Question de mécanique classique

[invite11f2a3ff]

Bonjour,

Je sais pas si je vais trouver beaucoup de gens qui font encore de la méca classique sur ce forum (j'déconne bien sûr), bon donc je voudrais poser une question.
Dans un repère de Frenet pour étudier le mouvement des satellites en rotation (ou en trajectoire elliptique), on a écrit arbitrairement dans le cours que la composante normale de l'accélération a pour valeur a=V²/R

Est-ce que quelqu'un aurait une quelconque idée de démonstration de cette affirmation ? Je peux déjà remarquer que c'est bien homogène à une accélaration, mais ça n'en frait pas une démonstration.

Merci !!
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[invite88ef51f0]

Salut,
Si tu regardes en coordonnée cylindriques, tu as , tu dérives (je prend le cas d'un mouvement circulaire pour simplifier) : (avec la vitesse angulaire). On redérive : . Donc la composante normale de l'accélération dans le repère de Frenet (on a ) vaut . C'est gagné !!!

[invite9c9b9968]

Voici une "démonstration" :

En polaire, l'accélération pour une force centrale s'écrit .

Or localement, la trajectoire est circulaire, donc localement . Donc ayant où ce dernier vecteur est le vecteur normal de la base de Frenet, on a donc . Mais en polaire toujours, donc localement et donc finalement .

Bon ce n'est pas terrible comme démo, il y en a une mieux avec les arcs paramétrés, mais là j'ai la flemme


EDIT : grillé par Coincoin

[zoup1]

Tu trouveras une démonstration ici :
http://www.uel-pcsm.education.fr/con...apitrea/a3.htm
qui vient de ce site là :
http://www.uel-pcsm.education.fr/con...meca/index.htm

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite11f2a3ff]

Merci beaucoup je vais prendre le temps de regarder tout ça
@+

[BioBen]

Si tu regardes en coordonnée cylindriques

Ca c'est du polaire (enfin polaire et cylindrique c'est totalement pareil mais avec z Uz en plus, puis dz/dt Uz pour la vitesse, puis d²z/dt² Uz pour l'accélération).
Enfin bon Latouffe c'est pas très important le résultat sur Ur et Utheta est la même.

[invite88ef51f0]

Non, c'est du cylindrique, sauf que je regarde dans le plan z=0... Non mais, je vais t'apprendre à chipoter !

[invite9c9b9968]

Et puis d'abord je préfère ma démo, elle est plus physicienne que la tienne (avec abus de "localement" comme il se doit), na

Ceci dit, plus sérieusement, le point de départ (évident j'en conviens) avant de prendre les coordonnées polaires est de dire que d'après le théorème du moment cinétique le mouvement est dans un plan perpendiculaire au moment cinétique, ce qui justifie l'utilisation des coordonnées polaires dans ce problème.

Même plus besoin des coordonnées cylindriques au final, je suis donc d'accord avec Ben

(séquence gros chipotage terminé)

Julien

[invite88ef51f0]

Si un de vous deux est capable de m'expliquer la différence entre les coordonnées polaires et les coordonnées cylindriques dans le plan z=0, je lui saurais gré de me l'expliquer. Je veux bien chipoter, mais point trop n'en faut !

Et puis d'abord je préfère ma démo, elle est plus physicienne que la tienne (avec abus de "localement" comme il se doit), na

Elle a surtout le mérite de ne pas se limiter aux mouvements circulaires... Mais je trouve quand même la mienne plus simple et plus "intuitive" ( ).

[invite9c9b9968]

Nooon mais ce n'était pas pour t'embêter voyons... Tu as tout à fait raison il n'y a aucune différence entre cylindrique et polaires à z=0

[BioBen]

Si un de vous deux est capable de m'expliquer la différence entre les coordonnées polaires et les coordonnées cylindriques dans le plan z=0

Bah moi j'en vois peut-être une (oublions le chipotage précédent, je me place dans un cadre plus large) : quand tu dis que tu te places dans des coordonées cylindriques avec z=0, tu déifnis quand même un vecteur uniteur Uz tel que Ur^Utheta = Uz.
Ce qui te permet de calculer par exemple un moment cinétique ou un moment de force sans avoir à te justifier quand le Uz apparait.

Tandis que si tu dis que tu te places en polaire il faut, si tu veux calculer un moment, d'abord dire que tu rajoutes un vecteur unitaire. Non ?
Enfin je me souviens de mon prof de td qui nous avait parlé d'un truc comme ca.

