Paradoxe d'Achille et la tortue

[verdae31]

Bonjour,

Je cherche à comprendre le paradoxe d'Achille et la tortue (un des paradoxe de Zenon d'élée).
Je ne comprends pas comment on peut écrire que la somme d'un nombre infini de terme soit finie ?
Le fait qu'il y est une infinité de terme entraine obligatoirement l'inexistence d'un dernier terme (qui serait zero) ! et de ce fait, on ne peut a aucun moment écrire un résultat pour la somme, car il n'existe pas de dernier terme.

Pourtant la tortue est bien rattrapée par Achille et même dépassé.

Le problème est donc sur le terme "infini" qui dans une situation réelle n'a pas de sens car pas réalisable.

C'est la différence entre la théorie mathématique et la réalité physique !

Ceci est-il un bonne explication du paradoxe ?

Merci
-----

[whoami]

Bonjour,

Bonjour,

Je cherche à comprendre le paradoxe d'Achille et la tortue (un des paradoxe de Zenon d'élée).
Je ne comprends pas comment on peut écrire que la somme d'un nombre infini de terme soit finie ?
Le fait qu'il y est une infinité de terme entraine obligatoirement l'inexistence d'un dernier terme (qui serait zero) ! et de ce fait, on ne peut a aucun moment écrire un résultat pour la somme, car il n'existe pas de dernier terme.

Pourtant la tortue est bien rattrapée par Achille et même dépassé.

Le problème est donc sur le terme "infini" qui dans une situation réelle n'a pas de sens car pas réalisable.

C'est la différence entre la théorie mathématique et la réalité physique !

Ceci est-il un bonne explication du paradoxe ?

Merci

Eh non !

Ça se démontre, une petite recherche devrait te permettre de trouver.

[verdae31]

Bonjour,

Eh non !

Ça se démontre, une petite recherche devrait te permettre de trouver.

Oui, bien-sûr cela se démontre, mais la démonstration est basé sur la notion de limite qui contient elle même un infini qui physiquement n'a pas de sens !

[invite7cf0b55f]

Ce n'est pas parce qu'un intervalle peut se décomposer en une infinité de morceau (exemple l'intervalle [0,1]), qu'il me faut une infinité d'étape pour le parcourir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thwarn]

Si si, ça a un sens, une quantité est infinie en physique quand elle est beaucoup plus grande que toute les autres quantités (de meme dimension) du probleme.

Et de toute façon, ce genre de consideration n'intervient pas ici, le paradoxe ne se resoud pas en disant que c'est le passage à la limite qui est interdit (vu qu'en physique, on le prend tout le temps, meme quand ce n'est pas autaurisé )

[LPFR]

Bonjour.
Le paradoxe de Zénon est basé sur une hypothèse non dite et fausse: il ne peut pas se produire un nombre infini d'événements dans un temps fini.

Un autre des paradoxes du même genre: Achille ne peut même pas parcourir 1/10ème de la distance car il lui faudra d'abord parcourir 100ème et avant cela 1/1000ème, etc. Achille ne peut pas bouger.

Ça c'est du baratin. Mais on peut venir aux expériences: Laissez tomber une balle de ping-pong sur la table. L'intervalle entre les rébonds diminue avec le temps car la collision n'est pas élastique. Si vous faites la somme de ces temps vous obtenez un temps fini. La balle aura rebondi un nombre infini de fois dans un temps fini. Non seulement il peut avoir un nombre infini d'événements de raisonnement dans un temps fini, mais il peut avoir un nombre infini d'événements physiques.

Pour éviter de protestations: la balle s'arrête probablement avant, quand elle arrive aux fréquences égales à celle des modes propres de balle.
Au revoir.

[verdae31]

Si si, ça a un sens, une quantité est infinie en physique quand elle est beaucoup plus grande que toute les autres quantités (de meme dimension) du probleme.

Et de toute façon, ce genre de consideration n'intervient pas ici, le paradoxe ne se resoud pas en disant que c'est le passage à la limite qui est interdit (vu qu'en physique, on le prend tout le temps, meme quand ce n'est pas autaurisé )

Je suis tout à fait d'accord sur ta notion d'infinie, c'est un nombre immense par rapport à un autre, mais c'est un nombre défini donc fini et très grand.
C'est donc une notion relative.

Je n'arrive à comprendre le paradoxe de Zenon que si je fais intervenir un nombre très grand d'étapes mais pas une infinité au sens mathématique du terme ? qui pour moi signifie aucun dernier terme!

Qu'en pensez-vous ?

