Demi sphère chargée

[invite0c5905c1]

bonjour ,
j'ai une petite question de physique concernant de l'électrostatique
on considère une demi sphère chargée uniformément en surface d'axe z et on peut montrer qu'en son centre le champ E est dirigé selon z (avec des considérations de symétrie)
mais il parait que le champ E est aussi dirigé selon z en n'importe quel point du disque délimitant la demi sphère !!!
quelqu'un pourrait il m'aider à montrer que E est dirigé dans ce sens svp?
il parait que cela se fait sans calcul...
avec les notions de symétrie et en se plaçant en coordonnées sphériques, soit M un point ce ce fameux disque autre que le centre O :
on peut déjà dire que le plan qui passe par M , et O et coupant la demi sphère en deux parties identiques est un plan de symétrie de la distribution de charges, donc E appartient à ce plan, contenant les vecteurs unitaires Ur et Uz mais cmment justifier qu'il n'a pas de composante radiale...?
quelqu'un a une idée svp?
-----

[invite8d75205f]

Bonsoir,

imagine la sphère complète (2 demi-sphères également chargées et accolées) et fait usage du "principe" de superposition.

cordialement

[invite0c5905c1]

justement si on avait un sphère coplète , E serait dirigé selon Ur en n'importe quel point , etce champ serait la sommedes champs dusà chacune des demi sphère, je ne vois pas pourquoi ceci implique ce le champ electrique n'a pasde composante radiale
...

[invite21348749873]

Bonjour
La demi-sphere est une surface équipotentielle et le champ est perpendiculaire en tous points à cette surface.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0c5905c1]

je sais que je suis casse pieds mais ça ne me parait pas évident que le demi sphère soit une surface équipotentielle ...

[invite21348749873]

je sais que je suis casse pieds mais ça ne me parait pas évident que le demi sphère soit une surface équipotentielle ...

Tout conducteur chargé et isolé dans l'espace est équipotentiel; sinon, le champ ne serait pas nul à l'interieur et les charges s'y déplaceraient sans apport d'énergie.
D'ailleurs c'est ce que font les charges de surface, jusqu'a obtention du champ nul à l'interieur.

[LPFR]

Bonjour.
Comme la demi-sphère est chargée uniformément en surface, elle ne peut pas être conductrice. Il s'agit d'une distribution de charge dans l'espace.

Et la symétrie permet effectivement de dire que sur l'axe de symétrie, s'il y a un champ, il ne peut être de le long de l'axe. Puis, la symétrie nous dit que le champ ne dépend pas de l'angle (autour de l'axe), et que le champ est contenu dans les plans qui contiennent l'axe et le point.
Et c'est tout. On ne peut pas conclure que le champ sur le disque central est dirigé vers 'z'. Pour cela il nous faudrait un axe de symétrie de rotation ou un miroir parallèle à 'z' (mais qui ne contienne pas 'z') qui passe par ces points.

Il ne vous reste que le calcul "à la dure". Il est peut-être faisable. Je ne l'ai jamais fait. Il faut calculer le champ produit par une zone comprisse entre deux "méridiens" très proches avec les pôles nord et sud perpendiculaires au plan qui contient le point et l'axe 'z'. Il n'est pas sûr que l'on tombe sur des expressions intégrables analytiquement. Il y a des intégrales elliptiques qui semblent traîner dans le coin.
Au revoir.

[invite21348749873]

Bonjour.
Comme la demi-sphère est chargée uniformément en surface, elle ne peut pas être conductrice. Il s'agit d'une distribution de charge dans l'espace.

Et la symétrie permet effectivement de dire que sur l'axe de symétrie, s'il y a un champ, il ne peut être de le long de l'axe. Puis, la symétrie nous dit que le champ ne dépend pas de l'angle (autour de l'axe), et que le champ est contenu dans les plans qui contiennent l'axe et le point.
Et c'est tout. On ne peut pas conclure que le champ sur le disque central est dirigé vers 'z'. Pour cela il nous faudrait un axe de symétrie de rotation ou un miroir parallèle à 'z' (mais qui ne contienne pas 'z') qui passe par ces points.

