bonjour
si je ne me trompe une des hypothèses de base du mouvement brownien,est que les chocs sont élastiques dans le fluide et avec la particule observée.
ma question est:l'énergie cédée par la ou les molécules de fluide d'un coté de la particule ne devrait-elle pas ètre rendue de la mème façon au coté opposé aux molécules de fluide? merci
Salut,
D'une certaine façon c'est vrai et c'est d'ailleurs ce qui est responsable du terme de friction que l'on trouve dans le mouvement brownien. Mais sur un temps long il y a tout de même autant de chocs provenant de la droite que de la gauche et donc la position moyenne de la particule est inchangée.Envoyé par tenocnoc
Bonjour.
Ce n'est pas tout à fait exact de dire que "la position moyenne de la particule est inchangée.".
La position moyenne change et, si mes souvenirs sont bons, au bout de n chocs, la particule s'est déplacée en moyenne du libre parcours moyen, multiplié par sqrt(n). Évidemment, elle s'est déplacée dans n'importe quelle direction.
D'ailleurs, si vous avez pu observer le mouvement Brownien au microscope, vous avez pu constater la dérive de la position moyenne.
Au revoir.
Non la position moyenne ne change pas (par symétrie elle ne peut pas changer). Ce qui change en fonction du temps c'est le déplacement quadratique moyen autrement dit la variance de la position qui est effectivement proportionnelle à t (ou à n si on effectue une marche discrète).
Par symétrie ? Si on pousse le raisonnement jusqu'au bout et qu'on prend un système parfaitement symétrique (que ce soit pour la vitesse ou la position des particules), la particule considérée devrai rester fixe (un choc à gauche sera obligatoirement compensé par un choc par la droite simultanée). Me trompé-je ?
\o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/
Re.
La variance de quelque chose qui ne change pas est zéro.
A+
La symétrie que j'invoque est le fait que la probabilité de faire un saut -a est la même que faire un saut +a (dans un modèle 1D).
A la limite d'un très grand nombre de chocs n, la proportion de sauts +a et de sauts -a tendra vers leur probabilité respective qui sont égales. La valeur moyenne du déplacement est donc nulle.
La variance associée à une moyenne qui ne change pas n'a aucune raison d'être nulle. Ne me fais pas dire ce que je n'ai pas dit.
en 1D d'accord, mais en 2D ce n'est plus pareil. Et dans ce cas ce n'est pas une réelle symétrie... donc je ne vois pas en quoi la position moyenne de la particule devrait rester inchangée...
\o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/
C'est un faux problème. Si aucune direction n'est réellement privilégiée alors tu mettra un poids égal pour un déplacement discret (sur un réseau par exemple) à droite, à gauche, en haut, en bas, en avant ou en arrière et le résultat final est le même.
Le calcul se fait donc très bien à 3D également.
Pour un polymère par exemple, il est bien connu qu'en l'absence de force, la distance bout à bout moyenne est nulle...
Je ne sais pas quoi dire de plus c'est la définition du mouvement Brownien.
Si la valeur moyenne était non nulle, il est bien connu que son origine provient de l'existence d'un champ de force et donc il faut rajouter un terme de drift dans l'equation de Langevin (ou son équivalent dans l'équation de Fokker-Planck).
Heu je ne suis pas d'accord : la transition 1D à 2D modifie le problème (ce qui n'est pas le cas de la transition 2D/3D). En 1D tu néglige un phénomène non linéaire qui reste important à considérer dans le cas d'un mouvement brownien : la surface d'impact des particules (qui est inchangée en 1D mais qui est variable en 2 et 3D).
\o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/
Je ne vois pas ce que la surface d'impact des particules a à voir avec la définition du mouvement Brownien directement. Il faut que tu m'expliques là.
Qu'en 1D tu as forcément une position moyenne nulle (là on est d'accord). Mais le fait de passer en 2D fait que - via ces surfaces d'impact - tu vas avoir une relation entre la vitesse sur x et la vitesse sur y. Le fait de cet relation ne permets pas de dire que considérer un mouvement brownien 2D revient à considérer un mouvement brownien sur X et un sur Y indépendamment. Si c'était le cas alors je suis d'accord : la position moyenne en 2D devrait rester nulle.
\o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/
Je crois que tu confonds plusieurs trucs là. Même si il existe une correlation entre les differents degrés de liberté dans la mécanique de base (femto seconde), après un million de collisions elles ont totalement disparues (microseconde) ; c'est ça le mouvement Brownien (par définition). Cette descrption ne veut bien entendu plus rien dire si on descend en dessous de cette échelle de temps caractéristique.
Re.
Une dernière intervention.
Tout cela c'est de la statistique. Il vaut mieux faire des paris:
Prenons une photo d'une particule à un instant donné et faisons un pari sur l'endroit où elle se trouve après un certain temps.
Il est certain qu'elle ne sera pas au même endroit.
Et la moyenne de toutes les positions ou on la trouvera si on fait la manip un tas de fois est la position où elle se trouvait au départ.
Et si on calcule la distance la plus probable à laquelle se trouve la particule, du point de départ, on trouvera ce que j'ai dit: un coefficient multiplié par sqrt(n).
Il ne faut pas mélanger la position moyenne de la particule, qui évolue avec le temps. Avec la moyenne des positions possibles après un certain temps.
Et c'est cela que l'on voir au microscope: une chose qui s'agite autour d'une position moyenne, laquelle position moyenne évolue avec le temps.
A+
C'était le seul argument dont je voulais être sur, tout n'est que question d'ordre de grandeur alors.
Merci !
\o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/
et l'accélération de la particule observée,reste-t-elle sa propriété ou est-elle transmise au fluide(comme le son qui se propage)?
Techniquement c'est quoi la difference parce que je ne vois pas bien là ?
La position moyenne de la particule par rapport à quoi alors ?
Bonjour,
Juste une petite intervention pour préciser le langage.
1-Quand on emploi le langage de probabilité on travaille sur des ensembles identiques.
Ainsi pour le lancement du dé P (dé nous montre la face 3) = 1/6 vaut dire que on lance en même temps un nombre infini de dés et que 1/6 des dés exhiberont la face 3.
2- Comme le suggère l'exemple précèdent le temps est un paramètre (continu ou discret selon les cas) et non une variable.
Par exemple en supposant que les dés sont relancés périodiquement toutes les secondes
P( dé = 3 a t = 7 ET dé = 5 à t= 16) = .....
Cela définit un jeu doublement infini (N fois N) de variable aléatoires a valeurs discrètes.
Pour le problème en discussion
La position moyenne de la variable aléatoire x d'une particule est <x(t)> = 0 quelque soit t. Cela résulte de la symétrie spatiale du problème.
Par contre on peut caractériser la variable aléatoire x par la moyenne <x2(t)> qui elle croit avec le temps.
Enfin on peut définir la probabilité conditionnelle:
P (x= Xa , t= Ti | x= 0 , t = 0)
Qui veut dire que la probabilité que x vaut Xa à l'instant Ta sachant que celle-ci était en x=0 à t=0)
Celle-ci traduit une certaine notion de continuité dans le sens si les 2 paramètres t sont très proches alors la probabilité de trouver la particule en position voisine est très forte (voisine de 1) et très faible audelà.
Jusque là il n'y avait qu'une seule particule. Il est facile de comprendre intuitivement que si les particules sont indépendantes (non corrélés) on peut considérer (dans certaines limites) que chaque particule est un représentant de l'ensemble.
