Mécanique quantique, hermitien, ket/bra et opérateurs...

[yuki-kurama]

Bonjour ^^

Alors j'ai deux questions concernant deux exercices ou je bloque...(pour des révisions de partiels c'est un peu génant :S) :

1 ère question :

Un spin 1/2 est plongé dans un champ magnétique Bo de composantes : Bx = Bo/(2)^1/2
By = 0
Bz = Bx

on posera dans tout le problème wo=-gamma.Bo, gamma étant le rapport gyromagnétique.

Calculer la matrice représentant dans la base |+>z et |->z; l'opérateur H (donc l'hamiltonien).

Je vois ce qu'est H selon sa formule H=P^2/2m + V(r) mais je ne comprend pas du tout comment faire...

2ème question :

-A étant un opérateur quelconque, démontrer la relation <phin|[H,A]|phin>=0
-Calculer <phin|[H,X]|phim>
En déduire que <phin|P|phim> = alpha<phin|X|phim>
En déduire que <phin|P|phin> = 0

Je ne vois pas exacement en fait que ce que représente <phin|...|phinoum>

Merci de vos futures réponses ^^
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[yahou]

Calculer la matrice représentant dans la base |+>z et |->z; l'opérateur H (donc l'hamiltonien).

L'hamiltonien classique d'interaction entre un champ magnetique et un spin est proportionnel au produit scalaire du champ avec le spin. Ici on aura donc
Pour la version quantique, et deviennent des operateurs qu'on te demande d'exprimer dans la base des etats propres de . Du coup est assez evident ; pour l'autre il faut regarder du cote des matrices de pauli.

-A étant un opérateur quelconque, démontrer la relation <phin|[H,A]|phin>=0

Pour que ceci soit vrai quelque soit l'operateur A, il faut que phi soit un etat propre de H. n et m sont donc certainement des indices utilises pour numeroter les differents etats propres de H.
A moins que ce ne soit la notation <| |> elle meme qui te pose probleme ?

[yuki-kurama]

Pour la version quantique, et deviennent des operateurs qu'on te demande d'exprimer dans la base des etats propres de . Du coup est assez evident ; pour l'autre il faut regarder du cote des matrices de pauli.

J'ai compris la première partie sur la proportionnalité mais ça j'ai un peu de mal ^^

A moins que ce ne soit la notation <| |> elle meme qui te pose probleme ?

Je pense que c'est ça en effet, je sais que ca représente des bras et des kets mais je ne comprend pas ce que ca représente l'ensemble <|X,Y|>

[yahou]

Ce serait plus facile si tu étais moins vague sur ce que tu sais déjà et ce qui te bloque exactement. D'autant que les questions que tu poses touchent à des choses de base qu'on trouve d'ordinaire dans les cours/bouquins, donc il est difficile de savoir par où commencer.

J'ai compris la première partie sur la proportionnalité mais ça j'ai un peu de mal ^^

Tu sais sans doute que est un état propre de Sz avec la valeur propre . Ca veut dire que Sz est représenté dans la base par la matrice .
Pour exprimer Sx (ou Sy) dans cette base, il faut trouver un jeu de matrices qui vérifient les relations de commutions usuelles pour les moments cinétiques. Pour un spin 1/2, ce jeu de matrice est construit à partir des matrices de Pauli (voir par exemple sur wikipedia).

Je pense que c'est ça en effet, je sais que ca représente des bras et des kets mais je ne comprend pas ce que ca représente l'ensemble <|X,Y|>

<x|O|y> est le produit scalaire de |x> avec O|y> où O|y> est le résultat de l'application de l'opérateur O au ket |y>, qui se trouve être aussi le produit scalaire de O|x> avec |y> lorsque O est hermitien.
[H,A] est le commutateur des opérateurs H et A, et c'est aussi un opérateur, donc rien d'empêche de considérer O=[H,A].

[A voir en vidéo sur Futura]