problème de force centrale

[invite67f80e10]

J'ai un soucis avec un exo, un projectile M est envoyé du pole nord au pole sud de la terre de centre Rt et de masse mt.

Il y a un angle alpha entre l'axe des poles et la direction du vecteur vitesse initiale vo.

Il montrer que M a une trajectoire qui forme un conique.

J'ai poser le PFD en supposant que M était uniquement soumis à une foce centrale F=fr.ur=-K/r²

Ma=fr.ur

ensuite je pose a = -c²u²(d²u/dthéta²+u)

j'obtiens finalement: d²u/dthéta²+u=K/mC²

Mais je n'arrive pas à résoudre l'équa diff et trouver les conditions initiales pour trouver l'équation de la conique
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[invitead1578fb]

Bonsoir,

ll'équa diff que tu proposes me fait penser à un classique:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Formules_de_Binet

je pense que cela pourra t'aider
Bonne soirée
Blable

[silk78]

Pour ce qui est de l'équa diff :

Tu as l'équation différentielle suivant :


Cette équation est celle d'un oscillateur harmonique avec second membre constant. Pour la résoudre, il faut résoudre l'équation différentielle homogène (1H) associée à (1) et additionner la solution de (1H) une solution particulière de (1).

1) Équation homogène



La solution générale de cette équation différentielle est de la forme :
avec A l'amplitude et Phi la phase deux constantes.

2) Solution particulière de (1)

On cherche une solution particulière u_p sous forme d'une constante :


3) Solution générale de (1) et valeur de r

On additionne la solution de (1H) à u_p :


En inversant on a donc :




M a donc pour trajectoire la conique d'excentricité e.

4) Determination de p

Si le moment cinétique a pour norme L_O, on a :
(loi des aires)

On calcule L_O grâce aux conditions initiales :

Or à t=0, tu es sur Terre, et la vitesse initiale forme un angle alpha avec l'axe des pôles Ur d'où :




Après pour trouver e et phi c'est plus difficile et sur le coup je sais pas trop. Je dirais qu'il faut utiliser l'energie mécanique (qui dépend de u grâce à la formule de Binet) et intégrer dedans notre formule pour u ce qui permettra peut-être de trouver e, car on connait la valeur de l'energie grâce au CI. Je te laisse essayer.

[invite67f80e10]

merci mec, c'est super cool

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite67f80e10]

par contre pour u et phi, il faut utiliser les données initiales mais je ne les avais pas précser donc tu n'aurais de toutes façons pas pu trouver mais merci beaucoup t'as réponse est de qualité.