Source de chaleur circulaire sur un plan semi-infini

[mandracs]

Bonjour,

J'essaye de résoudre l'équation de la chaleur en régime stationnaire dans le cas d'une source de chaleur circulaire posée sur un plan semi-infini (schéma en pièce jointe). En fait ce que je recherche c'est la démonstration de la résistance thermique définie par :

avec R le rayon de la source de chaleur circulaire et la conductivité thermique du plan semi-infini.

(C'est un peu long, le résultat arrive à partir de la phrase en gras : Le problème commence ici )

Je me suis donc lancé dans les calculs et voilà où j'en suis :

L'équation de la chaleur en régime permanent et en coordonnée cylindrique donne :


Les conditions aux limites pour T(r,z) sont :

en z=0 pour |r|<R
en z=0 pour |r|>=R

Ensuite on pose et pour la méthode de séparation de variables d'où :


Cela aboutit à 2 équations :
(1)
(2)

dont les solutions sont :


où et sont les fonctions de Bessel

On élimine les solutions divergentes :
=>B=0
pour

d'où :

(Le problème commence ici)



Il reste à déterminer AC et c'est là que commence les ennuis. La dernière condition aux limites s'écrit :
en z=0 pour |r|<R (3)
en z=0 pour |r|>=R (4)

Soit :
en fonction de r

Pour le cas ou l'équation est nulle (r>R) ca implique :
avec k racine de l'équation

Maintenant pour l'autre cas de figure (r<R), je ne vois pas trop comment faire...

Alors quand même pour avancer à partir de :


on voit que d'où :


il reste maintenant à montrer que :


Merci
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