[invite88ef51f0]

C'est pour ça que je me suis placé en cylindrique !!! (ou l'art de toujours retomber sur ses pattes)
En effet si tu te places en 2D, tu ne peux plus définir le produit vectoriel...

[BioBen]

C'est pour ça que je me suis placé en cylindrique !!! [...]tu ne peux plus définir le produit vectoriel...

Il est où le produit vectoriel dans ton message 2 ? Bon ok j'arrete. Enfin bon comme quoi il y a bien une [toute petite] différence entre cylindrique avec z=0 et polaire.

[invite11f2a3ff]

Merci beaucoup Coincoin c'est limpide maintenant. Je n'avais encore jamais dérivé des vecteurs mais je me rends compte que c'est pas plus sorcier. En tout cas ça soulage parce que je deviens malade dès que qu'on me pond un résultat sans me le démontrer en cours. (Bon peut-être pas tant que ça sinon j'aurais regardé il y a un moment.)

Je n'ai pas compris ta démo Julien parce que je ne sais pas d'où tu tires ton accélération pour une force centrale. C'est à dire que Coincoin part de la base alors que tu utilises comme point de départ un résultat qu'il faudrait me démontrer aussi.

Désolé si je suis si exigeant. Merci à tous les quatre de vous être intéressés à mon problème en tout cas.
@+

[BioBen]

Je n'ai pas compris ta démo Julien parce que je ne sais pas d'où tu tires ton accélération pour une force centrale

La première démo qu'il t'écrit c'est l'équivalent de d²r/dt²-rw². Ici c'est un cercle alors d²r/dt² =0 donc en fait c'est la même que l'avant denrière formule de coincoin -rw²Ur
Car w= dtheta/dt.

utilises comme point de départ un résultat qu'il faudrait me démontrer aussi.|

Bah il est démontré par CoinCoin en fait

dérivé des vecteurs mais je me rends compte que c'est pas plus sorcier

Bah un tout petit peu plus en fait puisque d'autres termes apparaissent(dUr/dr = dtheta/dt Utheta par exemple), mais bon c'est loin d'être dur.

[invite88ef51f0]

Je n'ai pas compris ta démo Julien parce que je ne sais pas d'où tu tires ton accélération pour une force centrale. C'est à dire que Coincoin part de la base alors que tu utilises comme point de départ un résultat qu'il faudrait me démontrer aussi.

Euh... Julien, lis bien cette phrase !
Sinon Latouffe, as-tu compris pourquoi et , ou bien veux-tu qu'on te le montre (ça se fait très facilement) ?

[invite11f2a3ff]

Sinon Latouffe, as-tu compris pourquoi... et... , ou bien veux-tu qu'on te le montre (ça se fait très facilement) ?

Non merci ça c'est bon justement j'ai compris grâce à mon frère. Il suffit de placer un repère et puis on exprime Ur (vecteur) sous forme de cos et de sin, puis en dérivant on tombe sur uthéta qui fait en angle de pi/2 avec Ur et en redérivant on tombe sur -Ur. Merci

Au fait si je peux demander comment on fait pour arriver à écrire les formules comme vous faites dans un post ? Parce que c'est tout de même bien pratique. Merci

@+

[invite9c9b9968]

Euh... Julien, lis bien cette phrase !

J'ai compris. Je m'incline. Chapeau bas

[BioBen]

Au fait si je peux demander comment on fait pour arriver à écrire les formules comme vous faites dans un post ?

C'est les balises TeX.
http://forums.futura-sciences.com/thread12735.html

[invite88ef51f0]

Non merci ça c'est bon justement j'ai compris grâce à mon frère

Nickel, c'était le truc traître de mon explication. Tu diras merci à ton frère !

Au fait si je peux demander comment on fait pour arriver à écrire les formules comme vous faites dans un post ?

Regarde le lien de BioBen, et n'hésite pas à faire "Citer" sur un de nos messages, tu verras comment on a fait !

J'ai compris. Je m'incline. Chapeau bas

Il ne faut pas noyer la pédagogie dans la rigueur. Ok je me suis limité aux mouvements circulaires, mais Latouffe n'en a que mieux compris. Il faut savoir faire la distinction entre "démonstration" et "explicaton" (même si je te l'accorde Latouffe avait demandé une "démonstration")

[invite11f2a3ff]

Yes génial cool,

Merci à tous, bonne continuation