Force de gravité exercé par 2 objets

[invited927d23c]

Bonjour,

Je considère 2 objets de masse M1 et M2, séparé d'une distance initiale di à l'instant t=0, ne subisant que la force de gravitée.

Comme et ,
l'accéleration subit par l'objet 1 sous l'influence de la force de gravitée de l'objet 2 est .

Et c'est la où vient mon problème : comment décrire la vitesse de l'objet 1 en fonction de la distance d entre l'objet 1 et 2. Donc je me dit que
donc quand v=0, d=di donc donc

Mais cette équation pour la vitesse doit être fausse vu qu'elle donne des valeurs négatives pour la vitesse.

Par la suite j'aimerais décrire la vitesse en fonction du temps. Je pense qu'il suffira de résoudre l'équation différentielle

Est-ce que quelqu'un pourrais m'aider pour trouver mon erreur? merci d'avance.
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[invite19415392]

Attention, ici pour passer de l'accélération à la vitesse tu as intégré par rapport à la distance (or il faudrait une intégration par rapport au temps).

Le plus simple est de passer par la conservation de l'énergie :
E = Ec + Epot
Epot = - G.M.M' / d (prise nulle à distance infinie par convention)
et bien sûr Ec = M.v²/2

À d_i, Ec = 0 => E = -G.M.M'/d_i
Pour d<d_i : E = -G.M.M'/d_i = M.v²/2 - G.M.M'/d
=> v = sqrt(2.G.M'.(1/d-1/d_i)) si je ne me suis pas schtroumpfé.
[il faudra un jour que je me mette au formattage propre des formules sur ce forum]

[invitec314d025]

L'accélération c'est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. Tu dois donc intégrer par rapport au temps, pas la distance.

[EDIT: croisement]

[invitea29d1598]

Mais cette équation pour la vitesse doit être fausse vu qu'elle donne des valeurs négatives pour la vitesse.

une vitesse est une mesure du changement de position. Si tu te donnes un axe gradué sur lequel tu repères un point/objet, avoir une vitesse négative signifie simplement que ton objet se déplace vers des endroits repérés par des valeurs plus petites de la graduation. Dans le cas précis que tu regardes, le signe de ta vitesse dépendra du sens choisi pour la graduation sur l'axe qui lie les deux masses, mais une chose est sûre : la force est attractive, cela signifie que dans un premier temps la distance entre les deux objets va diminuer et la vitesse augmenter en norme (= valeur absolue), ce qui ressort aussi de la conservation de l'énergie décrite par Baygon (note aussi que dans sa formule le v désigne la valeur absolue de la vitesse... faut pas mélanger les deux).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited927d23c]

Merci, pour vos réponse et toutes vos explications. Je me disais bien que le problème devair se situer au fait que j'ai intégré par rapport à la distance. Mais comme j'ai jamais fait ça à l'école, et que j'essaye tous seul je savais pas trop .

Maintenant c'est clair. J'avais pas pensé à utiliser l'energie cinétique et potentielle pour résoudre mon problème.

[invitec314d025]

Maintenant il faut aussi voir que vu la manière dont tu abordes le problème, tu considères que les vitesses initiales des deux objets sont nulles. Tu peux aussi résoudre de cette manière le cas où les vitesses initiales sont colinéaires à l'axe objet 1-objet 2, mais pour des vitesses initiales avec des directions différentes, ce sera un peu plus compliqué. Donc, pour retrouver les lois de Kepler, c'est pas tout de suite.

[invited927d23c]

Bon voila mon ma prochaine question, comme je veux trouver la fonction qui décrit la vitesse en fonction du temps, je pose l'équation différentielle suivante , je suppose que c'est juste vue que la différentielle de la distance sur la différentielle du temps devrait me donner la vitesse? Si c'est faux dite le.

En refesant les calculs de Baygon_Jaune je trouve bien que .

Mais puis en résolvant ,
je trouve une fonction bizzare, et je suppose que j'ai du faire une grosse erreur quelques part.

[invited927d23c]

Je ne savais pas que Kepler avait fait une loi la dessus. Pour le moment je me contente juste du cas ou les vitesses initiales sont nulles. C'est déjà suffisant au niveau de la difficultée , pour le moment.

[invited927d23c]

Ma fonction ne décrit pas la vitesse en fonction du temps mais la distance entre les 2 objets en fonction du temps.

[invite2c6a0bae]

tu sais que a (acceleration ) est = à la derivé de la vitesse v par rapport au temps, egale aussi a la derivé seconde de la position d(t) par rapport au temps

or a = G M / d(t)²

d'ou G M / d(t)² = d²d(t)/dt²

on a une equa diff mais je en sais pas la resoudre, le probleme, c'est que c'est inversement proportionnelle à (d(t) )² !!!!

la resolution menera a une formule donnant la position en fonction du tps (ainsi que la vitesse et l'acc ... )

[invited927d23c]

Bonjour,

Je viens de reprendre les calculs, à partir de l'équation de lephysicien, ou on introduit une fonction d(t) inconnu representant la distance en fcontion du temps.
Je comprend parfaitement l'équation, je suppose que pour résoudre cette équation différentielle il faut faire passer les dénominateurs de l'autre coté de l'équation et intégré 2 fois de suite. Mais je suis gener par le fait que la fonction d(t) est inconnue, est-ce possible de résoudre sans connaitre la fonction?

Merci pour vos réponses.

[invited927d23c]

Bonjour,

J'ai une fois essayer de résoudre cette équation différentielle, je trouve une équation plausible, mais je ne garanti pas la justesse des calculs (c'est surement la cata), donc voici :





Je suppose que le r que je trouve à la fin est la distance parcouru en fonction du temps?

Merci beaucoup pour vos éclaircissement.