[philou21]

...Pour éviter de protestations: la balle s'arrête probablement avant, quand elle arrive aux fréquences égales à celle des modes propres de balle...

En fait grâce à Heisenberg, elle ne s'arrêtera pas...ouf...

[LPFR]

En fait grâce à Heisenberg, elle ne s'arrêtera pas...ouf...

Re.
J'aurais dû dire "s'arrêtera de rebondir".
A+

[adhalam]

Bonjour,

les grecs anciens n'aimaient pas l'infini

le problème d'Achille et la tortue revient à une somme à l'infini de petites distances et cette "série" va converger vers une somme finie et Achille dépassera la tortue

[verdae31]

Bonjour.
Le paradoxe de Zénon est basé sur une hypothèse non dite et fausse: il ne peut pas se produire un nombre infini d'événements dans un temps fini.

Un autre des paradoxes du même genre: Achille ne peut même pas parcourir 1/10ème de la distance car il lui faudra d'abord parcourir 100ème et avant cela 1/1000ème, etc. Achille ne peut pas bouger.

Ça c'est du baratin. Mais on peut venir aux expériences: Laissez tomber une balle de ping-pong sur la table. L'intervalle entre les rébonds diminue avec le temps car la collision n'est pas élastique. Si vous faites la somme de ces temps vous obtenez un temps fini. La balle aura rebondi un nombre infini de fois dans un temps fini. Non seulement il peut avoir un nombre infini d'événements de raisonnement dans un temps fini, mais il peut avoir un nombre infini d'événements physiques.

Pour éviter de protestations: la balle s'arrête probablement avant, quand elle arrive aux fréquences égales à celle des modes propres de balle.
Au revoir.

La balle n'a pas rebondit une infinité de fois car sinon vous ne pouvez pas obtenir le dernier intervalle de temps puisqu'il n'y a pas de dernier intervalle ! La balle a rebondit un nombre fini de fois ?

Qu'est ce qu'un nombre infini d'événements pour vous ?

Merci

[Thwarn]

Bonjour,

les grecs anciens n'aimaient pas l'infini

le problème d'Achille et la tortue revient à une somme à l'infini de petites distances et cette "série" va converger vers une somme finie et Achille dépassera la tortue

Le paradoxe vient surtout du fait qu'on parle de "combien avance achille quand la tortue fait un metre" alors que lorsqu'on utilise la notion de vitesse, il faut parler de combien avance achille et la tortue pendant un laps de temps donné.

Pour paraphraser, le paradoxe vient du fait que zelon utilise des pas de temps de plus en plus petit, tout en en prenant un nombre de plus en plus grand, pour imposer artificielement qu'achille ne ratrappe pas la tortue.


PS: pour revenir à la notion de d'infinie en physique, quand on a une quantité plus grande que toutes les autres de meme dimension (par exemple la vitesse de la lumiere en physique classique), certe cette quantité n'est pas physiquement infinie, mais on passe mathematiquement à la limite infinie.

[LPFR]

La balle n'a pas rebondit une infinité de fois car sinon vous ne pouvez pas obtenir le dernier intervalle de temps puisqu'il n'y a pas de dernier intervalle ! La balle a rebondit un nombre fini de fois ?

Qu'est ce qu'un nombre infini d'événements pour vous ?

Merci

Re.
Si la balle ne s'arrêtait pas de rebondir à cause de modes propres (vers le kHz je suppose) elle rebondirait un nombre infini de fois en passant par des intervalles de saut aussi petits que ceux de la lumière ou de rayons gamma.
Et bien évidemment il n'y aurait pas de dernier saut.
Et un nombre infini n'est pas un nombre fini, même si tout ce monde rentre dans un intervalle fini.
A+

[verdae31]

Re.
Si la balle ne s'arrêtait pas de rebondir à cause de modes propres (vers le kHz je suppose) elle rebondirait un nombre infini de fois en passant par des intervalles de saut aussi petits que ceux de la lumière ou de rayons gamma.
Et bien évidemment il n'y aurait pas de dernier saut.
Et un nombre infini n'est pas un nombre fini, même si tout ce monde rentre dans un intervalle fini.
A+

Si la balle ne s'arrêtait pas ! Or elle s'arrête de rebondir par conséquent, le nombre de rebond est fini et là je comprends que l'on puisse donner une valeur à la somme .

@+

[LPFR]

Si la balle ne s'arrêtait pas ! Or elle s'arrête de rebondir par conséquent, le nombre de rebond est fini et là je comprends que l'on puisse donner une valeur à la somme .