Il ne vous reste que le calcul "à la dure". Il est peut-être faisable. Je ne l'ai jamais fait. Il faut calculer le champ produit par une zone comprisse entre deux "méridiens" très proches avec les pôles nord et sud perpendiculaires au plan qui contient le point et l'axe 'z'. Il n'est pas sûr que l'on tombe sur des expressions intégrables analytiquement. Il y a des intégrales elliptiques qui semblent traîner dans le coin.
Au revoir.

Bonjour
La question est de démontrer que en tout point du disque, le champ est parallele à un axe perpendiculaire au disque; (si j'ai bien compris la question)
Si on admet que la demi-sphere est équipotentielle, pas besoin d'intégrales elliptiques : le champ est perpendiculaire en tout point au disque, donc paralelle à l'axe
Par ailleurs, est ce que la densité sigma est la meme sur la partie sphérique et sur le disque?.

[LPFR]

Bonjour
La question est de démontrer que en tout point du disque, le champ est parallele à un axe perpendiculaire au disque; (si j'ai bien compris la question)
Si on admet que la demi-sphere est équipotentielle, pas besoin d'intégrales elliptiques : le champ est perpendiculaire en tout point au disque, donc paralelle à l'axe
Par ailleurs, est ce que la densité sigma est la meme sur la partie sphérique et sur le disque?.

Re.
La demi-sphère est chargée en surface (voir post #1).
Mais même si c'était une demi-sphère métallique, le champ ne serait pas perpendiculaire au disque. Sauf si le disque est aussi métallique.
Mais ce n'est pas le problème posé. Et le disque est un disque immatériel.

Et dans le problème avec une demi sphère métallique, avec ou sans disque, la distribution de charges n'est pas uniforme. Elles sont plus denses vers les bords.
A+

[invite21348749873]

Re.
La demi-sphère est chargée en surface (voir post #1).
Mais même si c'était une demi-sphère métallique, le champ ne serait pas perpendiculaire au disque. Sauf si le disque est aussi métallique.
Mais ce n'est pas le problème posé. Et le disque est un disque immatériel.

Et dans le problème avec une demi sphère métallique, avec ou sans disque, la distribution de charges n'est pas uniforme. Elles sont plus denses vers les bords.
A+

OK.
Si le disque n'est pas metallique, je ne vois pas comment on peu démontrer le résultat simplement, sans mathématiques.

[invite8d75205f]

Bonsoir,

J'essaye de nouveau mon explication en la détaillant un peu (et en espérant être lu )
Considérons une sphère creuse uniformément chargée : on sait que le champ est nul en tout point à l'intérieur, donc en particulier sur un disque équatorial.
Sur ce disque, on peut considérer que le champ est dû à la somme des champs des deux sphères limitées par le disque, or ces deux champs ne peuvent s'annuler l'un l'autre que s'ils sont chacun perpendiculaires au disque (ils sont évidemment égaux en valeur par symétrie).
Conclusion : le champ pour une 1/2 sphère sur le disque est perpendiculaire à celui-ci.

cordialement

[invite0c5905c1]

je crois avoir compris , merci nico
et désolée de ne pas avoir répondu auparavant , je n'avais pas accès au net...
merci

[invite0c5905c1]

merci aussi à tous
mais je devais montrer ceci sans calcul, et sans aucune donnée sur la "composition" (métallique ou non) du disque ...

[invite21348749873]

Re.
La demi-sphère est chargée en surface (voir post #1).
Mais même si c'était une demi-sphère métallique, le champ ne serait pas perpendiculaire au disque. Sauf si le disque est aussi métallique.
Mais ce n'est pas le problème posé. Et le disque est un disque immatériel.

Et dans le problème avec une demi sphère métallique, avec ou sans disque, la distribution de charges n'est pas uniforme. Elles sont plus denses vers les bords.
A+

Bonjour
Supposons le disque immateriel; en son centre le potentiel vaut V0 ainsi que sur sa périphérie.
Comme le potentiel ne peut présenter ni maximum ni minimum,dans la région delimitée par le disque, il faut que le potentiel soint constant partout; la surface immatérielle est donc équipotentielle et en tout point, le champ y est radial.

