Faites l'expérience

[invite356bf811]

Voilà je viens de traiter un problème de mécanique des fluides dans mon bouquin de physique et j'ai comparé et corrigé mes résultats à l'aide de la correction à la fin du livre... et j'ai tenté de faire l'expérience chez moi. Franchement je suis déçu, donc dites moi si vous avez essayé et que ça a mieux marché:

On rempli une bouteille d'eau minérale fermée que l'on assimile à un cylindre de hauteur H (si vous faites l'expérience il va falloir couper le haut de la bouteille en forme d'entonnoir et se débrouiller pour fermer le haut de la bouteille malgré tout), on la rempli donc à une hauteur (<H bien entendu). On perce un trou en bas de la bouteille et on y glisse une paille (j'ai personnellement assuré l'étanchéité au niveau de la paille avec de la pâte à coller comme celles qu'on utilise pour placarder des poster). On laisse l'eau s'écouler par la paille... quel est la hauteur finale d'eau?

Bon je vous épargne les détails, voici le résultat:


avec la pression atmosphérique (10^-5 pascals), la masse volumique de l'eau (1000kg/m^3), et g la pesanteur (9,81 m/s^2).

Personnellement, j'ai tenté la manipe dans mon évier avec une bouteille d'eau Volvic... et le peu d'eau qui est sortit est sortit par fuites ou alors parce que la bouteille n'était pas très verticale et que des bulles d'air entraient par la paille (ce qui ne doit pas se produire car il faut tenir l'ensemble parfaitement horizontal, y compris la paille).

Alors physiciens, si vous aussi la physique simple vous amuse, essayez l'expérience et dites moi si ça a bien marché!
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[mc222]

salut, je ne comprent pas ton problème, la hauteur finale, c'est pas la hauteur de la paille ?

[invite356bf811]

Hé non, le mot clé du problème est que la bouteille est fermée.
J'ai fais l'experience chez moi et ça n'a pas bien marché... donc j'aimerais bien que d'autres essayent aussi, c'est assez ludique.

[mc222]

a ok, mais c'est curieux, ta formule ne fait pas intervenir la section de l'ouverture.

J'vais fair l'expérience ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite974154ec]

sinon expérience plus simple et qui repose sur le même principe mais sans risque de fuite ? vous plonger une paille dans l'eau, vous bouchez avec une doi une des extrémités et vous la sortée de l'eau . et tatata !!! y'a rien qui coule . c pour ça que je pense que dans ton expérience, l'eau ne doit pas coulée si il n'y a pas d'appel d'air par le dessus .

[invite356bf811]

sinon expérience plus simple et qui repose sur le même principe mais sans risque de fuite ? vous plonger une paille dans l'eau, vous bouchez avec une doi une des extrémités et vous la sortée de l'eau . et tatata !!! y'a rien qui coule . c pour ça que je pense que dans ton expérience, l'eau ne doit pas coulée si il n'y a pas d'appel d'air par le dessus .

C'est ce que je pensais aussi mais en résolvant le problème on trouve le résultat que j'ai écrit au dessus... je sors la formule tout droit du corrigé du problème qui se trouve à la fin du livre... donc bon en théorie on devrait voir au moins un peu d'eau sortir =/ pour moi ça n'a pas marché en tout cas.

Il faut peut être faire attention aux ordres de grandeur, j'ai bien l'impression qu'en choisissant mal H et ho on ne pourra rien observer.

[invite2a415c51]

Bonsoir !

Euh... Je ne sais pas si c'est une erreur de frappe, mais la pression atmosphérique P0 n'est pas de 10^-5 Pa mais de 10^5 !

Une erreur d'un facteur 10 milliards, voilà qui changerait les résultats d'un calcul.

[invite356bf811]

Bonsoir !

Euh... Je ne sais pas si c'est une erreur de frappe, mais la pression atmosphérique P0 n'est pas de 10^-5 Pa mais de 10^5 !

Une erreur d'un facteur 10 milliards, voilà qui changerait les résultats d'un calcul.

Woops :P faute de frappe oui.
Je n'ai pas encore tenté de faire une application numérique, juste l'expérience en pratique qui n'a pas bien marché.

[invite93e0873f]

Pourtant, outre les problèmes qui te sont arrivés qui ne sont pas pris en compte dans l'obtention théorique de la formule, un calcul numérique est de mise pour pouvoir comparer quoique ce soit.

Supposons que est presqu'égal à de telle sorte que dans la formule, afin d'avoir une idée de grandeur, on pose l'égalité. De ta formule, on obtient :



Donc si (ce qui est fort probable vu l'ordre de grandeur de , est de l'ordre de 20 m), cela se réduit à :



Bref, rien ne sort. Bien sûr il est possible de considérer plus précisément le comportement du montage, mais cela donne déjà une idée (et avec les chiffres que tu as à ta disposition pour ton montage).

[invite356bf811]

Bon euh... j'ai cherché avec maple les extrémas de ho-hf(ho) pour différentes valeurs de H, et à moins d'avoir chez vous un cylindre de 1m de haut (valeur pour laquelle vous observerez un écoulement de 12mm à condition de prendre une hauteur initiale de 512mm) vous n'observerez rien.

