
Le champ n'est plus radial
La repartition des charges evolue avec la distance....

[invite6dffde4c]

on pourrait se reposer le même problème avec des sphéres conductrices portant la même charges totales que tes sphères en materiaux isolants

le calcul ne me parait pas faisable facilement....

Gauss s'est foutu .....
Le champ n'est plus radial
La repartition des charges evolue avec la distance....

Si mes (lointains) souvenirs sont bons, on le résout en utilisant la méthode des images.
A revoir.

[invite1a5cb2f8]

Bonjour.
Je suis peut-être bête, mais je n'ai pas compris. On peut, par Gauss, calculer le champ électrique créé par chacune des deux sphères. Mais pour calculer la force il faut faire la somme (intégrale) de champ par la charge dans l'autre sphère. El la direction de chacune des petites forces n'est pas la même, donc il faut faire la somme des composantes, avec un cosinus ou similaire.
Pouvez-vous expliciter votre raisonnement? Merci.
Au revoir.

Oh oh un sceptique, c'est bien . Par contre ca va me forcer à écrire des intégrales en tex, ca c'est moins bien

Alors, le théorème de Gauss avant tout chose n'est pas physique, c'est mathématique. Ca nous dit entre autre que pour calculer le champ électrique produit par une sphère chargée, au lieu de faire l'intégrale suivante:

comme ce champ satisfait (mathématiquement) l'équation de Maxwell-Gauss on peut utiliser ostrogradsky et les symétries du problème pour prouver que
,
O1 est le centre de la sphère 1. Donc finalement le Th de Gauss nous dit que:


maintenant la force exercée par la sphère 1 sur la sphère 2 est

ou l'intégrale est faite cette fois sur la sphère 2 (j'ai aussi supposé que les deux sphères ne rentrent pas l'une dans l'autre).
Ce qui est, au facteur près, la même intégrale qui a été donnée précédemment par le théorème de Gauss. On trouve donc sans calcul le résultat que j'ai donné dans un message précédent.


Cette méthode n'est pas connue (je ne l'ai jamais vue nulle part) , elle est de moi (bien qu'il n'y ai pas de quoi se venter, c'est juste Gauss appliqué deux fois). Ca marche pour deux distributions de charges dont le champ produit en un point par l'une et par l'autre est connu (par Gauss de préférence), et dont le champ produit par l'un est en (du moins dans le domaine de l'espace qui nous intéresse, pour la sphère ce n'est pas vrai à l'intérieur mais ca ne pose pas de pb tant que les sphères ne peuvent pas se rentrer dedans) tout comme le champ électrique crée par une charge élémentaire.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Merci Candide_IeS.
J'ai compris votre raisonnement et je suis d'accord.
Au revoir.

[invitec00fa9f6]

Merci Candide !

[invite1a5cb2f8]

Bonjour.
Merci Candide_IeS.
J'ai compris votre raisonnement et je suis d'accord.
Au revoir.

Merci Candide !

De rien!

[calculair]

Re bonjour Candide_leS

Félicitations pour votre raisonnement, Voila une demonstration qui devrait devenir un grand classique

Je suis un peu en retard mais je me souviendrais de toi maintenant