[LPFR]

Bonjour.

Bonsoir,

J'essaye de nouveau mon explication en la détaillant un peu (et en espérant être lu )
Considérons une sphère creuse uniformément chargée : on sait que le champ est nul en tout point à l'intérieur, donc en particulier sur un disque équatorial.
Sur ce disque, on peut considérer que le champ est dû à la somme des champs des deux sphères limitées par le disque, or ces deux champs ne peuvent s'annuler l'un l'autre que s'ils sont chacun perpendiculaires au disque (ils sont évidemment égaux en valeur par symétrie).
Conclusion : le champ pour une 1/2 sphère sur le disque est perpendiculaire à celui-ci.

cordialement

Votre argumentation est correcte. Bravo.

Bonjour
Supposons le disque immateriel; en son centre le potentiel vaut V0 ainsi que sur sa périphérie.
Comme le potentiel ne peut présenter ni maximum ni minimum,dans la région delimitée par le disque, il faut que le potentiel soint constant partout; la surface immatérielle est donc équipotentielle et en tout point, le champ y est radial.

Je ne vois pas dans quel cas vous vous situez. Demi-sphère conductrice? Distribution de charges uniforme?
Ni à partir de quoi vous affirmez que le potentiel vaut Vo dans tout le disque. À moins que cela soit à partir de la démonstration de Nico2009.
Et cette démonstration n'est pas que le champ est radial mais, au contraire, parallèle à l'axe de symétrie car le champ est perpendiculaire aux équipotentielles.
Au revoir.

[invite21348749873]

Bonjour.

Votre argumentation est correcte. Bravo.


Je ne vois pas dans quel cas vous vous situez. Demi-sphère conductrice? Distribution de charges uniforme?
Ni à partir de quoi vous affirmez que le potentiel vaut Vo dans tout le disque. À moins que cela soit à partir de la démonstration de Nico2009.
Et cette démonstration n'est pas que le champ est radial mais, au contraire, parallèle à l'axe de symétrie car le champ est perpendiculaire aux équipotentielles.
Au revoir.

Je prends le cas d'une demi sphere conductrice seule avvc une distribution uniforme( c'est ce qui est précisé dans l'énoncé).
Cette demi -sphere est au potentiel V0 , donc les bords du disque, et le centre du disque.
Si un autre point du disque est à un potentiel autre que V0, il, existe un maxi ou un mini du potentiel crée par cette demi sphere en é quilibre, ce qui est impossible.
Le disque est donc équipotentiel et le champ lui est perpendiculaire ( pas radial evidemment)

[LPFR]

Je prends le cas d'une demi sphere conductrice seule avvc une distribution uniforme( c'est ce qui est précisé dans l'énoncé).

Re-bonjour Arcole.
Eh non. Vous ne pouvez pas avoir et le beurre et l'argent du beurre.
Soit la sphère est immatérielle ou isolante et vous pouvez avoir la charge uniforme, soit la sphère est conductrice et la charge se distribue toute seule comme elle le veut (grâce à la conductivité du support), qui n'est pas du tout la distribution uniforme.
La charge va se concentrer à l'extérieur de la demi-sphère, et vers "l'équateur". Il y aura très peu de charge du côté concave et surtout du côté équateur.
Cordialement,

[invite21348749873]

Re-bonjour Arcole.
Eh non. Vous ne pouvez pas avoir et le beurre et l'argent du beurre.
Soit la sphère est immatérielle ou isolante et vous pouvez avoir la charge uniforme, soit la sphère est conductrice et la charge se distribue toute seule comme elle le veut (grâce à la conductivité du support), qui n'est pas du tout la distribution uniforme.
La charge va se concentrer à l'extérieur de la demi-sphère, et vers "l'équateur". Il y aura très peu de charge du côté concave et surtout du côté équateur.
Cordialement,

Je suis d'accord; mais cela ne change rien au fait que la surface équatoriale est équipotentielle .

[LPFR]

Je suis d'accord; mais cela ne change rien au fait que la surface équatoriale est équipotentielle .

