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Force centrale et energie mécanique



  1. #1
    SpintroniK

    Force centrale et energie mécanique


    ------

    Bonjour,

    en fait je me demandait comment est-ce qu'on démontre que dans le cas d'un système soumis à une force centrale , et ayant une trajectoire elliptique, l'énergie mécanique est telle que :
    E = -G.M.m/2a
    avec a le demi grand axe de l'ellipse.

    Merci d'avance...

    -----

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  3. #2
    SpintroniK

    Re : Force centrale et energie mécanique

    je sais que pour une trajectoire circulaire c'est à peu près la même chose parceque Em=-Ec
    Mais pour l'ellipse je ne suis même pas sûr de ce que j'ai dit.

  4. #3
    invité576543
    Invité

    Re : Force centrale et energie mécanique

    Citation Envoyé par SpintroniK
    Bonjour,

    en fait je me demandait comment est-ce qu'on démontre que dans le cas d'un système soumis à une force centrale , et ayant une trajectoire elliptique, l'énergie mécanique est telle que :
    E = -G.M.m/2a
    avec a le demi grand axe de l'ellipse.

    Merci d'avance...
    Une force centrale, c'est pas suffisant pour en conclure une formule comme présentée. Le point important dans ce cas de la gravitation (puisque G est cité!), c'est que le module de la force décroit en 1/r².

    Cordialement,

  5. #4
    SpintroniK

    Re : Force centrale et energie mécanique

    en gros ce que j'essaye de faire c'est passer de la première ligne de calcul à la 2éme sur cette page dans la partie La troisième Loi
    http://astroti.free.fr/astroti/docs03/plpos.html
    Est-ce qu'il faut considérer que cos(T - To) = 1 ???
    ( avec T = thêta )

  6. #5
    SpintroniK

    Re : Force centrale et energie mécanique

    si on prend cos(T - To) = 1 pour avoir une valeur (particuliére) constante de r alors tout est ok ...
    Mais est-ce qu'on a le droit de faire ça ????

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    physastro

    Re : Force centrale et energie mécanique

    Citation Envoyé par SpintroniK
    Bonjour,

    en fait je me demandait comment est-ce qu'on démontre que dans le cas d'un système soumis à une force centrale , et ayant une trajectoire elliptique, l'énergie mécanique est telle que :
    E = -G.M.m/2a
    avec a le demi grand axe de l'ellipse.

    Merci d'avance...
    Je viens de refaire un peu les calculs, en fait tu peux faire tout un raisonnement déductif t'amenant tranquilement au résultat, je ne referais pas biensur tous les calcculs mais je vais te donner les résultats intéressant.
    Par exemple l'Em=1/2m d²r/dt² +1/2 L²/mr² - GmM/r
    en fait ici ces le second membre qui fait que la trajectoire n'est pas circulaire (évidemment si tu ne vois pas comment on arrive à ce résultat dis le...)

    Ensuite il faut effectuer un changement de variable pour simplifier un peu les calculs, posons par exemple u=1/r, d'où du=-1/r² dr

    ainsi on obtient, Em=-GMmu + 1/2L²/m [(du/dO)² + u²]
    (avec O=théta)

    Tu peux enfin arriver à ton résultat après quelques relations établies entre p, q, e...
    Soit, Em=GMm/p [1/2e² - 1/2] = GMm/2p (e²-1)
    d'où Em = GMm/2q(1+e) (e²-1) = GMm/2q (e-1)

    sachant p=a(1-e²) tu obtiens bien Em=GMm/2a

    avec p la distance à l'aphélie et q la distance au périhélie...

    Si tu as un pb n'hésites pas...

  9. Publicité
  10. #7
    physastro

    Re : Force centrale et energie mécanique

    Citation Envoyé par SpintroniK
    si on prend cos(T - To) = 1 pour avoir une valeur (particuliére) constante de r alors tout est ok ...
    Mais est-ce qu'on a le droit de faire ça ????
    Ici ton (T-T0)=v et s'appelle l'anomalie vraie,
    donc r(T) = p / (1+ecos(T-T0)) = p / (1 + ecos(T0+v - T0)) = p / (1+ecos(v))

  11. #8
    SpintroniK

    Re : Force centrale et energie mécanique

    est-ce que pour le calcul de E je peux prendre cos(v) = 1 ???
    parceque si l'energie est constante, il faut que je l'exprime avec des constantes donc je prend une valeur particulière de r qui est constante en disant que v = 0...
    et je trouve donc une relation qui est la même que celle proposée sur le site web...
    Mais est-ce que j'ai le droit de dire que cos(v) = 1 pour le démontrer ???

  12. #9
    yahou

    Re : Force centrale et energie mécanique

    Citation Envoyé par SpintroniK
    est-ce que pour le calcul de E je peux prendre cos(v) = 1 ???
    parceque si l'energie est constante, il faut que je l'exprime avec des constantes donc je prend une valeur particulière de r qui est constante en disant que v = 0...
    et je trouve donc une relation qui est la même que celle proposée sur le site web...
    Mais est-ce que j'ai le droit de dire que cos(v) = 1 pour le démontrer ???
    Tu as répondu tout seul. L'énergie est la même quelle que soit v, donc on peut l'évaluer pour n'importe quel v.
    Those who believe in telekinetics, raise my hand (Kurt Vonnegut)

  13. #10
    physastro

    Re : Force centrale et energie mécanique

    Citation Envoyé par SpintroniK
    est-ce que pour le calcul de E je peux prendre cos(v) = 1 ???
    parceque si l'energie est constante, il faut que je l'exprime avec des constantes donc je prend une valeur particulière de r qui est constante en disant que v = 0...
    et je trouve donc une relation qui est la même que celle proposée sur le site web...
    Mais est-ce que j'ai le droit de dire que cos(v) = 1 pour le démontrer ???
    Le fait que Em=cte implique en fait que ton système est isolé.
    Tu peux évidemment prendre v=0, par exemple si tu te places au périhélie tu seras dans le cas où v est bien égal à 0 et r=q, d'où q = r(v=0) = p/(1+e)
    ainsi, r(v) = q(1+e) / (1+ecos(v))...
    Maintenant pour calculer E tu ne devrais pas avoir trop de pb ; il faut quand même savoir que dans le cas d'une orbite elliptique Em<0, on est dans le cas d'une orbite dite fermée et 0<e<1 (e=excentricité)...

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