force centrale et energie potentielle?

[Vishnu]

Bonjour a tous,

Est-ce que toute force centrale dérive d'une energie potentielle?
Si oui, est que toute force a acceleration centrale derive d'une energie potentielle?

Merci
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[Seirios]

Bonjour,

Est-ce que toute force centrale dérive d'une energie potentielle?

A priori, je ne pense pas. Une force centrale (de centre C) aura pour expression , donc difficile de dire si la force dérive d'une énergie potentielle dans le cas générale.

[Universus]

Non, pas nécessairement.

Un champ de force dérive d'une énergie potentielle (de telle sorte, par définition, que ) que si le champ de force est conservatif. Le sens à accorder à conservatif pour un champ de force est le suivant : si on cherche à déplacer à vitesse constante un objet d'un point A à un point B selon un chemin , le travail qu'il faudrait effectuer serait donné par l'intégrale de chemin

Le champ de force est conservatif si et seulement si, par définition, la valeur de cette intégrale ne dépend pas du chemin .

De cette définition, on peut imaginer des champs de forces centrales non conservatifs, par exemple parce qu'ils ont une dépendance sur le temps (dans ce cas par contre, le champ peut tout de même être conservatif instantanément, ce n'est donc pas le meilleur exemple).

Un exemple : soit avec la colatitude et l'angle azimutal. Ce champ est central (en particulier radial étant donné le choix implicite de système de coordonnées et d'origine fait), mais est-il conservatif? Un certain critère nous dit que si le rotationnel d'un champ n'est pas identiquement nul, alors ce champ n'est pas conservatif. Ici, le rotationnel est :

Ce champ n'est donc pas conservatif, son rotationnel n'étant pas nul partout dans l'espace. Cela implique donc physiquement que ce champ de forces ne pourrait dériver d'une énergie potentielle.

Néanmoins, un chose intéressante est la suivante. Soient les trois propositions suivantes :
1) un champ de forces est central ;
2) un champ de forces est à symétrie sphérique par rapport à un point nommé «centre»;
3) un champ de forces est conservatif, i.e. il dérive d'une énergie potentielle.

Si deux de ces trois énoncés sont vérifiés pour un certain champ, alors ce champ vérifie aussi le troisième énoncé. Par exemple, le champ gravitationnel et le champ électrique (ou le champ de forces associé en multipliant le champ par la masse ou la charge électrique respectivement) vérifient 1) et 2) et vérifient donc 3).