Hydrostatique: Condition d'ouverture d'un clapet pesant incliné

[Spleenhood]

Bonjour à tous!

Je travaille depuis peu dans la conception mécanique, mais mes cours d'hydrostatique sont bien loins [honte...].

Je vous explique le problème:

L'eau est pompée par dépression dans la cuve, la pression de l'air p1 dans celle ci est donc bien inférieure à p0, l'air à la pression atmosphérique situé à l'extérieur du clapet.

Rien de bien méchant jusque là, mais là où ça devient drôle (et où je nage complètement), c'est que le clapet est incliné à 15° par rapport à la verticale, qu'il a une section elliptique (rayons: 103.5 sur l'axe uz1 et 100 sur ux1 (section: 0.035565m²)), et qu'il pivote suspendu par le haut en O (en réalité, il est rectangulaire mais la surface en contact avec l'eau est elle elliptique).

Je souhaiterais déterminer la masse minimale d'un clapet qui doit s'ouvrir sous la poussée d'une hauteur d'eau définie (ici, une surpression de 400mBar, soit 40cm). Comprenez ici que le clapet se décolle, pas qu'il valdingue sous la pression (je cherche juste à annuler la réaction du support).

Mise à part que la force de pression est suivant uy1, je ne sait rien ni de la résultante, ni du centre de poussée, ni d'un éventuel moment.

Rassurez vous, ci-joint un schéma et deux ou trois trucs dont je suis sûr.

J'ai tenté d'approximer grossièrement avec des formules que je ne maîtrise pas trop, je tourne autour de 50kg (à+-5Kg suivant les approximations). Ca me paraît pas trop mal, mais en même temps, ça fait un petit peu beaucoup.

Si quelqu'un maîtrise l'hydrostatique et les intégrations formelles d'ellipses, je le supplie de m'aider. Merci!
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[verdifre]

bonjour,
il faut déja savoir comment evolue la pression sur la hauteur du clapet
si tu peux la considerer comme constante, le probleme est simple (il suffit de savoir calculer la surface de ton ellipse et la resultante est appliquée au centre de l'ellipse d'une direction normale à la surface de l'ellipse
si tu ne peux pas faire cette approximation, c'est moins drole
fred

[Spleenhood]

Merci pour ta réponse.

Hélas, on prend un bon gradient de pression de derrière les fagots.
Et là, je te rejoins complètement, c'est beaucoup moins drôle.

[sitalgo]

B'jour,

Il faut équilibrer les moments par rapport à l'axe de rotation Oc. Tu as le moment Mp = poids du clapet x distance horizontale de Oc au centre de gravité de la plaque.
Le moment du à la poussée du fluide Mf = 40000Pa x S x distance entre Oc et centre de l'ellipse (en oblique).

[A voir en vidéo sur Futura]

[verdifre]

bonjour,
je vais essayer de me lancer, j'espere que quelqu'un va me rattraper
si on considere x selon la droite entre le centre de l'ellipse et l'axe de rotation l'equation de l'elipse va etre de la forme
(x-h)²/a² +y²/b² =1 avec h la distance entre l'axe de rotation et le centre de l'ellipse
donc y²/b² = 1- (x-h)²/a²
d'ou on peut tirer y = +/- b*racine(1- (x-h)²/a²)
le moment du à une tranche horysontale de surface ds de l'ellipse sera donc xP(x)ds
avec ds = 2*y dx
on tomberait donc sur une integrale du genre int de x*p(x)*2*b*racine(1- (x-h)²/a²) dx entre le haut et le bas de l'ellipse
donc entre x-h-a et x-h+a
il te faut donc fournir l'expression de P(x) (l'axe x n'est pas vertical mais selon un des axes de l'ellipse
et si j'ai pas fait d'erreur, moi pour qui les cours d'analyse sont trés loins, je demande le résultat à maxima ou autre logiciel du même type
mais c'est à prendre avec des pincettes et à faire verifier
fred

[sitalgo]

Je pensais que les rayons de 103,5 et 100 étaient dus au fait qu'il y avait un tuyau coupé en biseau à 15° (1/cos15=1,0352). Je ne vois pas de tuyau sur le dessin. J'en déduis donc que c'est pour le plaisir de faire une ellipse.
Pas besoin d'intégrale, la poussée s'applique au cdg de la surface avec pour hauteur le z de ce cdg.

[verdifre]

bonsoir sitalgo
est tu sur de cette affirmation dans le cas d'un gradient de pression
entre autre du type rho*g*z
je me dit intuitivement que dans ce cas, le centre de poussée doit être un peu plus bas.
a supposer que le niveau haut du liquide soit à la limite superieur de l'ellipse, on a une pression nulle dans le haut et maximum dans le bas, cela doit decaller le centre de poussée ver le bas
fred

[Spleenhood]

Je suis d'accord avec verdifre, le centre de poussée n'est certainement pas au centre de l'ellipse (d'après certains corrigés d'exercice semblables mais plus simples, la vanne étant verticale et pivotant autour de son axe central). Je vais essayer de vérifier le calcul pour l'ellipse dans la journée.

Au passage, sitalgo, il s'agit bien d'un tuyau Ø200 coupé à 15°, ce qui fait bien une section elliptique. Et non, ce n'est pas pour s'amuser, c'est le cahier des charges qui veut ça ! ^^ (Je ne l'avais pas dessiné, il ne change rien au problème).

[sitalgo]

Oups ! j'ai écrit trop vite.
Cela dit 400mB correspond à 4m d'eau et le tuyau fait 200mm de diamètre. L'erreur de quelques mm sur la position du cdg est peut être négligeable, à moins de vouloir une précision diabolique.
Sur une plaque carrée de 200mm de côté le cdg serait à 99,1mm du bas au lieu de 100mm.