Re.
Pour une demi-sphère conductrice ça reste à démontrer.
La démonstration de Nico2009 n'est plus applicable car, quand on coupe une sphère métallique en deux, la distribution de charge passe de "uniforme" à "non uniforme". On ne peut plus dire que le champ d'une sphère complète soit la somme des champs de deux demi-sphères.

Et je ne pense pas que la surface équatoriale soit équipotentielle. Je parierais même un café, qu'elle ne l'est pas.
A+

[invite21348749873]

Re.
Pour une demi-sphère conductrice ça reste à démontrer.
La démonstration de Nico2009 n'est plus applicable car, quand on coupe une sphère métallique en deux, la distribution de charge passe de "uniforme" à "non uniforme". On ne peut plus dire que le champ d'une sphère complète soit la somme des champs de deux demi-sphères.

Et je ne pense pas que la surface équatoriale soit équipotentielle. Je parierais même un café, qu'elle ne l'est pas.
A+

Pari tenu
Si elle ne l'était pas, il y aurait a sa surface un dV/dx et circulation de charges; elle ne serait donc pas en équilibre.

[LPFR]

Pari tenu
Si elle ne l'était pas, il y aurait a sa surface un dV/dx et circulation de charges; elle ne serait donc pas en équilibre.

Re.
Je ne sais pas ce que vous appelez 'x'.
Mais comme la surface est une surface immatérielle il peut avoir autant de dV/dx que vous voudrez. Il n'aura pas de circulation de charges.

À moins que vous soyez en train de travailler avec une demi-boule métallique pleine et non avec une coquille. Si votre surface équatoriale est re-devenue matérielle et métallique alors oui, elle est équipotentielle et le champ es perpendiculaire à la surface.
Mais le problème n'est pas, et n'a pas été celui-là.
Et, en tout cas ce n'est pas celui-là dont je parle et dont j'ai discuté.
A+

[invite21348749873]

Re.
Je ne sais pas ce que vous appelez 'x'.
Mais comme la surface est une surface immatérielle il peut avoir autant de dV/dx que vous voudrez. Il n'aura pas de circulation de charges.

À moins que vous soyez en train de travailler avec une demi-boule métallique pleine et non avec une coquille. Si votre surface équatoriale est re-devenue matérielle et métallique alors oui, elle est équipotentielle et le champ es perpendiculaire à la surface.
Mais le problème n'est pas, et n'a pas été celui-là.
Et, en tout cas ce n'est pas celui-là dont je parle et dont j'ai discuté.
A+

X désigne une direction quelconque d'un vecteur contenu dans le plan équatorial.
Vous etes d'accord avec moi dans le cas d'une surface équatoriale pleine; bien.
Si elle est immatérielle, je vous ai deja répondu: le potentiel sur la périphérie de la demi sphere est V0; au centre du disque il vaut V0 également; la fonction V ne peut présenter d'extrema, et le potentiel est necessairement V0 sur toute la surface.

[b@z66]

X désigne une direction quelconque d'un vecteur contenu dans le plan équatorial.
Vous etes d'accord avec moi dans le cas d'une surface équatoriale pleine; bien.
Si elle est immatérielle, je vous ai deja répondu: le potentiel sur la périphérie de la demi sphere est V0; au centre du disque il vaut V0 également; la fonction V ne peut présenter d'extrema, et le potentiel est necessairement V0 sur toute la surface.

Pas très rigoureux tout ça, mélanger des situations complètement différentes(présence ou non d'un conducteur) n'amène à rien de bon.

[b@z66]

X désigne une direction quelconque d'un vecteur contenu dans le plan équatorial.
Vous etes d'accord avec moi dans le cas d'une surface équatoriale pleine; bien.
Si elle est immatérielle, je vous ai deja répondu: le potentiel sur la périphérie de la demi sphere est V0; au centre du disque il vaut V0 également; la fonction V ne peut présenter d'extrema, et le potentiel est necessairement V0 sur toute la surface.

