Et les modes normaux, ils se croient où ?

[invite75448ab9]

Bonsoir à tous,
Voilà je planche depuis quelques temps sur un sujet de mécanique, qui met en scène un système composé de deux pendules P1 et P2 de masses différentes m et n, couplés par un ressort.

Je dois calculer les modes normaux du système, mais je bloque au moment du changement de variable. Faut-il en faire un ?
Car je saurais résoudre le problème si les deux masses étaient les mêmes, or ce n'est pas le cas.
(On va dire pour simplifier que "x." est la dérivée de "x")

J'ai les deux équations des pendules :

x.. + (g/l + k/m)x = (k/m)y
y.. + (g/l + k/n)y = (k/n)x

Avec : x position de P1, y position de P2

Merci
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[invite75448ab9]

J'ai pas précisé : j'ai essayé avec le classique changement "X = x + y" mais on bloque car les masses ne sont pas les mêmes :/

[invite75448ab9]

Personne pour m'aider ?

[invited9d78a37]

salut
essaye avec les deux variables X=x+y et Y=x-y, ca peut aider pour résoudre.

tu as alors et
après tu calcules avec la première équation Y puis pour la deuxième équation tu résous sans second membre et tu finis avec la solution particulière.
sinon si tu as des notions en algèbre linéaire, tu mets le système sous forme matricielle, tu diagonalises la matrice et etc pour trouver les modes propres.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Remplace la dérivée seconde par -w² et tu verras apparaître un système du genre
A x = B y
C x = D y
Déjà, il faut que AD = BC et ça fait une équation qui donne les modes propres.
Tu verras qu'une des solutions est w² = g/l et que ça fait x = y, cas où les pendules oscillent ensemble car ils ont même longueur.
Il y a une autre solution, plus compliquée. Le mode propre est alors, par exemple x=1 et y = A/B en remplaçant A et B par leur valeur pour cette valeur de w².

[invite75448ab9]

Ah, j'effectuais donc le bon changement de variable, c'est mon objectif qui était faux. Je pensais qu'il fallait absolument pas avoir du X et du Y dans la même équation !
Merci, je regarde ça ce soir