@+

Re.
Et non. Vous raisonnez comme Zénon.
Vous avez un nombre infini de bonds dans un temps fini.
Imaginez que la rapport de temps soit deux.
Vous aurez de rebonds de 1, ½, ¼, 1/8, etc. secondes. Au bout de 2 secondes la balle ne rebondira plus, mais elle aura effectué un nombre infini de rebonds.
A+

[SchliesseB]

je peux trouver (mathématiquement) plein de "somme" d'un nombre infini de termes qui converge vers quelque chose de fini sans être jamais nul.

par exemple:

en effet, qui tend donc vers 1

il ne faut pas penser qu'une somme d'un nombre infini de termes est infini. si les termes décroissent "vite" ça marche bien.

[verdae31]

Re.
Et non. Vous raisonnez comme Zénon.
Vous avez un nombre infini de bonds dans un temps fini.
Imaginez que la rapport de temps soit deux.
Vous aurez de rebonds de 1, ½, ¼, 1/8, etc. secondes. Au bout de 2 secondes la balle ne rebondira plus, mais elle aura effectué un nombre infini de rebonds.
A+

Désolé mais je ne comprends pas !
Si au bout de 2 secondes la balle ne rebondit plus, alors le nombre de rebond est fini ?
Physiquement, si je fais tomber ma balle de ping pong je peux observer et compter le nombre de rebond avant que la balle ne s'arrête (personne ne peut dire le contraire) : ce nombre est fini

Merci

[LPFR]

Bonjour.

Désolé mais je ne comprends pas !
Si au bout de 2 secondes la balle ne rebondit plus, alors le nombre de rebond est fini ?

Non. Ce n'est pas une raison. C'est ça la faille du raisonnement de Zénon.

Physiquement, si je fais tomber ma balle de ping pong je peux observer et compter le nombre de rebond avant que la balle ne s'arrête (personne ne peut dire le contraire) : ce nombre est fini

Oui. Comme j'ai dit des de début, Un balle de ping-pong réelle s'arrête de rebondir quand la fréquence des rebonds atteint celle d'un des modes propres de la balle.

Et la suite est: si la balle n'avait pas de modes propres.... Dans ce cas imaginaire (car de telles balles sont difficiles à trouver) il y aurait un nombre infini de rebonds dans un temps fini.
Et si de telles balles existaient, vous vous arrêterez de compter les rebonds quand leur fréquence dépassera les capacités de votre compteur (quelques dizaines de GHz, peut-être).
Au revoir.

[invite6754323456711]

Physiquement, si je fais tomber ma balle de ping pong je peux observer et compter le nombre de rebond avant que la balle ne s'arrête (personne ne peut dire le contraire) : ce nombre est fini

Merci

Je suppose qu'il faisait allusion à la durée entre deux rebonds qui décroit rapidement. Maintenant cette expérience a des limites arrivé à l'échelle de Planck. Si on suppose que le temps est quantique on s'en sort me semble t'il par un nombre fini de durée.

Patrick

[verdae31]

Bonjour.

Non. Ce n'est pas une raison. C'est ça la faille du raisonnement de Zénon.



Oui. Comme j'ai dit des de début, Un balle de ping-pong réelle s'arrête de rebondir quand la fréquence des rebonds atteint celle d'un des modes propres de la balle.

Et la suite est: si la balle n'avait pas de modes propres.... Dans ce cas imaginaire (car de telles balles sont difficiles à trouver) il y aurait un nombre infini de rebonds dans un temps fini.
Et si de telles balles existaient, vous vous arrêterez de compter les rebonds quand leur fréquence dépassera les capacités de votre compteur (quelques dizaines de GHz, peut-être).
Au revoir.

Difficile à trouver ou impossible à trouver ?

Merci

[LPFR]

Difficile à trouver ou impossible à trouver ?

Re.
"Difficile" c'était un euphémisme. Tous les solides sont déformables.
Et pour qu'il y ait rebond il faut que le socle ou la balle se déforment. Donc, même si je sortais de ma manche des balles et de socles indéformables, la balle ne rebondirait pas: elle casserait.

L'idée de la balle sert seulement à démontrer (théoriquement) que dans un temps fini il peut arriver un nombre infini d'évènements "baratin" (Achille dépasse une marque) mais aussi des évènements matériels.
Et ce ne sont pas les modes propres, l'agitation thermique ou les limites imposés par la mécanique quantique qui font que les rebonds s'arrêtent au bout de 1,9990000 secondes qui invalident la possibilité (théorique) d'un nombre infini d'évènements matériels (toc-toc-toc,...) dans un temps fini.
A+

[invite9590ca3b]

si l'espace-temps est discontinu, il n'y a plus de paradoxe !