Dans le cas d'une demi-sphère conductrice avec plan équatorial immatériel, je ne vois pas la raison pour laquelle vous affirmez que le potentiel au centre du disque est le même que celui à sa périphérie(le fait de considérer une demi-sphère conductrice fait disparaitre la propriété de l'uniformité de la charge sur elle) et, même s'il l'était, vous essayez d'appliquer une propriété du laplacien du potentiel en 3D à une surface en 2D(vous oubliez que le potentiel varie également perpendiculairement au disque), ce qui est aussi une erreur. Je suis tout à fait de l'avis de LPFR pour cette analyse, cela manque de rigueur.

[invite21348749873]

Dans le cas d'une demi-sphère conductrice avec plan équatorial immatériel, je ne vois pas la raison pour laquelle vous affirmez que le potentiel au centre du disque est le même que celui à sa périphérie(le fait de considérer une demi-sphère conductrice fait disparaitre la propriété de l'uniformité de la charge sur elle) et, même s'il l'était, vous essayez d'appliquer une propriété du laplacien du potentiel en 3D à une surface en 2D(vous oubliez que le potentiel varie également perpendiculairement au disque), ce qui est aussi une erreur. Je suis tout à fait de l'avis de LPFR pour cette analyse, cela manque de rigueur.

Bonsoir
Quelle que soit la répartition des charges sur la demi-sphere, le potentiel au centre de la surface équatoriale immatérielle est Q/4pi epsilon0. R, Q etant la charge totale de la demi sphere.
Effectivement rien ne me prouve que ce potentiel est égal à V0; et pourtant il l'est, si le champ est perpendiculaire à cette surface.
Je ne vois pas comment calculer la capacité propre de la demi-sphère.
Je comprends que le potentiel varie au dessus et au dessous du disque.

[invite21348749873]

Si je considere deux points opposés A et B sur le cercle contour de la surface, ils sont tous les deux au potentiel de la demi sphere; si je me déplace de A à B dans le plan équatorial, puis je dire que le potentiel varie le long de AB? Si oui, alors il faut qu'il passe par des extrema;comment est ce possible dans une région ou il n'y apas de charges?

[LPFR]

Bonjour Arcole.

Bonsoir
Quelle que soit la répartition des charges sur la demi-sphere, le potentiel au centre de la surface équatoriale immatérielle est Q/4pi epsilon0. R, Q etant la charge totale de la demi sphere.

Non. Il ne l'est très probablement pas. Vous êtes en train de diviser par deux le potentiel d'une sphère complète. Or, comme la distribution de charges change, vous ne pouvez pas le faire.

Effectivement rien ne me prouve que ce potentiel est égal à V0; et pourtant il l'est, si le champ est perpendiculaire à cette surface.

Rien ne vous prouve que le champ soit perpendiculaire à la surface. Il ne l'est probablement pas (en dehors de l'axe de symétrie).

Si je considere deux points opposés A et B sur le cercle contour de la surface, ils sont tous les deux au potentiel de la demi sphere; si je me déplace de A à B dans le plan équatorial, puis je dire que le potentiel varie le long de AB? Si oui, alors il faut qu'il passe par des extrema;comment est ce possible dans une région ou il n'y apas de charges?

Je suppose que ce n'est pas cela que vous vouliez dire. Vous savez aussi bien que moi que le champ et le potentiel changent même loin des charges.

Je suppose que vous vouliez dire qu'il n'y avait pas de charges du côté concave de la demi-sphère métallique. Mais ça non plus ce n'est pas vraie. La plus part des charges sont du côté convexe et du côté équatorial, mais il y a des charges côte concave.

Je vous propose de partir d'un disque métallique chargé, et de dessiner les équipotentielles et la distribution de charge (au pif). Puis de le rendre concave en redessinant les équipotentielles et la distribution de charge (toujours au pif). Bien sûr, ce n'est pas du tout rigoureux, mais c'est une façon de "voir" comment les choses évoluent.
Si le potentiel était constant du côté concave, à quel moment de la transformation du disque en demi-sphère, une charge proche du disque (côté concave) se serait arrêté de sentir des forces électrostatiques?
Cordialement,

[b@z66]

Quelle que soit la répartition des charges sur la demi-sphere, le potentiel au centre de la surface équatoriale immatérielle est Q/4pi epsilon0. R, Q etant la charge totale de la demi sphere.