Je crois que vous pouvez donc renoncer à faire cette expérience... pour une bouteille de taille standard (25cm), l'eau s'écoule au maximum de 0.76 mm à condition de prendre pour hauteur initiale 12.4 cm.

Enfin pour un cylindre de 3m de haut en prenant ho = 1.610m vous aurez un écoulement de 11 cm, mais bon, personne n'a ce genre de moyen chez soit.

[sitalgo]

Je reviens sur ce problème parce que dans un premier temps la formule m'avait paru trop alambiquée pour un problème aussi simple (d'un autre côté on n'a pas le schéma) et comme je n'ai rien eu à faire pendant que ma pâte à pizza lève...

Donc l'air est au début à la pression atmo Pa, le niveau He de l'eau est au début à Ho. La bouteille est de hauteur Ht.
La pression de l'air est fonction de He, on a Pair=Pa (Ht-Ho)/(Ht-He)
La pression de l'eau en bas de la bouteille est Pa, et au niveau de l'interface eau/air c'est Pa - rho g He.
Je dois donc avoir Pa (Ht-Ho)/(Ht-He) = Pa - rho g He
on arrive à rho g He² - He(Rho g Ht + pA) + Pa Ho = 0
He est une des racine de l'équation

Bon, ok, c'est à peine plus simple.
H=0.122487m ce qui fait une différence de 0,001513 soit 1,5mm.

On peut faire un contrôle approximatif :
124mm d'eau créé une dépression de 1216Pa.
L'air se dilate à 126*101300/(101300-1216)=127,53 soit 1,53mm
Oups! du coup il y a moins d'eau et la dépression est de 1202Pa
L'air se dilate à 126*101300/(101300-1202)=127,51 soit 1,51mm
Une itération suffit pour voir que c'est bon.

[invite356bf811]

Je reviens sur ce problème parce que dans un premier temps la formule m'avait paru trop alambiquée pour un problème aussi simple (d'un autre côté on n'a pas le schéma) et comme je n'ai rien eu à faire pendant que ma pâte à pizza lève...

Donc l'air est au début à la pression atmo Pa, le niveau He de l'eau est au début à Ho. La bouteille est de hauteur Ht.
La pression de l'air est fonction de He, on a Pair=Pa (Ht-Ho)/(Ht-He)
La pression de l'eau en bas de la bouteille est Pa, et au niveau de l'interface eau/air c'est Pa - rho g He.
Je dois donc avoir Pa (Ht-Ho)/(Ht-He) = Pa - rho g He
on arrive à rho g He² - He(Rho g Ht + pA) + Pa Ho = 0
He est une des racine de l'équation

Bon, ok, c'est à peine plus simple.
H=0.122487m ce qui fait une différence de 0,001513 soit 1,5mm.

On peut faire un contrôle approximatif :
124mm d'eau créé une dépression de 1216Pa.
L'air se dilate à 126*101300/(101300-1216)=127,53 soit 1,53mm
Oups! du coup il y a moins d'eau et la dépression est de 1202Pa
L'air se dilate à 126*101300/(101300-1202)=127,51 soit 1,51mm
Une itération suffit pour voir que c'est bon.

Je pense que c'est une façon de voir les choses, pour ceux curieux de connaitre ma démonstration de la formule la voici:

On démontre d'abord que l'écoulement est quasi permanent en évaluant des ordres de grandeurs dans la formule de Navier-Stockes:

ρ(∂/∂t) + ()) = ρ -

et en ordre de grandeur:
∂/∂t ~ v₀/τ (ça apparait mal mais τ c'est un «to»)
() ~ v₀²/h₀
en notant v₀, h₀ et τ respectivement la vitesse, la hauteur et le temps caractéristique de l'écoulement.

or, par conservation du débit volumique (écoulement incompressible), en notant S la section du grand cylindre et s la section de la paille par laquelle s'écoule le fluide, on a: Sv_A = sv_B en prenant A le point à la surface de l'eau dans la bouteille et B le point en sortie de la paille, avec v_A = -dh/dt et donc en ordre de grandeur:
((S)(h₀))/(τ) = (s)(v₀)

On injecte cette relation dans les autres ordres de grandeur pour obtenir:

(∂/∂t)/(()) ~ s/S <<1 donc on peut négliger les variations temporelles du champ des vitesses de l'écoulement, l'écoulement est bien quasi-permanent et le théorème de Bernouilli s'applique (entre A et B):

(1/2)ρv_A² + ρgh + p_A = (1/2)ρv_B² + p_B avec v_A<<v_B d'après les ordres de grandeur précédents, d'où:

v_B² = 2gh + 2(p_A-p₀)/ρ puisque p_B = p₀

or p_A = ((p₀)(H-ho))/(H-h)
donc
v_B² = 2gh + 2(p₀)(((H-ho))/(H-h)-1)/ρ

Pour trouver la hauteur finale d'eau on doit résoudre v_B = 0 d'inconnue h et on trouve ce la formule que j'ai donné en début de topic...

[invite356bf811]

Woops, il semblerait que je trouve en fait la même formule que sitalgo et que la formule donnée par le corrigé du bouquin est fausse! L'équation écrite dans le livre:
v_B² = gh + 2(p₀)(((H-ho))/(H-h)-1)/ρ

est fausse car il manque un facteur 2 devant gh!

Du coup je trouve le même résultat que sitalgo avec une démonstration bien plus compliquée... dingue!