[invite6754323456711]

si l'espace-temps est discontinu, il n'y a plus de paradoxe !

Il suffit de représenter les durées par une série convergente comme la fait SchliesseB puis s'interroger sur le sens physique des valeurs à l'échelle ou ni la RG, ni la MQ ne sont plus valide. Aucun prosélytisme ne pourra rien y changer.

Patrick

[verdae31]

Re.
"Difficile" c'était un euphémisme. Tous les solides sont déformables.
Et pour qu'il y ait rebond il faut que le socle ou la balle se déforment. Donc, même si je sortais de ma manche des balles et de socles indéformables, la balle ne rebondirait pas: elle casserait.

L'idée de la balle sert seulement à démontrer (théoriquement) que dans un temps fini il peut arriver un nombre infini d'évènements "baratin" (Achille dépasse une marque) mais aussi des évènements matériels.
Et ce ne sont pas les modes propres, l'agitation thermique ou les limites imposés par la mécanique quantique qui font que les rebonds s'arrêtent au bout de 1,9990000 secondes qui invalident la possibilité (théorique) d'un nombre infini d'évènements matériels (toc-toc-toc,...) dans un temps fini.
A+

C'est exactement ce que je n'arrive pas à comprendre : "Un nombre infini d'évènements matériels (toc-toc-toc,...) dans un temps fini "

Si il y a une infinité de toc et que chaque toc possède une durée de 1 seconde alors la durée ne notre évènement est infini ! Non ?

Merci

Ps: SVP je voudrais vraiment cette notion
Voici ce que je comprends :
En math : si je prends la somme 1+1/2+1/4+1/8+... cette somme tend vers 2 si je fais tendre le nombre de terme a l'infini.
Donc effectivement sur un intervalle fini, je peux avoir un nombre infini de terme.

Mais je ne comprends pas le cas de la balle dans le cas d'une balle réelle j'ai l'impression que le nombre de terme (rebond) n'est pas infini sur l'intervalle de 2 secondes

[SchliesseB]

oui si elle rebondit toute les secondes ça ne marche pas

mais, pour reprendre l'exemple, la balle rebondira de plus en plus vite (elle perd de l'énergie par frottement par exemple).

[LPFR]

Bonjour.
Comme l'a dit SchliesseB, si les intervalles ont une durée fixe ça ne marche pas. Même si la durée diminue (par exemple comme 1/n) ça ne suffit pas pour que la somme totale soit finie. Il faut que la durée diminue suffisamment vite.

Si on calcule la durée des rebonds pour une balle qui rebondit avec des chocs avec un coefficient de restitution inférieur à 1, on constate que les intervalles forment une série géométrique (comme 1+1/2+1/4+1/8+...) et que la somme de la série est finie.
Pour s'en convaincre il suffit de faire le calcul.
Au revoir.

[invite21348749873]

je peux trouver (mathématiquement) plein de "somme" d'un nombre infini de termes qui converge vers quelque chose de fini sans être jamais nul.

par exemple:

en effet, qui tend donc vers 1

il ne faut pas penser qu'une somme d'un nombre infini de termes est infini. si les termes décroissent "vite" ça marche bien.

Bonjour
Tout à fait; il n'y a pas de "paradoxe" à ce qu'une série soit convergente.

[invite6754323456711]

Bonjour,

Il me semble que pour donner un sens physique à la formulation mathématique, d'où mes interventions, il faut préciser dans quel modèle on se place.

Par exemple dans les modèles de la relativité les horloges peuvent avoir une précision infini (par convention de la définition du temps propre). Cela fait donc sens dans le modèle car c'est une interprétation de ce dernier.

Patrick

[Pio2001]

Voici ce que je comprends :
En math : si je prends la somme 1+1/2+1/4+1/8+... cette somme tend vers 2 si je fais tendre le nombre de terme a l'infini.
Donc effectivement sur un intervalle fini, je peux avoir un nombre infini de terme.

Mais je ne comprends pas le cas de la balle dans le cas d'une balle réelle j'ai l'impression que le nombre de terme (rebond) n'est pas infini sur l'intervalle de 2 secondes

C'est exactement cela.

[invite21348749873]

C'est exactement cela.

Bonjour
Le choc de la balle sur le sol n'est pas vraiment élastique; il y a dissipation d'énergie en chaleur dans la déformation de la balle et du sol, et en énergie sonore. A chaque rebond, l'énergie décroit.
Il existe donc un Neme choc qui est un choc mou, ou l'énergie de la balle n'est plus suffisante pour la faire décoller dus ol et les rebonds s'arretent, faute d'énergie.