Trajectoire d'un projectile de catapulte

[LaboSW]

Bonjour,
avant toute chose je voudrais vous dire que je ne n'y connais pas grand-chose en en balistique (je suis en 2nde) et que les autres formules que j'ai trouvées sur Internet étaient très compliquées. Passionné de Moyen-Age, j'ai construit une catapulte (ou plutôt un trébuchet) avec mon grand-père (rassurez-vous, je ne compte lancer que des bombes à eau ), dont voici le plan :
[IMG][/IMG]
Je voudrais connaître la portée approximative de cet engin avec un projectile de 100 g (Histoire d'éviter d'envoyer le ballon rempli d'eau sur les fenêtres du voisin ). Si possible, j'aimerais avoir la formule et la valeur numérique de la portée (en négligeant le vent). Merci de votre aide !
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[Jackyzgood]

Pour calculer l'énergie du projectile il faut faire la différence d'énergie potentiel de chaque coté du trébuchet. On va prendre comme notation m pour la masse du projectile et M la masse du contre poids du trébuchet.

L'énergie que va fournir le contre poids sera de :
On va également dépenser de l'énergie pour monter le projectile : . En négligeant les frottements on en déduit que l'énergie qui sera fournie au projectile sera de :

On considèrera que l'intégralité de cette énergie est fournie au projectile (ce qui en réalité n'est pas le cas car le bras ne s'arrête pas instantanément)

et donc que :


On a donc la vitesse initiale que l'on notera , la position initiale sera noté avec et .

L'accélération sur l'axe x sera considérée comme nulle, et l'accélération sur l'axe y sera -g.




En intégrant ces 2 équations en fonction du temps on obtient :




L'angle alpha est l'angle avec lequel le projectile sera tiré, ce sera assez difficile a déterminer sur ce genre d'engin, car ça va dépendre de la façon dont le projectile est attaché ... Je vais donc continuer en le supposant connu.

En intégrant les équations précédente on obtient :




Maintenant suivant ton niveau en math soit tu extrait la variable t de l'équation de x(t) et tu injecte son expression dans l'équation de y(t), tu obtiendra l'équation de trajectoire et en cherchant la position de x pour laquelle y = 0 tu obtiendra la distance maximale. Sinon tu peux également travailler directement chercher les racines de y(t) = 0 et injecter la valeur de t dans x(t) pour trouver la distance maximale.

Les 2 méthodes fonctionnent, cependant la première, même si elle est un peu plus longue, a l'avantage de ne pas faire appelle à des valeurs numériques.

[Jaunin]

Bonjour, LaboSW,
Voici un lien qui pourra peut-être vous aider en complétant avec les explications de Jackyzgood.
Cordialement.
Jaunin__

http://www.chimix.com/an7/bac7/reu71.htm

[LaboSW]

Merci pour ces réponses. Je vais essayer de faire les calculs. Je suppose que delta H correspond à la longueur de la partie "contrepoids" du bras et delta h celle de la partie longue du bras, ainsi que g l'accélération de la pesanteur ?
Et l'angle alpha est-il l'angle formé par la droite passant par l'origine et par le sommet du bras quand le projectile se détache ? Si oui, je connais sa valeur, ayant déjà fait des tests avec une fronde.

[A voir en vidéo sur Futura]