Bonjour à tous,
Je me pose une question, à savoir comment on obtient l'expression d'une onde électromagnétique:
Car en partant de l'équation de propagation:
On obtient la solution:
et je ne vois pas par la suite comment revenir à la premiére.
Si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance
bsr
c'est la solution correspondant à une onde progressive se propageant ds le sens des x positifs sans atténuation
Mais la notation exponentielle est plus commode pour réaliser les calculs de dérivations et seule la partie réelle du nb complexe correspond à la description de l'onde
au revoir
d'accord mais je ne vois pas comment passer de f(x-ct) à la solution exponentielle dans laquelle on introduit le vecteur d'onde et la pulsation.
f(x-ct), ça veut juste dire une fonction, quelle qu'elle soit, de la variable x-ct. Ça veut juste dire une fonction de l'espace (x) et du temps (t) avec un rapport entre les deux égal à la célérité de l'onde (c).
exp(i(kx-wt)) est bien une telle fonction, non ? Moyennant un ptit changement de variable, tu vois que c'est exp(i(x-w/k t)) et tu récupères au passage la relation de dispersion w=kc.
Oui c'est bon mainetant j'y vois plus clair, merci beaucoup
Peut-être que la question porte sur la restriction à l'exponentielle de la fonction f?Envoyé par guerom00
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Ben l'exponentielle, je comprends pourquoi, ça vient d'une combinaison de sinus et cosinus, mais c'est vrai que pourquoi le sinus et le cosinus sont solutions n'est pas tout à fait évident pour le moment.
Bonjour,
Toute fonction de la forme
est solution de votre EDP, donc les fonctions exponentielles, sinus et cosinus sont solutions de manière évidente! (comme toutes autres fonctions admettant des dérivées partielles, fonctions de la variable (x+-ct).
Ensuite, qu'on choisisse des solutions périodiques (ou pseudo périodique si on tient compte de l'amortissement) est assez naturelle pour une onde.
De plus, l'exponentielle complexe est la solution des systèmes linéaires. (et tout phénomène périodique se décompose en série de Fourier en exponentielle.)
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
D'accord, donc mathématiquement il n'y a pas de demonstration de l'exponentielle, c'est juste un raisonement logique?
Un raisonnement physique plutôt.
(Sinon, la logique ne fait plus partie des maths ce qui est troublant...)
Si on impose la périodicité, la solution en exponentielle imaginaire sort très vite.
Si on impose l'amortissement seul, la solution en exponentielle réelle sort.
La combinaison des 2 précédents donne les ondes amorties (ou amplifiées) avec l'exponentielle complexe.
La décomposition de Fourier permet de généraliser.
D'un point de vue math, rien n'empêche d'étudier le cas d'autres fonction f et g. J'ignore s'il y a des applications pratiques. D'autres vous le dirons peut-être...
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
d'accord merci j'y vois beaucoup plus clair maintenant, car on prend vite l'habitude de poser l'exponentielle comme solution, sans se rappeler d'où ça vient.
Merci bcp à tous,
Bonjour.
N'importe quelle fonction de (wt-kr) est solution.
On choisit de travailler avec des solutions sinusoïdales parce c'est plus commode et parce que, si on est en régime linéaire (ce qui est habituel), on peut décomposer toute fonction périodique en somme de sinusoïdes.
Mais ce n'est pas cela que fait apparaître la partie imaginaire.
Quand on est entre adultes consentants, on accepte d'ajouter à la solution du type A.cos(wt-kr) une partie imaginaire inmiscible: j.A.sin(wt-kr) et écrire la solution avec l'exponentielle complexe, tout en sachant que l'on n'a rien à faire de la partie imaginaire et que seule la partie réelle nous intéresse.
On traîne la partie imaginaire, car elle simplifie énormément l'écriture et les calculs. De plus une fois que l'on a un résultat, al plupart des fois on n'a même pas besoin d'extraire la partie réelle de l'expression obtenue, car on pet lire ce qui nous intéresse directement sur l'expression complexe.
Mais, je répète, on ne peut faire cela qu'entre adultes consentants (= des gens qui savent ce qu'ils font et comment on interprète le résultat).
Au revoir
PAS DU TOUT
la fonction doit satisfaire l'équation d'onde donc être au moins 2 fois dérivables (et continue) en x et en t . Elle peut être périodique ou non.
Je me permet un bémol!
Dès que vous parlez de sinus ou de cosinus, l'exponentielle imaginaire est présente, même si vous ne voulez pas la voir et l'utiliser!
Que les physiciens tiennent à une solution réelle pour des raisons qui n'ont pas été élucidées ici peut éventuellement s'admettre. (mais avec quelle justification physique?)
Les exponentielles sont solutions des EDP. (En maths, on dit que ce sont les vecteurs propres de l'application)
Quand ces exponentielles sont réelles, elles marchent toutes seule en.
Quand elles sont imaginaires pures, elles marchent par deux (complexes conjuguées)
Évidement puisqu'on sait qu'il y a toujours deux pôles complexes conjugués (système d'ordre 2).
C'est justement cette partie qui m'intéresse particulièrement.
Je renouvelle mon invitation sur le fil un peu fleuve
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2650014
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Je défends LPFR en admettant qu'en physique, il n'y a pas de fonctions pathologiques et que tout est dérivable à l'infini parce que cela nous arrange...
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Donc 0" = 0' = 0 !J il n'y a pas de fonctions pathologiques et que tout est dérivable à l'infini parce que cela nous arrange...
Donc sinx = sinx + o.i.cosx !Dès que vous parlez de sinus ou de cosinus, l'exponentielle imaginaire est présente, même si vous ne voulez pas la voir et l'utiliser!