Cela est juste mais cela ne fait pas avancer le schmilblick puisque rien ne garantit que ce potentiel soit celui présent à la surface de la demi-sphère.

Si je considere deux points opposés A et B sur le cercle contour de la surface, ils sont tous les deux au potentiel de la demi sphere; si je me déplace de A à B dans le plan équatorial, puis je dire que le potentiel varie le long de AB? Si oui, alors il faut qu'il passe par des extrema;comment est ce possible dans une région ou il n'y apas de charges?

Je vais juste vous démontrer par l'absurde que votre raisonnement est effectivement faux. En gros, vous voulez démontrer que le potentiel partout sur le disque est le même que sur son contour et donc aussi par extension partout sur la demi-sphère(puisqu'elle est conductrice) mais en appliquant correctement, dans un tel cas de figure, la propriété du Laplacien à une surface qui est donc fermée et équipotentielle, on en déduirait que l'espace interne entre le disque immatériel et la demi-sphère creuse serait également équipotentiel avec donc un champ électrique interne nul: cela ne fait donc que ramener la situation à celle d'une demi-sphère conductrice "pleine" qui n'est pas celle décrite au départ(je verrais mal comment des lignes de champ ne pourrait pas partir de l'intérieur de la demi-sphère chargée alors qu'elle est sensée être ouverte vers l'extérieur).

[invite21348749873]

Cela est juste mais cela ne fait pas avancer le schmilblick puisque rien ne garantit que ce potentiel soit celui présent à la surface de la demi-sphère.




Je vais juste vous démontrer par l'absurde que votre raisonnement est effectivement faux. En gros, vous voulez démontrer que le potentiel partout sur le disque est le même que sur son contour et donc aussi par extension partout sur la demi-sphère(puisqu'elle est conductrice) mais en appliquant correctement, dans un tel cas de figure, la propriété du Laplacien à une surface qui est donc fermée et équipotentielle, on en déduirait que l'espace interne entre le disque immatériel et la demi-sphère creuse serait également équipotentiel avec donc un champ électrique interne nul: cela ne fait donc que ramener la situation à celle d'une demi-sphère conductrice "pleine" qui n'est pas celle décrite au départ(je verrais mal comment des lignes de champ ne pourrait pas partir de l'intérieur de la demi-sphère chargée alors qu'elle est sensée être ouverte vers l'extérieur).

Bonjout
Je vois ce que vous voulez dire; à y regarder de pres, le probleme n'est pas si simple.
Quand nous disons que la demi- sphere est au potentien V0, que voulons nous dire exactement?
Supposons la demi- sphere d'épaisseur infiniment petite devant son diametre et initialement neutre.
Relions à une source de potentiel fixe +V0, du coté extérieur.
La demi sphere va se charger négativement coté exterieur avec une densité -sigma non uniforme probablement, et avec la meme densité + sigma (a tres peu pres ) à l'interieur.
Alors le potentiel au centre de la surface immaterielle équatoriale sera nul.
Relions la demi sphere à la terre et déconnectons V0; la demi sphere se charge négativement interieur et exterieur et le potentiel au centre du disque n'est plus nul il vaut - Q / 4 pi epsilon 0 (-Q charge totale) potentiel pris par la demi sphere a priori différent de V0.
Je ne suis plus tres convaincu maintenant que le disque soit équipotentiel, bien qu'intuitivement, j'aie tendance à le penser.
A suivre
c
Cordialement

[LPFR]

Re-bonjour.
Votre manip n'est pas très claire. Si vous reliez un objet conducteur à un potentiel Vo, l'objet va se charger à ce potentiel partout (il est équipotentiel). Si Vo est positif, toutes les charges de surface seront positives.

Il ne faut mas mélanger avec l'électrisation par influence dans laquelle l'objet n'est pas touché, il reste à son même potentiel et, effectivement, il se produit une séparation de charges: positives d'un côté et négatives de l'autre. Mais la somme des charges reste la même qu'avant de rapprocher l'objet chargé.
Cordialement.