Si un réel est automatiquement complexe alors il est aussi sédénion !
A ce jeu là : être le plus trivial tu as la palme stefjm
Bof...
Je pensais plutôt à
Oui. Et si la description est plus simple qu'avec des réels, il ne faut pas se gêner et déclarer comme physiquement acceptable les sédénions.
Non, je crois que tu cherches à rivaliser et je te laisse volontier gagner...
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
c pareil on a l'habitude de présenter un complexe ss la forme cos + isinBof...
Je pensais plutôt à
mais sin + icos est similaire
ben faut pas compliquer quand ça pe être simple... transformer un réel en complexe quand c'est pas utile te fait perdre la comparaison... (et les sélenions n'en parlons ^meme pas !!)Oui. Et si la description est plus simple qu'avec des réels, il ne faut pas se gêner et déclarer comme physiquement acceptable les sédénions.
ça c'est un procès d'intention où je ne m'y connais pas !Non, je crois que tu cherches à rivaliser et je te laisse volontier gagner...
Fin de la conversation
Oui, et alors? (On peut aussi changer les signes...)
Perdre la comparaison et gagner la phase est un plus quand on parle d'onde.
Pour les sédénions, c'est toi qui en parle...
Pas moi qui ait commencé. Eh oui, c'est la récré.
A ton aise.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour à tous.
Apparemment les nombres complexes sont un sujet qui fâches!
Le but est de chercher les solutions de les solutions de l'EDP ...... dont on montre qu'elles sont solutions de la forme:
A.f(x-c.t) + B.G(x-c.t)
A noter qu'implicitement les fonctions f et G sont réelles ainsi que A et B. Cela veut dire que l'on cherche les solutions sur le corps des complexes.
On s'intéresse donc a une fonction de la forme f(z) où z représente alternativement x-c.t ou x + c.t
On a le droit de décomposer f(z) dans une base quelconque. Si on possède une symetrie de translation le plus pertinent est de représenter la fonction f(z) dans une base de Fourier:
f(z) = Somme sur k de:
Ak.exp(i.k.x)
Comme F(z) est réel alors automatiquement on doit A(k) = A(-k)*
On peut vérifier que:
F(z) = somme sur k > 0 A(k) exp(i.k.x) + A(-k)* exp(i.k.x)
Est bien réelle.
On peut donc représenter une solution quelconque comme une superposition de solutions exponentielles complexes avec une contrainte sur les coefficients A(k).
Bien entendu si l'on cherche des solutions sur le corps des complexes la contrainte A(k) = A(-k)* est levée.
Je comprends pas l'implication làTout est réel et tu cherches la solution sur le corps des complexes ?
Réels!
Belle démonstration de ce que je racontais à l'arache. Merci.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
J'ai réussi à convertir mariposa à la mesure physique complexe!Je comprends pas l'implication là
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Effectivement.Réels!
J'en profite pour présicer que si l'équation relevait de la théorie des champs (au sens de la physique des parties élémentaires) ce serait une recherche des solutions sur le corps des complexes.
Ici, dans ce fil, tout le monde suppose implicitement qu'il s'agissait d'une équation d'onde dont l'amplitude est réelle..
Puisque tu précises, j'en profite.
Rien de mathématique ne contraint les fonctions f et g solution de l'EDP à être réelle? Si? (C'est trop vieux pour moi, je ne sais plus faire.)
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour,Je comprends pas l'implication là
J'ai parfaitement le droit de representerr une fonction F(x) dans n'importe quelle base. Le critère du choix de la base est très souvent une question de symétrie géométrique en physique classique (en MQ c'est plus large ,c'est une question de TRG).
Par exemple un problème de géométrie sphérique dans R3 implique des coordonnées cartésiennes plutôt que sphériques. pour les espaces de Fonctions c'est la même idée.
Invariance de translation = Représentation de Fourier
Quand ton problème a une invariance de translation la meilleure représentation est celle de Fourier. ici les conditions aux limites ne sont pas précisées et donc par défaut on les supposes "rectangulaires" et on prend la représentation de Fourier car se sont les vecteurs propres de l'opérateur de Translation T qui commute avec l'opérateur différentiel (conditions aux limites comprises).
Invariance de rotation = représentation en harmonique sphériques
Par contre si les conditions aux limites sont du type sphérique alors il est naturel de représenter les solutions dans la base des fonctions propres de l'Opérateur de rotation O(3) cad les harmoniques sphériques.
Donc on peut représenter une fonction réelle dans une base complexe.
Pour faire simple:
17 = (15 + 3.i) + (2 -3.i)
A l'évidence Le nombre réel 17 est représente sur le corps des complexes.
C'est la signification du champ qui décide. si le champ représente l'amplitude d'une vague ou d'un son alors on cherche des solutions a valeur sur le corps des réels.
Si paz contre la solution représente une fonction d'onde de la MQ alors on cherche les solutions sur le corps des complexes.
C'est le même problème que chercher la solution de x2 +1 = 0
Sur le corps des réels il n'existe pas de solutions.
Sur le corps des complexes il existe 2 solutions x=j et x=-j
bsr
tu te places dans un espace de Hilbert là ?J'ai parfaitement le droit de representer une fonction F(x) dans n'importe quelle base.
c'est normal car on est pas en géométrie non commutative, non?ce sont les vecteurs propres de l'opérateur de Translation T qui commute avec l'opérateur différentiel
effectivement typiquement
Non cela n'a pas de rapport avec la GNCc'est normal car on est pas en géométrie non commutative, non?
L'opérateur qui commute avec l'opérateur différentiel permet d'engendrer une base qui est celle des vecteurs propres de l'opérateur en question
Pas la peine de me donner un cours (comme d'habitude…) pour une coquille dans un de tes messages
